Toan 11 c6 b4 1 pt bpt mu logarit tuluan hdg

CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN – 11 – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT V I HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT C H Ư Ơ N BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – MŨ – LOGARIT LÝ THUYẾ T PHƯƠNG TRÌNH MŨ Phương trình mũ có dạng: a x b  a  0, a 1 ● Phương trình có nghiệm b  a x b  x log a b  a  0, a 1, b   ● Phương trình vơ nghiệm b 0 Ví dụ: Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN – 11 – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT Câu 1: x Giải phương trình 9 Lời giải 3x 9  3x 32  x 3 x Câu 2:      25  x Giải phương trình Lời giải x   5x     5x  5 x  x   x  x   25  Câu 3: x Giải phương trình  x2 81 Lời giải 3x Câu 4:  x2  x  81  x  x 4  x  x  0    x 4  x 2  x 4 2x Giải phương trình 5 x  49 Lời giải 72 x Câu 5: 5 x  49  x 5 x   3   Giải phương trình    x    x  2 7  x  x  2  x  x  0  x2  x   2    3 x 3 Lời giải  3   Ta có   x2  x   2    3 x 3  3    2 x2  x   3    2  x  x  x   x   x 1  x  x  0    x  Câu 6: sin x 1 Giải phương trình Lời giải Ta có Câu 7: 9sin x 1  sin x 0  x k 2  x k ,  k   Giải phương trình  x  x   x 4 4 Lời giải Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN – 11 – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT Ta có  x  x 4  x 4 4   x  0  2  x  x   x    x  x   x  2   x2  x   x   x 2     x 0  x 3  x 2    x 3  x  x 0  Vậy phương trình cho có nghiệm x 3 Câu 8: mx Tìm m để phương trình 2020  x m  1 có hai nghiệm trái dấu Lời giải 2020mx  x m 1  mx  x  m  0 Phương trình cho có hai nghiêm trái dấu Câu 9: x Tính tổng nghiệm phương trình 2 2 x m  m  2    m  82 x Lời giải 2x 2 x 82 x  x 2 x  23  2 x  2x 2 x Vậy tổng nghiệm phương trình  x 1 26 x  x  x 6  x  x  x  0    x  2x 2 x 82 x      x 1 x x 1 x 3 Câu 10: Giải phương trình:  2  Lời giải x 1  x 2 x 1  x 3  5.5 x  x 2.2 x  23.2 x x 10  5  4.5 x 10.2 x       x 1  2 Vậy phương trình cho có nghiệm x 1 Câu 11: Giải phương trình: x x x 0.125 4 Lời giải  x   3x  ¥ Điều kiện: Phương trình cho tương đương với phương trình: x 2 x  1 x x 1  3x 3 2x   2  2 2  8 Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN – 11 – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT x x   22 2x   x  x x       x  14 x  0   2x x   2 Kết hợp với điều kiện ta có x 3 nghiệm phương trình x  x 2 Câu 12: Giải phương trình:  42 x 6 x 5  43 x 3 x 7 1 Lời giải Phương trình cho tương đương với phương trình: 4x  x 2  4x   x 2  4x 4x  42 x 4 x   42 x  x 2   x 2 6 x 5  42 x 6 x 5 42 x  4x  x 5  x 2 42 x 1 6 x 5 0   0  x 1 1  x  x  0    x 2  x 2 42 x  x 5 6 x 5 1  x  x  0 , phương trình vơ nghiệm  x 1  Vậy phương trình cho có nghiệm  x 2 mx Câu 13: Tìm m để phương trình  x 3  m 5m x có hai nghiệm trái dấu Lời giải 5mx  x 3  m 5m x Phương trình  1  mx2  x   m m  x  mx  x   m 0    1 có nghiệm trái dấu  phương trình   có nghiệm trái dấu  ac   m   m      m  m   3;  2;  1 Vậy thỏa mãn yêu cầu toán Câu 14: Tìm m để phương trình mx  x x12 x22  2 7 mx  m có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn x2 x1 Lời giải mx 2 x 7 mx  m Phương trình  1  1  mx  x 2mx  m  mx   m  1 x  m 0   có nghiệm x1 ; x2  phương trình   có nghiệm x1 ; x2 Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN – 11 – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT   m 0     ' 1  2m 0  m 0    * m   2 x12 x22  2  x14  x24 2 x12 x22   x12  x22  0  x12  x22 0   x1  x2   x1  x2  0 x2 x1   ' 0  b    0   a   m 2   m 1 Kết hợp điều kiện  * ta suy Câu 15: Tìm m để phương trình: m.2 x m  x 6 thỏa mãn yêu cầu toán  21 x 2.26 x  m  1 có nghiệm phân biệt Lời giải Viết lại phương trình m.2 x  x 6  m.2 x   2x dạng:  21 x 27  x  m  m.2 x  x 6  x 6  21 x 2 x   x 6  x 6  21 x 2  x2  x6 1 x2   m 21 x  m   21 x  m 0  x2  x 6 1     21 x2 m      1  x 3   x 2   21 x m   m    1  x log m m    x 1  log m  1 có nghiệmphânbiệt    có nghiệmphânbiệtkhác m  1  log m      1  log m  1  log m 9 m  m     m   0;  \  ;  m     256    m  256  PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT Phương trình có dạng: log a x b  x  0, a  0, a 1 b ln có nghiệm x a với b Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN – 11 – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT Ví dụ: Câu 16: Giải phương trình sau: log x 4 Lời giải Điều kiện: x  Ta có: log x 4  x 3  x 81 Vậy nghiệm phương trình x 81 Câu 17: Giải phương trình sau: log  x   3 Lời giải Điều kiện: x    x  Ta có: log  x   3  x  8  x 10  x 5 (nhận) Vậy nghiệm phương trình x 5 Câu 18: Giải phương trình sau: log  x  x  10  2 Lời giải  15  x  x  10  x     0, x  ¡ 2  Vì nên tập xác định D = ¡ Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN – 11 – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT  x 1 log  x  x  10  2  x  x 10 16  x  x  0    x  Ta có: Vậy nghiệm phương trình x 1 hay x  Câu 19: Giải phương trình sau: log  x  1 2 Lời giải Điều kiện:  x  1   x 1  x  10 2 log  x  1 2   x  1 100  x  10    x   10  Ta có:  x 11  x   (nhận) Vậy nghiệm phương trình x 11 hay x  Câu 20: Giải phương trình sau: log x  x  1 Lời giải  3 x x  3x 1     3 x  Điều kiện: Pt    105 x    105 x  2 x  3x  5  x  3x  25  x  3x  24 0  (nhận) Vậy nghiệm phương trình Câu 21: Giải phương trình sau: log  x  105  105 x 2 hay  x  x   x  log  x   Lời giải  x  x  0  x  0  x     x    x  x 1  x 1   x     1 x2 0 Điều kiện:  log   x  x   x  log  x    x2  x 1  x 1  x  x  x 1  x 1 x   x  1  x  1  x  x  Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN – 11 – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT  x  4 x   x3  2 x     x      x  4 x  x        x      x  x  x 0     x    x 0   x 0    x 2  2   x 2  2    x 2  2 (thỏa  1 ) Vậy nghiệm phương trình x 0 hay x 2  2 Câu 22: Giải phương trình sau: log  x    log  x   3 Lời giải x     x2 0  Điều kiện: Ta có:  x 5  x 5  x   log  x    log  x   3  log  x    x   3   x    x   8  x   x  x  18 0    x 6 Kết hợp với điều kiện, ta nghiệm phương trình x 6 Câu 23: Giải phương trình: log 25  x    log x log 27 Lời giải Điều kiện: x   x 5  x  x  125 0    x  25 log  x    log x 3  Phương trình cho trở thành: Câu 24: Giải phương trình: log x  log x  log x log 20 x Lời giải Điều kiện: x  Phương trình cho tương đương với phương trình: log x  log x log x log x   log log log 20  1   log x      0  log x 0  x 1  log log log 20  Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN – 11 – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT Vậy phương trình cho có nghiệm x 1 Câu 25: Tìm tập nghiệm S phương trình log (2 x  1)  log ( x  1) 1 Lời giải 2 x    + Ta có: Điều kiện xác định  x    x  + log (2 x  1)  log3 ( x  1) 1  x 1   log   1  x   x 1   log   log 3  x   x 1 x 1  x4 3   0  0  x 4 x x x Thỏamãnđiềukiệnxácđịnh Câu 26: Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình log x  log16 x 0 Tính x1.x2 Lời giải Điều kiện:  x 1 log x  log16 x 0  log x  log 24 x 0   log x 2  (log x) 4     log x  2  x 4    x 1  1  log x 0 log x  x1 4    x2  (nhận) x1.x2 4 1 Vậy tích Câu 27: Tổng tất nghiệm thực phương trình log x.log (32 x)  0 Lời giải Điều kiện xác định: x   log 22 x  5.log x  0 Khi log x.log (32 x)  0  log x.(log x  5)  0  x   log x     log x  x1  16 Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN – 11 – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT Do tổng tất nghiệm phương trình cho 16 Câu 28: Cho phương trình log 32 x  log x  log x  0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Tính giá trị biểu thức P log x1  log 27 x2 biết x1  x2 Lời giải Điều kiện x  log 32 x  log x  log x  0  log32 x  log x  log x  0  log x    log x 3   log x  log3 x  0 Do x1  x2 nên x1    x 3   x 27 x2 27 P log x1  log 27 x2 log  log 27 27 0 Vậy log Câu 29: Tổng tất nghiệm phương trình:  x  3  log9  x  1 log  x  Lời giải  x 1  Điều kiện:  x  log Ta có:  x  3  log  x  1 log  x   log  x  3  log x  log  x   log   x  3 x   log  x    x  3 x  4 x  1  1 trở thành + Nếu  x  phương trình  x  3   x  4 x   x  x  0   x    tm    x    l   1 trở thành + Nếu x  phương trình Page 10 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN – 11 – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT  x  3  x  1 4 x   x 3  tm  x  x  0    x  1 l  Phương trình cho có tập nghiệm   S    3;3 Vậy tổng tất nghiệm phương trình x 0 x  3x  Câu 30: Giải phương trình: log  x    log Lời giải Điều kiện:  x  Phương trình cho tương đương với phương trình: log3  x   2 x    log3   0  x  3x    x    x    log   x         x  2    1  x  x      x  3x     x 1   x  11x  18 x  0   x 3  x   log  x  log Câu 31: Giải phương trình:      x   x  0 Lời giải Điều kiện:   x 1 Phương trình cho tương đương với phương trình: log  x 2  log     x 4   1 x  1 x 1 x  1 x      Đặt t   x   x , phươngtrình   trởthành:  t    t  4t   0  t 2  x   x   x 0 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ Page 11 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN – 11 – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT CHÚ Ý: a f (x)  a g (x)  f  x   g  x  Nếu a  , b  a f ( x )  b  f  x   log a b a Nếu  a  , b  a f ( x )  b  f  x   log a b f ( x)  a g (x)  f  x   g  x  f (x)  b với x thỏa mãn điều kiện xác định f  x  , a f (x) b Lưu ý: b 0 a vơ nghiệm BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Page 12 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN – 11 – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT CHÚ Ý:  g  x   log a f  x   log a g  x     f  x   g  x  Nếu a   f  x   log a f  x   log a g  x     f  x   g  x  Nếu  a  Ví dụ:  4   Câu 32: Giải bất phương trình   x2  1 Lời giải  4   Bất phương trình   x2   x  1  x  0    x 2 Vậy tập nghiệm bất phương trình cho S   ;  2   2;   1   Câu 33: Có số nguyên x 10 nghiệm bất phương trình   x2 3 x ? Lời giải  1    3 x 2 1 3     3 x x 2 x  1     3    x 0  x 0   x   x   x  0   x   x 2  x  x  x 2     x  Page 13 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN – 11 – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT  x   2;10 Theo giả thiết số nguyên x 10 Vậy có số nguyên x thỏa mãn yêu cầu toán Câu 34: Tìm số nghiệm nguyên bất phương trình log  x  3 log 2 Lời giải  x  4  log  x  3 log   x    2 Bất phương trình  x 7   x 7  x  x     x   ; ; ; 7 Vì 3  x 7 Vậy bất phương trình cho có tất nghiệm nguyên Câu 35: Giải bất phương trình: log   x  log  x  1 Lời giải  x 1  log   x  log  x 1    3  x  x  x       1 x   x  2  S   1;  3  Vậy tập nghiệm bất phương trình cho Câu 36: Giải bất phương trình log  x  x    Lời giải log  x  x      x  x    x2  5x     x  5x     x  Vậy tập nghiệm bất phương trình cho Câu 37: Bất phương trình log3  x  1  log  x   S  2;3 có nghiệm nguyên? Lời giải Ta có: Page 14 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN – 11 – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT x   3x   x    1 log  x 1  log  x     x     x 3   3x   x   0;1;2 Vì x số nguyên nên Vậy bất phương trình có nghiệm ngun log 0,5  x  1  log 0,5 x Câu 38: Tìm tập nghiệm S bất phương trình Lời giải  x 1   x0  x   Điều kiện: Ta có: log 0,5  x  1  log 0,5 x  x   x  x  Vậy tập nghiệm bất phương trình Câu 39: Tìm tập nghiệm S bất phương trình , kết hợp điều kiện ta x  S  1;    log x  log x 3 Lời giải Điều kiện: Ta có: x    x 1  x 3  log x  log x  1  log x log x   0 log x log x   log x   log x    log x  log x  1     log x   1   0  log x   log x  log x  1  log3 x   log x    x 1   x 3, kết hợp điều kiện ta  x  x  Vậy tập nghiệm bất phương trình Câu 40: Có giá trị nguyên log  x  1  log  mx  x  m  2 S  0; 1   3;    tham số m để bất phương trình nghiệm với x   ? Lời giải Page 15 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN – 11 – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT mx  x  m  x   , x   2 x   mx  x  m    Bất phương trình nghiệm với (dễ thấy m   m     1 16  4m  m    m      m   m    16    m  0 m 3  m 7   m 3 m=0 không thỏa mãn hệ)   2 Do m   nên m 3 Vậy có giá trị nguyên m thoả mãn Page 16 Sưu tầm biên soạn