Da26 chuyên đề hh11 chương3 qh vuông góc bài 4 5

HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC A KIẾN THỨC CẦN NẮM I Góc hai mặt phẳng Định nghĩa: Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng a       b          ;      a; b  Nếu hai mặt phẳng song song trùng ta nói góc hai mặt phẳng 0 Cách xác định góc hai mặt phẳng cắt Khi hai mặt phẳng    cắt theo giao tuyến c , để tính góc chúng, ta việc xét    vng góc với c , cắt       theo giao tuyến a , b , lúc góc mặt phẳng     ;      a; b         c      c        ;      a; b         a         b  Nghĩa là: Nói cách khác: Cho hai mặt phẳng    cắt theo giao tuyến c Từ I điểm    vng góc với c dựng đường thẳng b    vuông c , ta dựng đường thẳng a       góc hai đường thẳng a b góc với c Khi góc Diện tích hình chiếu đa giác Diện tích hình chiếu đa giác: S  S cos  Với S diện tích đa giác nằm  P ,  góc  P   P II Hai mặt phẳng vng góc Định nghĩa TÀI LIỆU TOÁN THPT  P , S  diện tích hình chiếu vng góc đa giác Trang Hai mặt phẳng    gọi vng góc với góc hai mặt phẳng góc       vng Kí hiệu Định lí Điều kiện cần đủ để hai mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng         d     ; d     Nghĩa là: Hệ Nếu hai mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc với giao tuyến vng góc với mặt phẳng                d    a    ;a  d  Nghĩa là: a  (PP: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mp) Hệ Cho hai mặt phẳng    vng góc với Nếu từ điểm thuộc mặt phẳng dựng đường thẳng vng góc với mặt phẳng         A    Aa      Nghĩa là:  đường thẳng nằm   ta   a   Định lí Nếu hai mặt phẳng cắt vng góc với mặt phẳng giao tuyến chúng vng góc với mặt phẳng                          Nghĩa là:     III Hình lăng trụ đứng, hình hộp chư nhật, hình lập phương Định nghĩa - Hình lăng trụ đứng hình lăng trụ có cạnh bên vng góc với mặt đáy Độ dài cạnh bên gọi chiều cao hình lăng trụ đứng - Hình hộp chữ nhật hình lăng trụ đứng có đáy hình chữ nhật - Hình lập phương lfa hình lăng trụ đứng có đáy hình vng mặt bên hình vng - Hình lăng trụ đứng có đáy hình bình hành gọi hình hộp đứng Nhận xét - Các mặt bên hình lăng trụ đứng ln ln vng góc với mặt phẳng đáy hình chữ nhật IV Hình chóp hình chóp cụt Hình chóp - Một hình chóp gọi hình chóp có đáy đa giác có chân đường cao trùng với tâm đa giác đáy - Hình chóp có mặt bên tam giác cân Các mặt bên tạo với mặt đáy góc - Các cạnh bên hình chóp tạo với mặt đáy góc Hình chóp cụt Phần hình chóp nằm đáy thiết diện song song với đáy cắt cạnh bên hình chóp gọi hình chóp cụt Các dạng tốn TÀI LIỆU TỐN THPT Trang Dạng Xác định góc hai mặt phẳng Phương pháp: Dùng định nghĩa cách xác định góc hai mặt phẳng Dạng Chứng minh hai mặt phẳng vng góc Phương pháp: Cách Chứng minh mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng Cách Chứng minh góc hai mặt phẳng 90 Dạng Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng Phương pháp: Ngồi cách chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng 3, ta vận dụng:                d    a    ;a  d  Cách 1: Chứng minh a                           Cách 2: Chứng minh     Dạng Thiết diện tạo mặt phẳng vng góc với mặt phẳng cho trước Phương pháp: Để xác định thiết diện hình khối tạo mp      vng góc với mp cho trước, ta thực hiện: - Xác định mp      Khi mp cách từ điểm a dựng đường thẳng b vng góc với   xác định đường thẳng cắt a b - Qui cách tìm thiết diện phần trước học a SA  SA  ABC   Bài 4.1 Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác ABC cạnh a ,  ABC   SBC  a) Tính góc hai mặt phẳng b) Tính diện tích tam giác SBC Hướng dẫn giải BC  AH a) Gọi H trung điểm BC Ta có Vì SA   ABC  TÀI LIỆU TOÁN THPT nên SA  BC  1  2 Trang BC   SAH   BC  SH  ABC  Từ (1) (2) suy Vậy góc hai mặt phẳng   SBC  SHA  a SA tan       30 AH a 3 SA   ABC  b) Vì nên tam giác ABC hình chiếu vng góc tam giác SBC Gọi S1 , S2 diện tích tam giác SBC ABC S2 a2 a2 S S1 cos   S1    cos  (đvdt) Ta có Bài 4.2 SA   ABC  Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cân BA BC a , SA a Gọi M , N trung điểm AB AC a) Tính góc hai mặt phẳng  SAC  b) Tính góc hai mặt phẳng  SMN  mp  SBC  mp  SBC  Hướng dẫn giải  SAC    SBC  SC; a) Ta có BN  AC    BN   SAC  BN  SA  Suy BN  SC Trong mp  SBC  SC   BKN  dựng BK  SC K Khi  BKN    SAC  NK ;  BKN    SBC  BK   SAC  ;  SBC    NK ; BK  Ta lại có :     góc BKN hay 180  BKN Mặt khác BN   SAC   BN  NK hay BNK vuông N BN a BN  NK ,trong ; Khi đó: Xét hai tam giác vng đồng dạng SAC NKC ( Vì có C chung )  tan BKN  TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang a.a NK NC SA.NC a   NK   SC a Suy SA SC BN   tan BKN    BKN 60 SAC  ;  SBC  60 NK Do Hay   MN / / BC     SMN    SBC  Sx / / MN / / BC S   SMN    SBC   b) Ta có Hơn BC  SB BC  SM Suy Sx  SB, Sx  SM  S; BS SMN  ;  SBC    M  góc BSM    Hay hay 180  BSM SM  SB  BM  cos BSM  2.SM SB Trong tam giác SBM ta có Trong SM  SA2  AM  a a ; SB a ; BM  2 10   BSM 18 26' SMN  ;  SBC  18 26' 10 Do Hay Bài 4.3 Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA , OB , OC đơi vng góc Chứng minh rằng:  OAB    OBC   OBC    OCA ;  OCA   OAB   cos BSM  ;   Hướng dẫn giải OA  OB    OA   OBC  OA   OAB   OAB    OBC  OA  OC  Ta có mà nên suy  OBC    OCA ;  OCA   OAB  Chứng ming tương tự ta có SA   ABC  Bài 4.4 Cho tứ diện ABCD , có tam giác ABC vuông B Chứng minh rằng:  SAB    ABC  ;  SAC    ABC  ;  SBC    SAB  Hướng dẫn giải TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang SA   SAB      SAB    ABC  SA  ABC   SAB  ABC     Ta có  Chứng minh Bài 4.5 SA   SAC      SAC    ABC  SA   ABC   SAC    ABC   Chứng minh Ta có BC  AB    BC   SAB  SBC    SAB   BC  SA  Chứng minh Ta có BC   SBC   SBC    SAB  nên Cho hình chóp chóp S ABCD có cạnh bên cạnh đáy a a) Tính độ dài đường cao hình chóp  MBD    SAC  b) Gọi M trung điểm SC , chứng minh:  MBD   ABCD  c) Tính độ dài đoạn OM góc hai mặt phẳng Hướng dẫn giải SO   ABCD  a) Gọi O tâm hình vng ABCD Do S ABCD hình chóp đều, nên ta có: a 2 a SO  SC  OC  a       Do độ dài đường cao hình chóp  MBD    SAC  b) Chứng minh: TÀI LIỆU TOÁN THPT 2 Trang BM  SC  1 Ta có BS BC a MS MC Suy Tương tự DM  SC   Từ (1) (2) ta suy SC   DBM  mà SC   SAC  nên  MBD    SAC  a2 a2 a2 OM  OC  MC    c) Ta có tam giác OMC vng M , nên 2  ABCD    MBD  BD     ABCD  ;  MBD  MOC  BD  MO   MBD   BD  CO   ABCD  Ta có  a OM MC    90 , nên suy MOC 45 Vậy góc hai mặt OMC Mặt khác, ta có  phẳng Bài 4.6  MBD   ABCD   45 Cho hình chóp S ABCD có hình thoi ABCD cạnh a có SA SB SC a a) Chứng minh rằng:  ABCD    SBD  b) Chứng minh rằng: Tam giác SBD tam giác vuông Hướng dẫn giải a) Chứng minh rằng:  ABCD    SBD   AC  BD  AC   SBD   AC  SO  O ABCD Gọi tâm hình thoi Ta có AC   ABCD   ABCD    SBD  Mà nên suy b) Vì SA SB SC a nên ba tam giác SAC , BAC , DAC cân Bài 4.7 Do SO OD OB Từ suy tam giác SBD tam giác vng S Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm I cạnh a có góc A 60 , SC  a ; SC   ABCD  a) Chứng minh rằng: TÀI LIỆU TOÁN THPT  SBD    SAC  Trang b) Trong tam giác SCA kẻ IK vng góc SA với K Tính độ dài IK   SAB  vng góc với mặt phẳng  SAD  c) Chứng minh BKD 90 từ suy mặt phẳng Hướng dẫn giải a) Chứng minh rằng:  SBD    SAC  BD   SAC   SBD    SAC  Vì BD  AC BD  SC nên Ta suy b) Ta có hai tam giác SCA IKA có chung góc A nên đồng dạng IK AI SC AI   IK  SA Do đó: SC AS 6a SA  SC  CA   3a  a Mặt khác, tam giác vng SCA có 2 a a SC AI a IK   SA a 3a AI  Vậy Và a IK IB ID   90 nên tam giác BKD tam giác vng K hay BKD c) Vì  SA  DB  SA   BDK   SA  BK  Ta có  SA  IK    SA  DK Vậy BKD góc hai mặt phẳng (SAB) (SAD) BKD 90 Nên ta suy ra: ( SAB)  ( SAD) Bài 4.8 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vuông cạnh a, SA  mp( ABCD ) SA a Gọi ( ) mặt phẳng chưa AB vng góc với mặt phẳng (SCD) Xác định mp( ), mp( ) cắt hình chóp theo thiết diện hình gì? Tính diện tích thiết diện Lời giải: TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang CD  SA   CD  ( SAD) CD  AD AH  SD  CD  AH  Dựng Ta có AH  ( SCD)  AH   Do  ( AHB ) Vì  / / CD nên   ( SCD ) HK / /CD( K  SC ) Từ suy ra, thiết diện hình thang ABKH Hơn AB  ( SAD) nên AB  AH Vậy thiết S  ( AB  HK ) AH diện hình thang vng A H Khi SD  SA2  AD 2a, SSAD  AH SD SA AD  AH  SA2 SH SB  SH  SA AD a  SD SA2 3a  SB ; HK SH CD SH 3a 1 3a  a 7a   HK    S  a   ( dvdt) CD SD SD 2  16 Bài 4.9 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O có cạnh SA  ( ABCD ) Giả sử ( ) mặt phẳng qua A vng góc với cạnh SC, ( ) cắt SC I a) Xác định giao điểm K SO với mặt phẳng ( ) b) Chứng minh rằng: ( SBD)  ( SAC ) BD / /( ) c) Xác định giao tuyến d mặt phẳng (SBD) mặt phẳng ( ) Tìm thiết diện cắt hình chóp S.ABCD mặt phẳng ( ) Lời giải: TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang ( )  SC    AI  SC AI  (  ) (  ) SC  I a) Gọi giao điềm với Ta có Vậy AI đường cao tam giác SAC Trong mặt phẳng (SAC), ta có AI  SO K AI  ( ) Vậy: K SO  ( ) BD  AC    DB  ( SAC ) BD  SA  b) Ta có BD  ( SBD) Vậy: ( SBD)  ( SAC ) SC  ( )    BD / /( )  ( )  Mặt khác, ta có BD  c) Ta có K SO  ( ) SO thuộc mặt phẳng (SBD) nên K  ( )  ( SBD) Mặt phẳng (SBD) chứa BD / /( ) Nên ( )  ( SBD) d / / BD hay ( )  ( SBD) Kx / / BD Gọi M N giao điểm d với SB SD Ta thiết diện tứ giác AMIN AI  SC MN / /BD Bài 4.10 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D , có AB 2a, AD DC = a, có cạnh SA vng góc với mp(ABCD) SA a a) Chứng minh rằng: ( SAD)  ( SDC );( SAC )  ( SCB) b) Gọi  góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) , tính tan  c) Gọi ( ) mặt phẳng chứa SD vng góc với mp(SAC) Hãy xác định ( ) xác định thiết diên diện hình chóp S.ABCD với ( ) Tính diện tích thiết diện Lời giải: CD  AD    CD  ( SAD) a) Ta có: CD  SA  Mà CD  ( SCD) nên ( SAD)  ( SDC ) Gọi I trung điểm AB Ta có AICD hình vng IBCD hình bình hành DI / / BC    BC  AC DI  AC  Ta có: BC  AC    BC  ( SAC ) CB  SA  Như vậy: TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang 10