004 11 1 toan 10 b11 c4 tich vo huong tu luan hdg

CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO VECTƠ IV C H Ư Ơ N BÀI 11 TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ I LÝ THUYẾT = = = Định hai vectơ I nghĩa: Cho       a b khác vectơ Tích vơ hướng a b số, kí hiệu a.b, xác định công thức sau:     a.b  a b cos a, b       Trường hợp hai vectơ a b vectơ ta quy ước a.b 0 Chú ý        Với a b khác vectơ ta có a.b 0  a  b      Khi a b tích vơ hướng a.a kí hiệu a số gọi bình phương vơ  hướng vectơ a Ta có: 2   2 a  a a cos 00  a Các tính chất tích vơ hướng Người ta chứng minh tính chất sau tích vơ hướng:    a Với ba vectơ , b, c số k ta có:    a.b b.a (tính chất giao hốn);      a b  c a.b  a.c  (tính chất phân phối);      ka b k a.b a kb  ;         2 2   a 0, a 0  a 0 CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO Nhận xét Từ tính chất tích vơ hướng hai vectơ ta suy ra:    a  b     a  2a.b  b ;     a  b 2   2 a  2a.b  b ;   a  b   a  b  a     2 2 b Biểu thức tọa độ tích vô hướng     O; i; j , a  a1 ; a2  , b  b1 ; b2  Trên mặt phẳng tọa độ cho hai vectơ Khi tích vơ hướng  a.b là:  a.b a1b1  a2b2  Nhận xét Hai vectơ    a  a1 ; a2  , b  b1 ; b2   khác vectơ vng góc với a1b1  a2b2 0 Ứng dụng a) Độ dài vectơ  a  a1 ; a2  Độ dài vectơ tính theo cơng thức:  a  a12  a22 b) Góc hai vectơ  a  a1 ; a2  Từ định nghĩa tích vơ hướng hai vectơ ta suy ta có   a1b1  a2b2 a.b cos a; b     a.b a1  a22 b12  b22  b  b1 ; b2    c) Khoảng cách hai điểm Khoảng cách hai điểm A  xA ; y A  AB  B  xB ; y B   xB  tính theo cơng thức: x A    yB  y A   khác CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO Góc hai vectơ a) Định nghĩa        a b O OA  a OB b Góc Cho hai vectơ khác vectơ Từ điểm ta vẽ   0 AOB với số đo từ đến 180 gọi góc hai vectơ a b Ta kí hiệu góc hai         a , b a , b 900 a b a b vectơ Nếu ta nói vng góc với nhau, kí hiệu     a  b b  a     r b r a r a r b B A O b) Chú ý Từ định nghĩa ta có BÀI TẬP SÁCH G IÁ     a, b  b , a     O KHOA   a b 4.21 Trong mặt phẳng Oxy, tính góc hai vectơ trường hợp sau:       a  (  2;1), b (2;  2) a  (  3;1), b  (2; 6) a  (3;1), b  (2; 4) a) b) c) Lời giải    a b cos a, b    a b Vận dụng cơng thức tính góc hai véc tơ     cos a, b    a) b)  3.2  1.6   3  12 2  62   0  a, b 90 o     cos a, b    10    a, b 45o 32  12 22  10   cos a, b     1       1         c) 3.2  1.4 2    u 4.22 Tìm điều kiện , v để:    u.v  u v a) b)    3   a, b 180 o    u.v  u v   Lời giải      u v | u | | v | cos  u , v  a) Ta có hướng        cos  u , v  1 u , v  0  u  v  | u |  | v | để hay nên u , v      u v | u | | v | cos  u , v  b) Ta có  nên u , v ngược hướng CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO       cos  u , v   u , v  180 để u v  | u | | v | hay  4.23 Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(1;2),B( 4;3) Gọi M(t;0) điểm thuộc trục hoành   a) Tính AM BM theo t  b) Tìm t để AMB 90  a) Ta có Lời giải    AM  t  1;   , BM  t  4;  3  AM BM  t  1  t    2.3 t  3t       t  AM  BM  AM BM 0  t  3t  0      t  b) Để AMB 90  t     Vậy với  t  AMB 90 4.24 Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A( 4;1),B(2; 4),C(2;  2) a) Giải tam giác ABC b) Tìm tọa độ trực tâm H tam giác ABC Lời giải a) AB    4 AC    4     1  45 BC    2      6 b) Giả sử    1  45 3 H  x; y   ta có    AH  x  4; y  1 , BC  0;   , BH  x  2; y   , CA   6; 3 Vì H trực tâm tam giác ABC nên    AH BC 0  x     y  1    0        x     y   0  BH CA 0 4.25 Chứng minh với tam giác ABC, ta có:  13 x   13   H  ; 1     y 1 S ABC  2   2 AB AC  AB AC  Lời giải 1 S  AB AC sin A  S  AB AC   cos A  Ta có      AB AC 2     AB AC  AB AC  S  AB AC    AB AC       Hay      CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO Vậy S ABC 2  AB AC  AB AC   4.26 Cho tam giác ABC có trọng tâm G Chứng minh với điểm M, ta có: MA2  MB2  MC 3MG  GA2  GB  GC Lời giải   2    2 MA2  MB  MC  MG  GA  MG  GB  MG  GC     3MG  MG GA  GB  GC  GA2  GB  GC         3MG  GA2  GB  GC II = = =I HỆ THỐNG B ÀI TẬP DẠNG 1: XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI VECTƠ PHƯƠNG PHÁ P = = = · Sử dụng định nghĩa góc vectơ I · Sử dụng tính chất tam giác, hình vng… BÀI TẬP TỰ LUẬN = =   = P  cos AB, BC   CâuI Cho tam giác ABC Tính Lời giải C A   Vẽ BE  AB Khi   E     AB, BC  BE , BC CBE 180  CBA 1200       cos AB, BC cos1200   B  CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO = = = Câu 1: I BÀI TẬP TRẮC N GHIỆM o ˆ Tam giác ABC vng A có góc B 50 Hệ thức sau sai?         o o o AB, BC 130 BC , AC 40 AB, CB 50 AC , CB 40o A B C D         Lời giải Chọn D (Bạn đọc tự vẽ hình)   AC , CB 1800  ACB 1800  400 140 Vì  Câu 2:  o Cho O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP Góc sau 120 ?       MN , NP MO, ON MN , OP MN , MP A B C D         Lời giải Chọn A P F O     M N E   MN , NP   NE , NP  • Vẽ NE  MN Khi    PNE 180o  MNP 180o  60o 120o        MO , ON  OF , ON  NOF 60o • Vẽ OF  MO Khi  MN  OP  MN , OP 90o • Vì    MN , MP NMP 60o • Ta có    P  cos AB , BC  cos BC , CA  cos CA, AB Cho tam giác ABC Tính    Câu 3: A P 3        B P  C Lời giải Chọn C P     D P  3 CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO C A    Vẽ BE  AB Khi B E       AB, BC  BE , BC CBE 180o  CBA 120o       cos AB, BC cos120o      cos BC , CA cos CA, AB  Tương tự, ta có          cos AB, BC  cos BC , CA  cos CA, AB  Vậy   AH , BA Cho tam giác ABC có đường cao AH Tính  Câu 4:        o A 30 o B 60  o o C 120 D 150 Lời giải Chọn D C H a A B E   Vẽ AE  BA    AH , AE  HAE  Khi (hình vẽ)      AH , BA  AH , AE 180o  BAH 180o  30o 150o   Câu 5:     Tam giác ABC vng A có BC 2 AC Tính     1 cos AC , CB  cos AC , CB  B A     3 cos AC , CB  cos AC , CB  D C         Lời giải Chọn B   cos AC , CB   CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO C B A Xác định Ta có    AC , CB 180o  ACB  cos ACB  AC   ACB 60o CB     AC , CB 180o  ACB 120o     cos AC , CB cos120o  Vậy       AB , BC  BC , CA  CA, AB Cho tam giác ABC Tính tổng  Câu 6:   o     o B 360 A 180  o C 270 o D 120 Lời giải Chọn B    AB, BC 180o  ABC    o   BC , CA 180  BCA     CA, AB 180o  CAB  Ta có            AB, BC  BC , CA  CA, AB 540o  ABC  BCA  CAB 540o  180o 360o        Câu 7:            AB , BC  BC , CA o ˆ Cho tam giác ABC với A 60 Tính tổng o o o A 120 B 360 C 270    Lời giải Chọn D    AB, BC 180o  ABC    o   BC , CA 180  BCA Ta có        AB, BC  BC , CA 360o  ABC  BCA             360o  180o  BAC 360o  180o  60o 240o Câu 8: Cho hình vng ABCD Tính   cos AC , BA     o D 240 CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO     2 cos AC , BA  cos AC , BA  B A     cos AC , BA 0 cos AC , BA  C D         Lời giải Chọn B C D B A E   Vẽ AE  BA Khi    cos AC , BA cos AC , AE cos CAE cos135        Câu 9:      AB, DC    AD, CB    CO, DC  Cho hình vng ABCD tâm O Tính tổng o A 45 o B 405 o C 315 o D 225 Lời giải Chọn C B A O D C E     AB, DC 0o • Ta có AB, DC hướng nên       AD, CB 180o AD , CB • Ta có ngược hướng nên     • Vẽ CE  DC ,    CO, DC  CO, CE OCE 135o  Vậy        AB, DC  AD, CB  CO, DC 0o 180o 135o 315o      Câu 10: Tam giác ABC có góc A       HA, HB  HB, HC  HC , HA  o A 360     B 180 100o có trực tâm H  o o C 80 D 160 o Tính tổng CHUN ĐỀ IV – TỐN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO Lời giải Chọn D H F I A 1000 B C     HA, HB  BHA      HB, HC  BHC     HC , HA CHA Ta có             HA, HB  HB, HC  HC , HA  BHA  BHC  CHA             2 BHC 2  180o  100o  160 o  (do tứ giác HIAF nội tiếp) DẠNG 2: TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ = = = I PHƯƠNG PHÁ P     a.b  a b cos a; b    Dựa vào định nghĩa  Sử dụng tính chất đẳng thức tích vơ hướng hai vectơ BÀI TẬP TỰ LUẬN = = = Câu Cho tam giác ABC vuông A I   có AB a, BC 2a G trọng tâm  BA BC a) Tính tích vô hướng: ; BC.CA       b) Tính giá trị biểu thức AB.BC  BC.CA  CA AB       c) Tính giá trị biểu thức GA.GB  GB.GC  GC.GA Lời giải