004 09 1 toan 10 b9 c4 tich cua mot vecto voi mot so hdg

CHUYÊN ĐỀ VI – HÌNH HỌC 10 – VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG C H Ư Ơ I VECTƠ BÀI 3: TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ LÝ THUYẾT I = = ĐỊNH = NGHĨA:    I Cho số k 0 vectơ a 0 Tích vectơ a với số k  vectơ, kí hiệu ka ,    k a a k  a k  hướng với , ngược hướng với có độ dài   Quy ước: 0.a 0 2.TÍNH CHẤT:   Với hai vectơ a , b bất kỳ, với số thực h k , ta có: 1) 3)     k a  b ka  kb     h  ka   hk  a ;  ;    h  k  a ha  ka ; 2)     1 a  a a a , 4) TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG VÀ TRỌNG TÂM CỦA TAM GIÁC:    a) Nếu I trung điểm đoạn thẳng AB với điểm M ta có MA  MB 2 MI     b) Nếu G trọng tâm tam giác ABC với điểm M ta có MA  MB  MC 3MG ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG:       Điều kiện cần đủ để hai vectơ a b ( b 0 ) phương có số thực k để a kb Nhận xét: Ba điểm phân biệt A , B , C thẳng hàng có số k khác để   AB k AC PHÂN TÍCH MỘT VECTƠ THEO HAI VECTƠ KHƠNG CÙNG PHƯƠNG: CHUN ĐỀ VI – HÌNH HỌC 10 – VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG    Cho hai vectơ a b khơng phương Khi vectơ x phân tích cách      theo hai vectơ a b , nghĩa có cặp số h, k cho x ha  kb II = = = I VÍ DỤ MINH H ỌA Câu Cho đoạn thẳng AB M điểm nằm đoạn AB đẳng thức sau:   a) AM k AB    AM  AB cho Tìm k  b) MA k MB c) MA k AB Lời giải A M B  AM  k   AM    AB  AB , mà a) AM k AB  MA  k  MA    MB  MB , mà b) MA k MB   AM hướng AB    MA ngược hướng MB k  k   MA  k  MA      AB  AB , mà MA ngược hướng AB c) MA k AB   Câu Cho a  AB điểm O Xác định hai điểm M N  k    cho: OM 3a ;   ON  4a Lời giải    Vẽ d qua O song song với giá a (nếu O thuộc giá a d giá a )      OM 3 a OM d M  Trên lấy điểm cho , a hướng Khi OM 3a  Trên d lấy điểm N cho  ON 4 a     , ON a ngược hướng nên ON  4a Câu Cho ABC có trọng tâm G Cho điểm D , E , F trung điểm cạnh BC ,    CA , AB I giao điểm AD EF Đặt u  AE , v  AF Hãy phân tích vectơ       AG AI , , DE , DC theo hai vectơ u , v CHUYÊN ĐỀ VI – HÌNH HỌC 10 – VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG Lời giải Dễ thấy tứ giác AEDF hình bình hành dẫn đến I trung điểm AD    1 1 1 AI  AD  AE  AF  u  v 2 2 Do    2   2 2     AG  AD  u  v DE FA  AF 0.u    1 v    3 ; ; DC FE  AE  AF u  v  Câu Cho tam giác ABC Điểm M nằm cạnh BC cho MB 2 MC Hãy phân tích vectơ AM   theo hai vectơ u  AB ,   v  AC Lời giải   BM  BC Từ giả thiết MB 2 MC ta dễ dàng chứng minh         AM  AB  BM  AB  BC Do mà BC  AC  AB    2 1 2 AM  AB  AC  AB  u  v 3    Câu Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Gọi I trung điểm AM K điểm thuộc AC AK  AC cho Chứng minh ba điểm B , I , K thẳng hàng Lời giải CHUYÊN ĐỀ VI – HÌNH HỌC 10 – VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG     2BI  BA  BM I AM Ta có trung điểm   BM  BC Mặt khác M trung điểm BC nên       BI  BA  BC  BI 2 BA  BC  1 Do         1 2 BK BA  AK BA  AC BA  BC  BA  BA  BC 3 3      3BK 2 BA  BC   2      BK  BI  BK  BI  1   Từ Suy điểm B , I , K thẳng hàng    Câu Cho tam giác ABC Hai điểm M , N xác định hệ thức: BC  MA 0     AB  NA  AC 0 Chứng minh MN // AC Lời giải Ta có             BC  MA  AB  NA  AC 0  AC  MN  AC 0  MN 2 AC  1      Mặt khác, BC  MA 0  BC  AM Do ba điểm A , B , C không thẳng hàng nên bốn điểm A , B , C , M bốn đỉnh hình  2 bình hành BCMA  ba điểm A , M , C không thẳng hàng Từ  1  2 suy MN // AC Câu Cho tam giác ABC Gọi M , N , P trung điểm BC , CA , AB Chứng minh     AM  BN  CP 0 Lời giải Ta có CHUN ĐỀ VI – HÌNH HỌC 10 – VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG        1  AM  BN  CP  AB  AC  BA  BC  CA  CB 2  1       AB  BA  AC  CA  BC  CB 0 2             Câu Cho tứ giác ABCD , O giao điểm hai đường chéo AC BD Gọi G , G  theo thứ tự    trọng tâm tam giác OAB OCD Chứng minh AC  BD 3GG Lời giải Vì G  trọng tâm tam giác OCD nên ta có:  1   GG  GO  GC  GD    1 Vì G trọng tâm tam giác OAB nên ta có:         GO  GA  GB  2 GO  GA  GB 0    1        GG  GC  GA  GD  GB  AC  BD  1   3 Từ     AC  BD 3GG      Câu Cho tam giác ABC với H , O , G trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp trọng tâm   tam giác Chứng minh OH 3OG Lời giải CHUYÊN ĐỀ VI – HÌNH HỌC 10 – VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG Gọi D điểm đối xứng A qua O , ta có BH // DC (cùng vng góc với AC )  1 CH // BD (cùng vng góc với AB )     suy tứ giác BHCD hình bình hành  ba điểm H , M , D thẳng hàng    AH 2OM         OH  OA  AH  OA  OM  OA  OB  OC Ta có     Do G trọng tâm tam giác ABC nên OA  OB  OC 3OG   OH 3OG Suy Từ  1 BÀ I TẬ P S Á C H GIÁO KHO A  4.11 Cho hình bình hành ABCD Gọi M trung điểm cạnh BC Hãy biểu thị AM theo hai vectơ   AB AD Lời giải  1     1  AM  AB  AC  AB   AB  AD  AB  AD 2 2 4     CHUYÊN ĐỀ VI – HÌNH HỌC 10 – VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG 4.12 Cho tứ giác ABCD Gọi M , N tương ứng trung điểm cạnh AB, CD Chứng minh      BC  AD 2MN  AC  BD Lời giải B M A D C N                 BC  AD BM  MN  NC  AM  MN  ND 2MN  BM  AM  NC  ND 2MN   2M                     BC  AD BA  AC  AB  BD  BA  AB  AC  BD 0  AC  BD  AC  BD   4.13 Cho hai điểm phân biệt A B    a) Hãy xác định điểm K cho KA  KB 0  1  OK  OA  OB 3 b) Chứng minh với điểm O , ta có Lời giải            KA  KB 0  KA  KA  AB 0  3KA  AB  AK  AB a)      b) Ta có: KA  KB 0  KA  KB 2 1    2     2  1 OA  OB  OK  KA  OK  KB OK  KA  KB OK   2KB  KB OK 3 3 3 3        4.14 Cho tam giác ABC     a) Hãy xác định điểm M để MA  MB  MC 0     b) Chứng minh với điểm O , ta có OA  OB  2OC 4OM Lời giải a)     MA  MB  2MC 0        MA  MA  AB  2MA  AC 0     MA  AB  AC  1   AM  AB  AC           OA  OB  OC  OM  MA  OM  MB  OM  MC  OM b)      CHUYÊN ĐỀ VI – HÌNH HỌC 10 – VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG    F , F2 , F3 4.15 Chất điểm A chịu tác động ba lực   Hình 4.30 trạng thái cân (tức     F1  F2  F3 0 F, F F ) Tính độ lớn lực , biết có độ lớn 20 N Hình 4.30 Lời giải    F1  F2 F4         F1  F2  F3 0  F4  F3   F3  F4    F1 20 3 40 F2  F1 tan 30  ; F4   cos30 ; Ta có:  Vậy F2   20 40 N, F3  N 3 III HỆ THỐNG BÀI TẬP = =  DẠNG =I 1: XÁC ĐỊNH VECTƠ ka CHUYÊN ĐỀ VI – HÌNH HỌC 10 – VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG = = =I Câu 1: BÀ I TẬ P T Ự L UẬN    A , B MA  3MB 0 M Cho hai điểm phân biệt Xác định điểm biết Lời giải Ta có:             MA  3MB 0  MA  3( MA  AB) 0   MA  AB 0  AM 3 AB   AM , AB hướng AM 3 AB Câu 2: Cho tam giác ABC    KA  KB CB K a) Tìm điểm cho     b) Tìm điểm M cho MA  MB  MC 0 Lời giải            a) Ta có: KA  KB CB  KA  KB KB  KC  KA  KB  KC 0  K trọng tâm tam giác ABC b) Gọi I trung điểm của AB Ta có:        MA  MB  2MC 0  2MI  2MC 0  MI  MC 0  M trung điểm IC Câu 3: Cho tam giác ABC cạnh a Tính    AB  AC  BC a)   AB  AC b) Lời giải CHUYÊN ĐỀ VI – HÌNH HỌC 10 – VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG           AB  AC  BC  ( AB  BC )  AC  AC  AC  AC 2 AC 2 AC 2a a) b) Gọi H trung điểm BC Ta có:  Câu 4:    a 2 AB  AC  AH 2 AH 2 AH 2 AB  BH 2 a    a  2  Cho ABC vuông B có A 30 , AB a Gọi I trung điểm AC Hãy tính:     BA  BC AB  AC a) b) Lời giải Ta có: BC  AB tan A a tan 300  a AB a 2a AC    , cos A cos 30     AC 2a BA  BC  BI 2 BI 2 BI 2  AC  a)    a 3 a 39 AB  AC  AM 2 AM 2 AM 2 AB  BM 2 a       b) = = =I Câu 1:  BÀ I TẬ P T R Ắ C NGHIỆM Khẳng định sai?   A 1.a a   ka a B hướng k 