Kntt c4 b11 p1 tich vo huong cua 2 vecto

11 TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ ❶ Giáo viên Soạn: Nguyễn Thị An FB: An Nguyen ❷ Giáo viên phản biện : Dương Trang Nhung FB: Dương Trang Nhung THUẬT NGỮ  Góc hai vectơ  Tích vơ hướng hai vectơ KIẾN THỨC, KĨ NĂNG  Tính góc, tích vơ hướng hai vectơ trường hợp cụ thể  Cơng thức toạ độ tích vơ hướng, tính chất tích vơ hướng  Liên hệ khái niệm tích vơ hướng với khái niệm cơng Vật lí Tốn học cung cấp ngơn ngữ công cụ cho nhiều ngành khoa học Trong học trước, ta dùng vectơ để biểu diễn đại lượng lực, vận tốc dùng phép toán vectơ để tính hợp lực tổng hợp vận tốc Bài học tiếp tục xây dựng khái niệm tích vơ hướng hai vectơ – đối tượng tốn học cịn dùng để định nghĩa khái niệm cơng sinh lực Vật lí GĨC GIỮA HAI VECTƠ HĐ1: Trong hình 4.39, số đo góc BAC   gọi số đo góc vectơ AB AC Hãy tìm số     BC BD DA đo góc , DB Giải:    BC BD CBD 30 Góc   ADB 50 Góc DA DB Hình 4.39    u v khác vectơ Từ điểm A Cho hai vectơ     tuỳ ý, vẽ vec tơ AB u AC v (H.4.40) Khi số đo góc BAC gọi số đo góc   u, v   u , v hai vectơ , kí hiệu Hình 4.40 Chú ý    Quy ước góc hai vectơ u nhận giá trị tuỳ ý từ 0 đến 180          Nếu  u , v  90 ta nói u v vng góc với nhau, kí hiệu u  v v  u  Đặc biệt vectơ coi vng góc với vectơ ? Khi góc hai vectơ , 180 ?   Giải: Góc hai vectơ hai vectơ hướng  Góc hai vectơ 180 hai vectơ ngược hướng  Ví dụ Cho tam giác ABC vng A,   góc B 30 Tính       AB, AC , CA, CB , AB, BC     Giải ( H 41)    AB, AC BAC 90 , Ta có  CA, CB  ACB 60 ,      AB, BC  BD, BC DBC 150        Hình 4.41  Luyện tập Cho tam giác ABC, tính Giải:      AB, BC   BB, BC  B BC 120 Vẽ vectơ AB BB Ta có TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ Hình 4.42  Trong Vật lí, lực F không đổi tác  dụng vào vật điểm đặt lực chuyển động thẳng từ M tới N, cơng A lực F tính theo công thức:     A  F MN cos F , MN   Trong F  độ lớn lực F (theo đơn vị Newton);   MN  độ dài vectơ MN (theo đơn vị mét);    F , MN góc hai vectơ F MN  Toán học  gọi giá trị A (khơng kể đơn vị đo) biểu thức nói tích vơ hướng hai vectơ F MN ?    u v u v Tích vô hướng hai vectơ khác vectơ-không số, kí hiệu xác định cơng thức sau:     u v  u v cos  u , v    u Khi tích vơ hướng hai vectơ , v số dương? Là số âm? Giải:   Tích vơ hướng hai vectơ u , v số dương góc hai vectơ góc nhọn  ( )   u Tích vơ hướng hai vectơ , v số âm góc hai vectơ góc tù ( 180 )  Chú ý       u  v  u.v 0 v  u  2  Tích u.u cịn viết u gọi  bình phương vơ hướng u    2 u  u u cos 0  u Ta có   2 2 u.v u v ?   Khi   u , v 0   2 2 u.v u v      u , v 180  Giải:       Ví dụ Cho hình vng ABCD có cạnh a       Tính tích vơ hướng sau: AB AD, AB AC , AB.BD Giải:   AB AD  90  Vì    nên AB AD 0 Hình vng có cạnh a nên có đường chéo a Mặt     AB, AC 45 , AB, BD 135 khác,  AB AC  AB AC.cos 45 a.a a ;    2 AB.BD  AB.BD.cos135 a.a     a       Luyện tập Cho tam giác ABC có BC a, CA b, AB c   Hãy tính AB AC theo a, b, c Giải: Từ định lí côsin tam giác ABC suy b2  c2  a cosA  2bc Ta có     AB AC  AB AC cosA c.b.cos A c.b b2  c  a b2  c  a  2bc - BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ VÀ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG HĐ2: Cho hai vectơ phương Hãy kiểm tra công thức  u v k ( x  y ) theo trường hợp sau:   u 0; a) b) c)   u 0 k 0;   u 0 k  Giải:  2   u 0, ta có u v 0; k x  y 0 Vậy công thức cho  a) Khi  Hình 4.43   u 0 k 0 cơng thức cho khơng xảy trường hợp b) Khi  u.v 0; k x  y 0     u 0 k  cơng thức cho khơng xảy trường hợp c) Khi  u.v  0; k x  y    HĐ3: Trong mặt phẳng toạ độ , cho hai vectơ không phương    OA  u , OB v a) Xác định toạ độ điểm A B cho b) Tính AB , OA2 , OB theo toạ độ A B   c) Tính OA.OB theo toạ độ A, B Giải: a) Ta có A  x; y  , B  x; y  2  2 2 AB  AB  AB  AB AB  x  x    y   y  b) Ta có   2 2 OA  OA OA u x  y   2 OB  OB OB v x2  y 2   OA OB  x.x  y y c) Ta có Tích vơ hướng hai vectơ  u ( x; y )  v ( x; y ) tính theo cơng thức:  u.v  x.x  u.u  Nhận xét    Hai vectơ u v vng góc với x.x  y y 0   2  Bình phương vơ hướng vectơ u ( x; y ) u x  y      Nếu u 0 v 0  u v xx  yy  cos  u , v      u v x  y x2  y 2 Ví dụ Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tính tích vơ hướng vectơ sau:  u  2;  3 a) b)  v  5;3 ;   i Hai vectơ đơn vị j tương ứng trục Ox, Oy Giải  u v 2.5  ( 3).3 10  1 a) Ta có    i (1;0) j (0;1) nên i j 1.0  0.1 0 Vì b) Luyện tập Tính tích vơ hướng góc hai vec tơ Giải: Ta có  u v 0  ( 5).1 0     u v 5 5  cos  u , v          u , v  120 u v 02  52  12 10 HĐ4: Cho ba vectơ a) Tính        u (v  w), u v u.w theo toạ độ vectơ u , v , w b) So sánh c) So sánh     u (v  w) u.v u.w    u v v.u Giải: a) Ta có b) Ta có Suy ra:   (v  w)  x2  x3 ; y2  y3  ; Suy ra:    u (v  w)  x1  x2  x3   y1  y2  y3    u.v  u w = x1 x2  y1 y2  x1 x3  y1 y3 x1  x2  x3   y1  y2  y3        u (v  w) u.v  u w   u v = x1 x2  y1 y2 v.u = x1 x2  y1 y2 Suy ra: u.v v.u c)Ta có ... ra:   (v  w)  x2  x3 ; y2  y3  ; Suy ra:    u (v  w)  x1  x2  x3   y1  y2  y3    u.v  u w = x1 x2  y1 y2  x1 x3  y1 y3 x1  x2  x3   y1  y2  y3      ... Tính AB , OA2 , OB theo toạ độ A B   c) Tính OA.OB theo toạ độ A, B Giải: a) Ta có A  x; y  , B  x; y  2? ??  2? ?? 2 AB  AB  AB  AB AB  x  x    y   y  b) Ta có   ? ?2 2 OA  OA...  u  v  u.v 0 v  u  ? ?2  Tích u.u viết u gọi  bình phương vơ hướng u    ? ?2 u  u u cos 0  u Ta có   ? ?2 ? ?2 u.v u v ?   Khi   u , v 0   ? ?2 ? ?2 u.v u v      u , v