Toan 11 c2 b6 1 cap so cong tu luan hdg

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN II DÃY SỐ CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN C H Ư Ơ N BÀI 6: CẤP SỐ CỘNG I LÝ THUYẾT = = = NGHĨA ĐỊNH I Cấp số cộng dãy số (hữu hạn vô hạn), kể từ số hạng thứ hai, số hạng số hạng đứng trước cộng với số không đổi d Số không đổi d gọi công sai cấp số cộng Đặc biệt, d 0 cấp số cộng dãy số không đổi (tất số hạng nhau) Nhận xét: Từ định nghĩa, ta có: 1) Nếu  un  cấp số cộng với cơng sai d , ta có cơng thức truy hồi un 1 un  d , n  *  1 2) Cấp số cộng  un  dãy số tăng công sai d  3) Cấp số cộng  un  dãy số giảm công sai d  NHẬN XÉT u  Để chứng minh dãy số n cấp số cộng, cần chứng minh un1  un số với số nguyên dương n VÍ DỤ = = =1 Chứng minh dãy số hữu hạn sau cấp số cộng: Ví dụ I Lời giải Vì   3; 13 10  3; 1  3; 16 13  3; 4  3;  2;1;4;7;10;13;16;19 10 7  3; 19 16  Nên theo định nghĩa cấp số cộng, dãy số  2;1;4;7;10;13;16;19 cấp số cộng với cơng sai d 3 Ví dụ Trong dãy số đây, dãy số cấp số cộng? Tìm số hạng đầu cơng sai Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN a a) Dãy số  n  , với  3n an 4n  b) Dãy số  bn  , với bn  Lời giải an1 4  n  1  4n  a) Ta có Do  an  b  Suy n an1  an  4n  1   4n  3 4, n 1 cấp số cộng với số hạng đầu a1 1 công sai d 4 bn1  b) Ta có nên   n  1   3n   3n  3n  bn1  bn    , n 1 4 4 nên cấp số cộng với số hạng đầu b1  u  Ví dụ Cho cấp số cộng n d  cơng sai có số hạng với số hạng đầu khai triển cấp số cộng u1  d  cơng sai Viết dạng Lời giải Ta có u2 u1  d  u5 u4  d  10 u4 u3  d  u  u  d  2 3; 3 ; 14 22 u7 u6  d  u  u  d  ; ; u  Vậy dạng khai triển cấp số cộng n 2 10 14 22 ;  ;  2;  ; ;  6;  3 3 SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA CẤP SỐ CỘNG Nếu cấp số cộng  un  có số hạng đầu u1 cơng sai d số hạng tổng quát un xác định công thức: un u1   n  1 d , n 2 (2) NHẬN XÉT Từ kết định lý 1, ta rút nhận xét sau: Cho cấp số cộng  un  biết hai số hạng up uq số hạng đầu cơng sai tính theo cơng thức: d = = = I u p  uq (1): p q (2): u1 u p   p  1 d VÍ DỤ Cho cấp số cộng  un  có u1 2 d  a) Tìm u20 b) Số  2018 số hạng thứ cấp số cộng? Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Lời giải u u1  19d 2  19     93 a) Ta có u20 u1  (20  1)d 2  19.( 5)  93 20 b) Số hạng tổng quát cấp số cộng un u1   n  1 d 7  5n Vì un  2018 nên  5n  2018  n 405 Do n 405 số nguyên dương nên số  2018 số hạng thứ 405 cấp số cộng cho Chú ý : Trong cấp số cộng  un  , số hạng (trừ số hạng đầu cuối) trung bình cộng hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa uk  uk   uk 1 với k 2 (3) NHẬN XÉT Một cách tổng quát, ta có: Nếu = = = I  un  cấp số cộng up  u p  k  u p k , k  p VÍ DỤ a) Cho cấp số cộng  un  có u99 101 u101 99 Tìm u100 2 b) Cho cấp số cộng  2; x;6; y Tính giá trị biểu thức P  x  y Lời giải a) Theo tính chất cấp số cộng, ta có b) Theo tính chất cấp số cộng, ta có Vì x 2 nên y 10 u100  x u99  u101 nên u100 100  26 x y 2 6 2 2 2 2 2 Vậy P  x  y 2  10 104 P  x  y 2  10 104 TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA CẤP SỐ CỘNG Cho cấp số cộng Sn  = = = I  un  có số hạng đầu u1 cơng sai d Đặt S n u1  u2   un Khi đó: n  u1  un  n  n  1 d S n nu1  2 (4) (5) VÍ DỤ Cho cấp số cộng  un  có u1  d 3 a) Tính tổng 25 số hạng cấp số cộng b) Biết S n 6095374 , tìm n Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Lời giải  n  n  n  3n   n  n  1 S n nu1  d  2n   2 Ta có a) Ta có S 25  25  3.25   25(3.25  7) 850 S 25  850 2 n  3n   6095374  3n  n  12190748 0 S  6095374 b) Vì n nên Giải phương trình bậc hai với n nguyên dương, ta tìm n 2017 II = = = I 1: Câu HỆ THỐNG B À Cho cấp số cộng I TẬP TỰ LU  un  có u1  ẬN , u8 26 Tìm cơng sai d Lời giải 11 u8 u1  7d  26   d  d  Câu 2: Cho dãy số  un  dãy số  un  cấp số cộng có u1 3 cơng sai d 4 Biết tổng n số hạng đầu S n 253 Tìm n Lời giải Ta có Sn  n  2u1   n  1 d   n  2.3   n  1  253  n 11  4n  2n  506 0    n  23  L   Câu 3: Cho cấp số cộng ( un ) có u1 = , u8 = 26 Tìm cơng sai Lời giải 11 u8 = u1 + d Û 26 = + 7d Û d = 3 Ta có Câu 4: Một gia đình cần khoan giếng để lấy nước Họ thuê đội khoan giếng nước Biết giá mét khoan 80.000 đồng, kể từ mét khoan thứ hai giá mét khoan tăng thêm 5.000 đồng so với giá mét khoan trước Biết cần phải khoan sâu xuống 50m có nước Hỏi phải trả tiền để khoan giếng đó? Lời giải Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN * Áp dụng cơng thức tính tổng n số hạng đầu cấp số nhân có số hạng đầu u1 80.000 , cơng sai d 5.000 ta số tiền phải trả khoan đến mét thứ n Sn  n  u1  un  n  2u1   n  1 d   2 * Khi khoan đến mét thứ 50 , số tiền phải trả S50  Câu 5: 50  2.80000   50  1 5000  Cho cấp số cộng  un  10.125.000 đồng có số hạng tổng quát un 3n  Tìm cơng sai d cấp số cộng Lời giải Ta có un 1  un 3  n  1   3n  3 Suy d 3 công sai cấp số cộng Câu 6: Cho cấp số cộng  un  có u1  , u6 27 Tính cơng sai d Lời giải Ta có u6 u1  5d 27  d 6 Câu 7: Cho cấp số cộng  un  có u1  , u6 27 Tính cơng sai d Lời giải Ta có u6 u1  5d 27  d 6 Câu 8: Cho cấp số cộng  un  có u1 5 tổng 50 số hạng đầu 5150 Tìm cơng thức số hạng tổng quát un Lời giải Ta có: S50  50  2u1  49d  5150  d 4 Số hạng tổng quát cấp số cộng Câu 9: Cho cấp số cộng  un  thỏa mãn un u1   n  1 d 1  4n u4 10  u4  u6 26 có cơng sai Lời giải Gọi d cơng sai Ta có: u4 10   u4  u6 26 u1  3d 10    2u1  8d 26 u1 1  d 3 Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Vậy công sai d 3 Câu 10: Cho cấp số cộng  un  có u5  15 , u20 60 Tổng 10 số hạng cấp số cộng Lời giải Gọi u1 , d số hạng đầu công sai cấp số cộng u5  15 u1  4d  15 u1  35    u 60  u1  19d 60  d 5 Ta có:  20 10 S10   2u1  9d  5    35   9.5    125 Vậy Câu 11: Cho cấp số cộng  un  có u4  12 , u14 18 Tính tổng 16 số hạng cấp số cộng Lời giải u1  3d  12 u  21   u  13d 18  d 3 Gọi d công sai cấp số cộng Theo giả thiết, ta có   2u 15d  16 S16  8   42  45  24 Khi đó, Câu 12: Trong hội chợ tết Mậu Tuất 2018 , công ty sữa muốn xếp 900 hộp sữa theo số lượng , , , từ xuống (số hộp sữa hàng xếp từ xuống số lẻ liên tiếp - mơ hình bên) Hàng có hộp sữa? Lời giải Cách 1: p dụng cơng thức tính tổng n số hạng liên tiếp CSC: n n S n   2u1   n  1 d   900   2.1   n  1   n 900  n 30 2 Vậy u30 1  29* 59 Cách 2: Áp dụng công thức      2n  1 n , suy n 30 Vậy 2n  59 Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Câu 13: Người ta trồng 465 khu vườn hình tam giác sau: Hàng thứ có cây, hàng thứ hai có cây, hàng thứ ba có cây….Số hàng khu vườn Lời giải 465 Cách trồng khu vườn hình tam giác lập thành cấp số cộng  un  với số un số hàng thứ n u1 1 công sai d 1 n  n  1   465 S  465 n  n  n  930  Tổng số trồng là: Như số hàng khu vườn 30 Câu 14: Cho cấp số cộng hạng  un   un   n 30   n  31 l  có u1 3 cơng sai d 7 Hỏi kể từ số hạng thứ trở số lớn 2018 ? Lời giải u u1   n  1 d 3   n  1 7 n  un  2018  n   2018  n  Ta có: n ; Vậy n 289 2022 Câu 15: Bốn số tạo thành cấp số cộng có tổng 28 tổng bình phương chúng 276 Tích bốn số : Lời giải Gọi số cần tìm a  3r , a  r , a  r , a  3r a  3r  a  r  a  r  a  3r 28  a 7 a 7   2 2   a  3r    a  r    a  r    a  3r  276 r 4 r 2 Ta có:  Bốn số cần tìm , , , 13 có tích 585 Câu 16: Chu vi đa giác 158cm , số đo cạnh lập thành cấp số cộng với cơng sai d 3cm Biết cạnh lớn 44cm Số cạnh đa giác là? Lời giải Giả sử giác cho có n cạnh chu vi đa giác là: Suy ra: 158   u1  44  n Sn   u1  un  n với u1 cạnh nhỏ  316  u1  44  n  22.79  u1  44  n Do u1  44 ước nguyên dương 316 2 79 đa giác có ba cạnh nên 316  u1  44  44 Suyra: u1  44 79  u1 35 Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN 44  35  4 Số cạnh đa giác cho là: ( cạnh ) Câu 17: Cho cấp số cộng số cộng  un  biết u5 18 Sn S2 n Tìm số hạng u1 cơng sai d cấp Lời giải  1 Ta có: u5 18  u1  4d 18 n  n  1 d   2n  2n  1 d     nu1    2nu1   2 Sn S n      4u1  2nd  2d 2u1  2nd  d  2u1  d 0   Từ  1   suy u1 2 ; d 4 Câu 18: Biết bốn số ; x ; 15 ; y theo thứ tự lập thành cấp số cộng Giá trị biểu thức x  y Lời giải Ta có: x  15 10  y 20 Vậy 3x  y 70 Câu 19: Cho cấp số cộng  un  , biết u1  , d 2 Số 81 số hạng thứ bao nhiêu? Lời giải Ta có un u1   n  1 d  81    n  1  n 44 Vậy 81 số hạng thứ 44 Câu 20: Cho cấp số cộng có tổng n số hạng đầu S n 3n  4n , n   * Giá trị số hạng thứ 10 cấp số cộng Lời giải Từ giả thiết ta có S1 u1 3.1  4.1 7 Ta có S n 3n  4n  n   6n  n   6n  1   un 6n   u10 61 2 * Câu 21: Cho cấp số cộng có tổng n số hạng đầu S n 4n  3n , n   số hạng thứ 10 cấp số cộng Lời giải n  u1  un  4n  3n  u  u 8n   u  u  8n  n n Theo cơng thức ta có Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Mà u1 S1 7 u10   8.10  79 * Câu 22: Cho cấp số cộng có tổng n số hạng đầu S n 4n  3n , n   số hạng thứ 10 cấp số cộng Lời giải n  u1  un  4n  3n  u  u 8n   u  u  8n  n n Theo công thức ta có Mà u1 S1 7 u10   8.10  79 Câu 23: Người ta viết thêm 999 số thực vào số số 2018 để cấp số cộng có 1001 số hạng Tìm số hạng thứ 501 Lời giải Áp dụng cơng thức cấp số cộng ta có: un u1   n  1 d  u1001 u1   1001  1 d  2018 1   1001  1 d  d  Vậy số hạng thứ 501 u501 u1   501  1 d  2017 1000 2019 Câu 24: Cho cấp số cộng có u1 1 cơng sai d  Tổng n số hạng cấp số cộng S n  9800 Giá trị n Lời giải Sn  n  2u1   n  1 d   9800  n    n  1  19600 0  n 100 Page Sưu tầm biên soạn