Toan 11 c5 b17 1 ham so lien tuc tuluan hdg

C H Ư Ơ N CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC V GIỚI HẠN HÀM SỐ LIÊN TỤC BÀI 17: HÀM SỐ LIÊN TỤC I LÝ THUYẾT = = = SỐ LIÊN TỰC TẠI MỘT ĐIỂM HÀM I f  x a; b  Cho hàm số xác định khoảng  x0   a; b  Hàm số y  f  x gọi lim f  x   f  x0  liên tục x x0 x  x0 Hàm số không liên tục x x0 gọi gián đoạn x0 HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG, TRÊN MỘT ĐOẠN Hàm số y  f  x liên tục khoảng  a; b  Hàm số y  f  x gọi liên tục  a; b  liên tục điểm khoảng liên tục  a; b  lim f  x   f  a  , lim f  x   f  b  Hàm số đa thức, hàm số y sin x, y cos x liên tục tập  Hàm số phân thức hữu tỉ x a x b hàm số lượng giác y tan x, y cot x, y  x hàm số liên tục tập xác định chúng MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN y g  x  hàm số liên tục điểm x0 Khi đó: y  f  x   g  x  , y  f  x   g  x  , y  f  x  g  x  a) Các hàm số liên tục x0 Giả sử y  f  x y b) Hàm số f  x g  x g  x0  0 liên tục x0 Nhận xét: Nếu hàm số điểm c   a; b  cho f  x liên tục đoạn f  c  0  a; b  f  a f  b  tồn Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC II = = = I Câu 1: HỆ THỐNG B À I TẬP TỰ LU ẬN DẠNG 1: HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM Xét tính liên tục hàm số f  x  x  điểm x0 2 Lời giải Tập xđ: D  \  1 ,  D lim f  x  lim x x 1  f   x Vậy hàm số liên tục x0 2 Câu 2:  x  x 1 f ( x )   x  3x   x  x  x0 = Xét tính liên tục hàm số Lời giải Tập xđ: D ,1  D f  1  lim f  x  lim x  2 lim f  x  lim x  3x  x lim  x x 1 x 1 x x x x Vậy hàm số liên tục x0 1 Câu 3:  x3  x 2  f ( x)  x  mx  x 2  Cho hàm số Tìm tất giá trị tham số thực m để hàm số liên tục x 2 Lời giải D ,1  D f  x  xác định  Ta có Để f   2m  f  x lim f  x  lim x x x3  lim  x  2x   12 x  x 11 lim f  x   f    2m  12  m  liên tục x 2 x  Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Câu 4:  x x 3  f  x   x  m x 3  Chon hàm số Tìm tất giá trị tham số thực m để hàm số liên tục x 3 Lời giải Hàm số cho xác định  Ta có  x  3 lim f  x   lim x x x  lim x x  x lim f  x  1 Tương tự ta có x  3 lim f  x   lim f  x  lim f  x  x Vậy x  3 nên x  không tồn Vậy với mọi, hàm số cho không liên tục x 3 Câu 5: Xét tính liên tục hàm số x x2  f  x   x   2x   , x   , x  x0  Lời giải Ta có: f   1 1 lim  f  x   lim  x    1 Suy ra: x    1 lim  f  x  1 x    1 x x2 x2  x  x  lim   lim   x    1 x 1  x 1 x  x  x   1 x  x  2  lim  f  x   lim  f  x  x    1 x    1  Vậy hàm số gián đoạn x  Câu 6:  x4  , x 2  f  x   x a , x 2  Cho hàm số Tìm tất giá trị a để hàm số liên tục x 2 Lời giải Ta có: f   a lim f  x   lim x x  x4  1  lim  x   x x4  6 Hàm số liên tục x 2 lim f  x   f    a  x 2 Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Câu 7:  x  1 , x   f  x   x  , x  k , x 1 f  x  Cho hàm số Tìm k để gián đoạn x 1 Lời giải TXĐ: D  f  1 k x  Với ta có: Với x 1 ta có: lim f  x  4 lim f  x  lim  x  3 4 lim f  x   lim  x  1 4 x  1 x x ; x suy x Vậy để hàm số gián đoạn x 1 Câu 8: lim f  x  k x  k 4  k 2 Cho a b số thực khác Tìm hệ thức liên hệ a b để hàm số  ax   x 0  f  x   x 4 x  5b x 0  liên tục x 0 Lời giải Cách 1: Theo kết biết lim f  x  lim x x ax   a  x Mặt khác f   5b Để hàm lim f  x   f    a 10b số cho liên tục x 0 x  Câu 9: Cho hàm số  x   3x  , x 1  f ( x)  x  ax, x 1  Tìm a để hàm số liên tục x0 1 Lời giải lim f  x  lim x x   lim  x   x  1     lim  x    x   2  3x 1  x   3x 1 lim    x x x  x     x7       x  1  3x      x  1 x  x            x   x    x      Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Hàm số liên tục x0 1  lim f  x   f  1  a  x  x2  x  x 1  f  x   x  3m x 1 Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm  Câu 10: Cho hàm số số gián đoạn x 1 Lời giải Tập xác định hàm số  x2  x  lim f  x   f  1  lim 3m x x Hàm số gián đoạn x 1 x   x  1  x   3m  lim x  3m  3m  m 1  lim   x x x  x2   f  x   x  m  3m  Câu 11: Cho hàm số x 2 x 2 Tìm m để hàm số liên tục x0 2 Lời giải Tập xác định D  Ta có lim f  x  lim x x x2  lim  x   x  x 2  4 lim f  x   f   Hàm số cho liên tục x0 2 x   m 1   m  3m  m  3m  0  m  x x2  x    f  x   x  ax  3b  2a  b     Câu 12: Cho hàm số x2 x2 x 2 liên tục x 2 Tính I a  b ? Lời giải Để hàm Ta có: f  x liên tục x 2 cần có lim f  x   lim f  x   f   x  2 x  x x2  x2  x  x 1 lim   lim  lim      x x  x   x  x  16  x   x  x    x   x  x      lim  x  ax  3b   lim  x  ax  3b  2a  3b  x  2 x Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC f   2a  b    2a  b  16    2a  3b   16 Suy ta hệ phương trình:  179  19 a  32  a  b   32 b   x2  2x  f  x   x  mx   Câu 13: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số x 2 x2 x 2 liên tục Lời giải x2  x lim  lim x 2 lim mx   m    f   2m  x  2  x Ta có: ; ; x x  Để hàm số liên tục x 2  lim f  x   lim f  x   f   x x  2m  2  m 3  x  3x  x  y  x   4 x  a Câu 14: Để hàm số liên tục điểm x  giá trị a Lời giải Hàm số xác định  Ta có f   1 0 lim  f  x   lim   x  x   0 x    1 x    1 lim  f  x   lim   x  a  a  x    1 x    1 Hàm số cho liên tục x  lim  f  x   lim  f  x   f   1 x    1 x    1  a  0  a 4  x  16  f  x   x   mx   Câu 15: Tìm m để hàm số x  x 4 liên tục điểm x 4 Lời giải Ta có: Và: lim f  x   lim x x x  16  lim  x   8 x x lim f  x   lim  mx  1 4m 1  f   x  4 Hàm số x f  x liên tục điểm x 4 lim f  x   lim f  x   f   x  4 x Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC  4m  8  m   x2  x    x y  f  x   a   x  2 x Câu 16: Cho hàm số x  x 2 f  x Tìm a để hàm số liên tục x0 2 Lời giải Tại x0 2 , ta có: f   a   1 x   lim f  x   lim  a  a   x x  2 x   lim f  x   lim x x   lim x 2x2  x  x  lim  x    x  3 x x   x    x  3  lim  x  3  x x f    lim f  x   lim f  x  x x Để hàm số liên tục x0 2  a   a  4  x1 x   f  x   x  ax  x 1  Câu 17: Giá trị tham số a để hàm số liên tục điểm x 1 Lời giải f  1 a  1  lim f  x  lim  ax   a  x  2 x  1 lim f  x  lim x x x1 lim x  x 1 Hàm số liên tục x 1 1  x 1 f  1 lim f  x  lim f  x   a  x x 1   a 1 2 Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC  x 1  f  x   x  3x   2a   Câu 18: Giá trị a để hàm số x 2 x 2 liên tục x 2 Lời giải Ta có: lim x f  2  2a  x 1 x lim  x  3x  x   x    x  1 x   2   2a  1  lim f  x   f      a 1 x Hàm số liên tục x 2 DẠNG 2: HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG a Các hàm số đa thức, phân thức hữu tỉ, lượng giác liên tục khoảng xác định chúng b Tổng, hiệu, tích hàm số liên tục x0 liên tục x0 c Nếu hàm số y  f ( x) y  g ( x) liên tục x0 g ( x0 ) 0 hàm số x0 y f ( x) g ( x) liên tục Câu 19: Tìm khoảng liên tục hàm số a) y  x  x  x b) y x x 1 y x  c) x  x  ; d) y tan x  cos x Lời giải a) Hàm số y có tập xác định D  nên hàm số liên tục R D  \  1   ;1 ,  1;   b) Hàm số y có tập xác định nên hàm số liên tục D  \  1;  2 c) Hàm số y có tập xác định nên hàm số liên tục khoảng   ;   ,   2;1 ;  1;    D  \   k , k   2  nên hàm số liên tục khoảng d) Hàm số y có tập xác định        k 2 ;  k 2     x  x  x 0 f ( x)  x   x  a Câu 20: Tìm a để hàm số liên tục ¡ Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Lời giải  0;  ,   ;0  Trên hàm số hàm số đa thức nên liên tục khoảng Để hàm số liên tục  ta cần hàm số liên tục Ta có lim f  x  2, lim f  x  a, f   2 x  0 x Vậy hàm số liên tục x0 2 a 2   ax  x 2 f ( x)   3x    x  x  liên tục ¡ Câu 21: Định a để hàm số Lời giải  2;  ,   ;  Trên hàm số liên tục khoảng Để hàm số liên tục  ta cần hàm số liên tục Ta có lim f  x   lim x x 3x    lim x x  x  2 3x   3x   3x     1 , lim f  x  2a  , f   2a  x 4 Vậy hàm số liên tục  a 0  8x 1  x   f ( x )  x  x  x  4a x 0  Câu 22: Định a để hàm số liên tục  Lời giải  0;  ,   ;0  Trên hàm số liên tục khoảng Để hàm số liên tục  ta cần hàm số liên tục Ta có lim f  x   4a, lim f  x   4, f    4a x  0 x Vậy hàm số liên tục  a 1 Câu 23: Cho hàm số 3   x , 0 x 9  x  f  x  m , x 0 3  , x 9  x f  x  0;  Tìm m để liên tục Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Lời giải Với x   0;9  Với x   9;   : f  x  : 3 f  x  9 x  0;9  x liên tục x liên tục  9;   f   m Với x 0 ta có Ta có lim f  x   lim x  x  lim  x  0   x x 3 x Vậy để hàm số liên tục  m  0;  phải liên tục x 0  lim f  x  m x  0  2x   x 2  f  x   x 1 x   x  mx  m   Câu 24: Cho hàm số Tìm tất giá trị tham số thực m để hàm số liên tục  Lời giải  2;   Cách 1: Hàm số xác định  , liên tục khoảng Ta có f   3; lim f  x   lim x x   x   3 x 1   x  x  12 x  20 Nếu m 6 x nên hàm số khơng liên tục x 2 x 1 lim f  x   lim  x  x  2mx  3m  6 m Nếu m 6 ta có x  3   m 1  m 5 Để hàm số liên tục x 2  m lim f  x   lim x 1 x  10 x  17 liên tục   ;  Với m 5 x  , Tóm lại với m 5 hàm số cho liên tục  f  x   2;   Cách 2: Hàm số xác định  , liên tục khoảng Ta có f   3; lim f  x   lim x x   x   3 Thử giá trị từ A dến C thấy m 5 thỏa mãn C lim f  x  3 x  2 Do chọn đáp án Page 10 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC 2  x  2, a   a x f  x   f  x    a  x x  Câu 25: Cho hàm số Giá trị a để liên tục  là: Lời giải TXĐ: D  f  x  a x x  Với ta có hàm số liên tục khoảng  2;      ; f  x    a  x Với x  ta có hàm số liên tục khoảng f Với x  ta có   2a lim  f  x   lim   a  x 2   a  x x Để hàm số liên tục x x x  lim f  x   lim f  x   f x ; lim f  x   lim  a x 2a x    2a  a 1  2   a   a  a  0  a  Vậy a 1 a  hàm số liên tục  x 0 3 x  a   f  x    x  x   x  Câu 26: Cho hàm số Tìm tất giá trị a để hàm số cho liên tục  Lời giải Tập xác định D  Ta có: Hàm số liên tục khoảng   ;0   0;  lim f  x   lim  3x  a  1 a  x  0 x lim f  x   lim x x 1 2x   lim 1 x x  x 1 f   a  Hàm số liên tục   Hàm số liên tục điểm x 0  a  1  a 2  x 1  x   x f  x     a  2 x  Câu 27: Tìm a để hàm số x4 x 4 liên tục tập xác định Page 11 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Lời giải * TXĐ: D  NX: Hàm số f  x liên tục khoảng   ;   4;   Do đó, để hàm số liên tục  ta cần tìm a để hàm số liên tục x 4 ĐK: lim f  x   lim f  x   f   x  4 x lim f  x   lim x  x 1   x  4  x lim f  x  xlim  4 x x 5  a  2 x  x 1  x  2x 1  x     lim x  4 1  x 1  x  a   f   11 a    a  6 Cần có:  x3  x   x  f  x   ax    Câu 28: Cho hàm số x 1 x 1 Xác định a để hàm số liên tục  Lời giải Với x 1 , ta có f  x  x3  x  x liên tục tập xác định x  3x  3  x  1  x3  x  lim lim  x x x x f  1 a  Để hàm số liên tục  hàm số phải liên tục x 1 Điều xảy 15 lim f  x   f  1  a    a  x 2  2x    f  x   x 1   x  2mx  3m  Câu 29: Cho hàm số x 2 x  Tìm tất giá trị tham số thực m để hàm số liên tục  Lời giải  2;  Cách 1: Hàm số xác định  , liên tục khoảng Page 12 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Ta có f   3; lim f  x   lim x Nếu m 6 x lim f  x   lim x x Nếu m 6 ta có   x   3 x 1   x  12x  20 nên hàm số không liên tục x 2 lim f  x   lim x x x 1  x  2mx  3m   m 3   m 1  m 5 Để hàm số liên tục x 2  m x 1 f  x  x  10x  17 liên tục   ;  Với m 5 x  Tóm lại với m 5 hàm số cho liên tục   x  ax  b  f  x   x   2ax   Câu 30: Cho a , b hai số thực cho hàm số a b x 1 x 1 liên tục  Tính Lời giải Ta có f  1 2a  Để hàm số liên tục  phải tồn lim f  x  lim x x x  ax  b lim f  x   f  1 x x  x  ax  b lim  x  ax  b   x  1   a  b 0  b  a  x Để tồn x  Khi lim f  x  lim x x  x  1  x  a  1 lim x  a  a  x  ax  b lim   x x x x Do để hàm số liên tục  lim f  x   f  1 x  2a  a   a 3 Suy b  Vậy a  b 7  x  ax  b x    f  x   x  17   x 10  ax  b  10 x  10  Câu 31: Nếu hàm số liên tục R a  b Lời giải f  x   x  ax  b   ;  5 x   Với ta có , hàm đa thức nên liên tục f  x x    5;10  Với   x  10 ta có , hàm đa thức nên liên tục f  x  ax  b  10  10;  Với x  10 ta có , hàm đa thức nên liên tục Page 13 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Để hàm số liên tục R hàm số phải liên tục x  x 10 Ta có: f    12 f  10  17 ; lim f  x   lim  x  ax  b  x   5  5a  b  25 x  lim f  x   lim  x  17  12 x   5 x  lim f  x   lim  x  17  27 x  10 x  10 lim f  x   lim  ax  b  10  10 a  b 10 x  10 x  10 Hàm số liên tục x  x 10 5a  b  25 12  5a  b  13     10a  b  10 27 10a  b 17 a 2  b   a  b   x  x  12 x    x  y  f  x  mx  x  liên tục điểm x0  Câu 32: Tìm tham số thực m để hàm số Lời giải Tập xác định: D  Ta có:  x  3  x   x  x  12 lim f  x   lim  lim  lim  x  3 x  x  x   x4 x4 + x  + f     4m  Hàm số f  x lim f  x   f      4m   liên tục điểm x0  x    m 2  x2  5x   f  x   x   mx  n  Câu 33: Biết hàm số Giá trị m x2 x  liên tục  n số thực tùy ý Lời giải lim  f  x   lim  x  5x   lim   x  3 x    2 x2  x    2 Ta có x    2 lim  f  x   lim   mx  n  x   2 x    2  2m  n Page 14 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC f     2m  n Để hàm số liên tục x   m lim  f  x   lim  f  x   f    x   2 x    2   2m  n 1 n DẠNG 3: CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CĨ NGHIỆM Câu 34: CMR phương trình sau có nghiệm: x  x  0 Lời giải Xét hàm số f  x  x  3x  liên tục R nên liên tục đoạn f   1  0, f  1    f  1 f   1  khoảng  0;1 Vậy phương trình có nghiệm  0;1 ĐPcm Câu 35: CMR phương trình x  x  0 có nghiệm khoảng Lời giải Xét hàm số f  x  2 x  x  liên tục R nên liên tục đoạn   2;  1 ;   1;1 ;  1; 2 f      0, f   1 5  0, f  1  3, f   5 Vậy khoảng   2;  1 ;   1;1 ;  1;  phương trình có nghiệm Mà ba khoảng rời nên phương trình có nghiệm khoảng Câu 36: CMR phương trình x3   m  3 x    m  x  0   2;2  ln có nghiệm với giá trị m Lời giải Xét hàm số f  x  x   m  3 x    m  x  liên tục R nên liên tục đoạn  0;1 f     0, f  1 4  0, Vậy khoảng  0;1 phương trình có nghiệm  0; 2  Câu 37: CMR phương trình a cos x  b cos x  c cos x  sin x 0 ln có nghiệm Lời giải Xét hàm số đoạn f  x  a cos 3x  b cos x  c cos x  sin x liên tục R nên liên tục  0; 2  Page 15 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC   f   a  b  c, f    b  f     a  b  c,  2 ,  3 f     b      3  f  0  f    f     f   0 2     Suy nên suy khơng có giá trị bốn giá trị có giá trị âm dương Từ suy điều phải chứng minh Câu 38: Chứng minh với giá trị thực tham số m phương trình sau ln có nghiệm x3  x  x   m  0 x x 3 Lời giải TXĐ: D R \{ 3;0} Trên D, phương trình cho tương đương với phương trình: mx  ( x  2)( x  3)( x  x  1) 0 Đặt f ( x ) mx  ( x  2)( x  3)( x  x  1)  f ( 3) f (0) 18m  f (0) f (2)  12m Nhận xét f liên tục R  TH1: Nếu m = 0, phương trình ln có nghiệm x = TH2: Nếu m 0  (*) có nghiệm thuộc ( 3;0) Suy ra: m  R , ln có nghiệm thuộc D Vậy: m  R , phương trình cho ln có nghiệm Câu 39: Tìm tất giá trị tham số thực m cho phương trình sau có nghiệm:  2m  5m    x  1 2017 x 2018    x  0 Lời giải + Nếu 2m  5m  0 phương trình cho trở thành x  0  x  2 + Nếu 2m  5m  0 phương trình cho đa thưc bậc lẻ nên phương trình có nghiệm Vậy với m  , phương trình cho ln có nghiệm x  3x   2m   x  m  0 Câu 40: Tìm tất giá trị tham số m cho phương trình có ba nghiệm x1 , x2 , x3 thỏa mãn x1    x2  x3 Lời giải Page 16 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Đặt f  x   x  x   2m   x  m  Điều kiện cần: Ta thấy hàm số liên tục  af   1    m    m   Điều kiện đủ: với m   ta có *) lim f  x    x   Mặt khác f   1  m   x1   a;  1 Do tồn *) f  a  f   1  Suy cho f  x1  0 f   m   f   1  f   f   1  , Suy x2    1;0  Do tồn *) f  a  nên tồn a   cho lim f  x   x   Mặt khác f  0  f  x2  0 f  b  nên tồn b  cho Suy x3   0; b  Do tồn cho f  0 f  b   f  x3  0 cho Vậy m   thỏa mãn yêu cầu toán Câu 1: Với m giá trị thực tham  2m  3  x  x    x  x 0 số m, chứng minh phương trình ln có ba nghiệm thực Lời giải Đặt f  x   m  2m  3  x  5x    x  x f     14 Ta có : f   1 5 , f  1  f    f   1  , f   1 f  1  f  1 f    , với m    f  x  0 Câu 2: , , f   14 hàm số liên tục  ln có nghiệm khoảng  2;   ,   1;1  ,  1;  Vậy với số thực m phương trình cho có nghiệm thực Chứng minh 1 m  x phương trình  x  0 ln có nghiệm với giá trị tham số m Lời giải Xét hàm số f ( x)   m  x5  3x  f  m   f (0) f   1  Vì f (0)     nên với m Page 17 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC  1; 0 Mặt khác, f ( x ) hàm đa thức, liên tục  , nên liên tục đoạn   1;  Từ suy phương trình f ( x ) 0 có nghiệm khoảng  , nghĩa 1 m  x phương trình Câu 3:  x  0 ln có nghiệm với m Cho phương trình ax  bx  505c 0 ( a 0 ) thỏa mãn a  2b  2022c 0 Chứng minh phương trình có nghiệm Lời giải Đặt f ( x) ax  bx  505c với a 0 Hàm số f ( x) có tập xác định   1  0;  (1) f ( x )  Vì hàm số đa thức bậc hai liên tục nên liên tục đoạn 1 1 1 f    a  b  505c   a  2b  2022c   c  c 2 Lại có: f (0) 505c ,   505 1 f (0) f    c 0 2   Khi đó: TH.1: Nếu c 0 phương trình f ( x ) 0 có hai nghiệm phân biệt x 0 ; x  b a 1 f (0) f    (2)  2 TH.2: Nếu c 0 Từ (1) (2) , suy phương trình f ( x ) 0 có  1  0;  nghiệm thuộc khoảng   Vậy phương trình cho ln có nghiệm Câu 4:  m2  m  5 x3  3x  0 Chứng minh rằng: Với m   , phương Cho phương trình: trình cho có nghiệm Lời giải  Xét hàm số: Ta có: f  x   m  m  5 x  3x   f     f   8m  8m  28 2  2m  1  26  0, m   ; ; Thấy hàm số y  f  x liên tục đoạn  0; 2 f   f    0, m   Suy ra: phương trình cho có nghiệm khoảng Câu 5:  0;     m x  3x  0 Với giá trị thực tham số m , chứng minh phương trình ln có nghiệm thực Page 18 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Lời giải Xét hàm số Mà: f  x    m  x5  3x  hàm đa thức nên liên tục  f   f   1   m 1  0, m thuộc nên phương trình f  x  0 có nghiệm thực   1;     m x5  x  0 m Vậy với giá trị thực tham số , phương trình ln có nghiệm thực Câu 6:  m2  3m  2 x3  3x 1 0 có nghiệm Tìm tất giá trị tham số m để phương trình Lời giải  f  x   m2  3m   x3  3x   A m  3m  Đặt  Xét A m  3m  0  m 1 m 2 Khi phương trình trở thành  3x  0  x Xét A m  3m  0  m 1 m 2 Khi đó: + Xét hàm số tục  f  x   m  3m   x  3x  , hàm đa thức, xác định  nên liên + Mặt khác, ta có: TH1: A   m    ;1   2;   lim f  x   lim  Ax  x  1  f x 0 x   nên tồn x1   cho   x   lim f  x   lim  Ax  x  1   f x 0 x   nên tồn x2   cho   x   Áp dụng hệ định lí giá trị trung gian, suy tồn TH2: t   x2 ; x1  cho f  t  0 A   m   1;  lim f  x   lim  Ax  x  1   f x 0 x   nên tồn x1   cho   x   lim f  x   lim  Ax  x  1  f x 0 x   nên tồn x2   cho   x   Áp dụng hệ định lí giá trị trung gian, suy tồn t   x2 ; x1  cho f  t  0 Page 19 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Vậy phương trình cho có nghiệm với m   Page 20 Sưu tầm biên soạn