11 TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ ❶ Giáo viên Soạn: Phạm Huy FB: Dòng Đời ❷ Giáo viên phản biện : Dương Trang Nhung FB: Dương Trang Nhung Tính chất củatích vơ hướng u, v, w số thực k ta có: Với ba vectơ u.v v.u ( tính chất giao hoán); u v w u.v u.w ( Tính chất phân phối phép cộng); ku v k u.v u kv trên, ta chứng minh được: Chú ý: Từ các tính chất u v w u.v u.w ( Tính chất phân phối phép trừ); 2 2 u v u 2u.v v ; u v u u v v ; u v u v u v 2 2 Ví dụ ( Ứng dụng vectơ tốn hình học) Cho điểm M thay đổi đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC cho trước Chứng minh 2 MA MB MC không đổi Giải Cách 1: ( Dùng tọa độ) Xét hệ trục tọa độ có gốc trùng với O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi tọa độ điểm A(x A ; y A ), B(x B ; y B ), C(x C ; yC ), M(x; y) Vì tam giác ABC nên tâm đường tròn ngoại tiếp O(0;0) đồng thời trọng tâm tam giác Do 2 2 nên x y x A y A R x A x B x C 0 y A y B yC 0 Vì OM OA2 R 2 2 2 2 Vậy MA ( x x A ) (y y A ) ( x y ) ( x A y A ) xx A yy A = 2R xx A yy A 2 2 Tương tự MB 2R xxB yyB MC 2R xxC yyC 2 2 Do MA MB MC 6 R x ( x A xB xC ) y ( y A yB yC ) 6 R (khơng đổi) Cách 2: ( Dùng tích vơ hướng) (Hình 4.44) Chương Hình học ⓾ Vì tam giác ABC nên Tâm O đường tròn ngoại tiếp đồng thời trọng tâm tam giác Vậy OA OB OC 0 Giả sử (O) có bán kính R Ta có: 2 MA2 MB MC MA MB MC 2 2 MO OA MO OB MO OC 2 3MO MO OA MO OB MO OC OA OB OC 2 3MO MO.(OA OB OC ) R 3R MO.0 3R 6 R 2 Vậy MA MB MC không đổi M thay đổi (O) Hình 4.44 Luyện tập Cho tam giác với Gọi trực tâm tam giác AH BC a) Chứng minh BH CA 0 b) Tìm tọa độ điểm H c) Giải tam giác ABC Lời giải ABC nên AH BC BH CA a) Vì H trực tâm tam giác AH BC BH CA suy đó AH BC 0 BH CA 0 Hình 4.45 H x; y b) Giả sử ta có AH x 1; y , BC 0; , BH x 8; y 1 , CA 9; AH BC 0 x 1 y 0 x 6 H 6; y x y BH CA Vì H trực tâm tam giác ABC nên c) AB 1 90 3 10 AC 1 117 2 BC 9 Vận dụng Một lực không đổi tác động vào vật điểm đặt lực chuyển động thẳng từ A đến B Lực phân tích thành hai lực thành phần a) Dựa vào tính chất tích vơ hướng, giải thích cơng sinh lực F (đã đề cập trên) tổng F F công sinh lực 1 và F F b) Giả sử lực thành phần , tương ứng phương, vng góc với phương chuyển động vật Hãy tìm mối F quan hệ công sinh lực F lực Chương Hình học ⓾ Lời giải Hình 4.46 a) Ta có: 2 2 F1 F2 F1 2.F1.F2 F2 F12 2.F1.F2 cos F1 , F2 F22 F12 2.F1.F2 cos 90 F22 2 2 F F F F F1 F2 F F F F1 F cos b) Gọi góc tạo BÀI TẬP a b 4.21 Trong mặt phẳng Oxy, tính góc hai vectơ trường hợp sau: a ( 2;1), b (2; 2) a ( 3;1), b (2;6) a (3;1), b (2; 4) a) b) c) Lời giải a b cos a, b a b Vận dụng cơng thức tính góc hai véc tơ cos a, b a) b) 3.2 1.6 3 12 22 62 0 a, b 90 o cos a, b 10 a, b 45o 32 12 22 10 cos a, b 1. 1 c) 3.2 1.4 2 4.22 Tìm điều kiện u, v để: u.v u v a) b) 3 a, b 180 o u.v u v Lời giải u v | u | | v | cos u , v cos u , v 1 u , v 0 để u v | u | | v | hay nên u , v u v | u | | v | cos u , v cos u , v u , v 180 u v | u | | v | để hay a) Ta có hướng b) Ta có nên u , v ngược hướng 4.23 Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(1;2), B( 4;3) Gọi M(t; 0) điểm thuộc trục hồnh a) Tính AM BM theo t b) Tìm t để AMB 90 Lời giải a) Ta có AM t 1; , BM t 4; AM BM t 1 t 2.3 t 3t Chương Hình học ⓾ t AM BM AM BM 0 t 3t 0 t b) Để AMB 90 t Vậy với t AMB 90 4.24 Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A( 4;1),B(2; 4),C(2; 2) a) Giải tam giác ABC b) Tìm tọa độ trực tâm H tam giác ABC Lời giải a) AB 4 AC 4 1 45 BC 2 6 b) Giả sử 1 45 3 2 H x; y ta có AH x 4; y 1 , BC 0; , BH x 2; y , CA 6; Vì H trực tâm tam giác ABC nên AH BC 0 x y 1 0 x y 0 BH CA 0 13 x 13 H ; 1 y 1 S ABC 4.25 Chứng minh với tam giác ABC, ta có: 2 2 AB AC AB AC Lời giải 1 S AB AC.sin A S AB AC cos A Ta có AB AC 2 AB AC AB AC S AB AC AB AC Hay Vậy S ABC 2 AB AC AB AC 4.26 Cho tam giác ABC có trọng tâm G Chứng minh với điểm M, ta có: MA2 MB MC 3MG GA2 GB GC Lời giải 2 2 MA2 MB MC MG GA MG GB MG GC 3MG 2MG GA GB GC GA2 GB GC Chương Hình học ⓾ 3MG GA2 GB GC BÀI TẬP RÈN LUYỆN a 1; Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ, độ dài A là: B C D Lời giải a a1 ; a2 Áp dụng công thức: Độ dài vectơ a 1;2 a 12 2 Ta có: tính theo công thức Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ, khoảng cách hai điểm A 89 89 B M 1;2 C N 4;6 a a12 a22 là: D Lời giải Áp dụng công thức: Khoảng cách hai điểm thức AB Ta có: xB M 1;2 x A yB y A A xA ; yA B xB ; y B tính theo cơng N 4;6 MN 1 B 45 Áp dụng công thức: Nếu a a1 ; a2 5 a 2; 1 Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ, góc hai vectơ A 135 b 3; 1 C 90 là: D 60 Lời giải b b1 ; b2 khác ta có a.b a1b1 a2b2 cos a ; b a.b a1 a22 b12 b22 a.b cos a ; b a.b 2.3 1 1 2 Ta có: a ; b 135 Vậy 2 1 32 1 1 10 ABCD a Câu 4: Cho hình vng có độ dài cạnh Tính AB AC theo a a2 A C a B a a2 D Lời giải AB AC AB AC.cos AB , AC a.a a 2 Ta có Chương Hình học ⓾ Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ trực tâm H ABC Oxy , cho ABC có A 3;2 , B 11;0 , C 5; Xác định tọa độ 25 58 H ; A 25 58 H ; B 3 25 58 H ; C 25 58 H ; D 3 Lời giải Gọi H x; y Ta có AH x 3; y , BC 16;4 , BH x 11; y , AC 2; 25 x AH BC 0 x y 14 25 58 y 58 H ; x y 11 BH AC 0 Vậy Vì H trực tâm nên Câu 6: Cho tam giác ABC vuông A AB.CB 9; AC BC 3 Độ dài cạnh BC bằng? A C B D 15 Lời giải Ta có CB 9 AB AC BC AB AC AB AC 9 AB AC AB 3 AC 2 9 BC 2 3 a , b | a | 2, | b | | a b | a b a Câu 7: Cho vectơ biết Tính góc vectơ 2b A 30 B 60 C 120 D 150 t l AM BM 0 t 3 t 0 t t 0 M 3;0 t MAB M Lời giải Ta có: 2 2 | a 2b |2 a 4a.b 4b 4 a.b 2 2 a b a 2b a a.b 2b 3 Chương Hình học ⓾ a b a 2b 2 2 a 2a.b b 3 | a b | 2 2 a 4a.b 4b 12 | a 2b |2 a b a 2b cos a b, a 2b | a b | | a 2b | 3.2 Mà: a b a Nên góc vectơ 2b 60 Câu 8: Cho hình thang cân ABCD biết đáy lớn CD 3a , AB a BC a Gọi H hình chiếu vng góc A lên cạnh CD Tính A a BH AC AD B 5a C a D 5a Lời giải Có DH CD AD a ABHD hình bình hành AH a BH AC AD BH AC BH AD Có: AH AB AH HC AD AH AB.HC AD a a.2a.cos 00 2a a Câu 9: Cho ba điểm A(3; 4) , B (2;1) C ( 1; 2) Tìm điểm M đường thẳng BC để góc AMB 450 A M 5; B M 2;3 C M 5; D M 2; 3 Lời giải Giả sử M x; y suy Vì AMB 45 suy MA x; y , MB x;1 y , BC 3; cos AMB cos MA; BC Chương Hình học ⓾ MA.BC cos 450 MA BC x 3 x 3 y x y 99 y x y (*) Mặt khác M thuộc đường thẳng BC nên hai vectơ MB, BC phương x 1 y x y 1 3 Suy vào (*) ta y 2 y y y y 0 y 2 y 4 MA 0; , MB 1; 1 cos AMB cos MA; MB + Với y 2 x 3 , ta có Khi AMB 135 (khơng thỏa mãn) MA 2;0 , MB 3; 3 cos AMB cos MA; MB + Với y 4 x 5 , Khi AMB 45 Vậy M 5; điểm cần tìm A 2;1 Câu 10: Cho điểm Lấy điểm B nằm trục hồnh có hồnh độ khơng âm điểm C trục tung có tung độ dương cho tam giác ABC vuông A Tìm toạ độ điểm C để tam giác ABC có diện tích lớn A C 2;5 B C 2;5 C C 5; D C 0;5 Lời giải Gọi B b;0 , C 0; c Suy với b 0 , c AB b 2; 1 , AC 2; c 1 Theo giả thiết ta có tam giác ABC vng A nên AB AC 0 b c 1 0 c 2b 1 S ABC AB AC (b 2) 1 2 (c 1) (b 2) b 4b 2 Ta có Vì c nên 2b b Xét hàm số y x x với x Bảng biến thiên Chương Hình học ⓾ y 5 x 0 Do diện Suy giá trị lớn hàm số y x x với tích tam giác ABC lớn b 0 , suy c 5 x Vậy C 0;5 điểm cần tìm Chương Hình học ⓾ ... Hình 4.46 a) Ta có: 2? ?? 2? ?? F1 F2 F1 2. F1.F2 F2 F 12 2. F1.F2 cos F1 , F2 F 22 F 12 2. F1.F2 cos 90 F 22 ? ?2 2 F F F F F1 F2 F F F F1 F cos ... 3 .2 1.6 3 12 22 62 0 a, b 90 o cos a, b 10 a, b 45o 32 12 22 10 cos a, b 1. 1 c) 3 .2 1.4 2 4 .22 ... ? ?2 ? ?2 | a 2b |? ?2 a 4a.b 4b 4 a.b ? ?2 ? ?2 a b a 2b a a.b 2b 3 Chương Hình học ⓾ a b a 2b ? ?2 ? ?2 a 2a.b