CỔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 16-17 Trụ sở chính:766/36-766/38 CMT8, P.5, Q TÂN BÌNH, 38 420 372 – 38 460 835 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HỒCHÍMINHĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ LỚP – THCS (NĂM 2016 – 2017) MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 20/3/2017 CAO HOÀNG LỢI Bài 1: (3 điểm) Cho ba số a, b, c thỏa điều kiện: a b 7; b c a2 b2 c2 ab bc ca Tính giá trị biểu thức P a2 c2 2ab 2bc Bài 2: (3 điểm) Giải phương trình: 2x 1 x x2 Bài 3: (3 điểm) x y 1 y x 1 Giải hệ phương trình: x 1 y 1 Bài 4: (4 điểm) x 2y 1) Cho số thực dương x, y thỏa Tìm giá trị lớn biểu thức P xy2 1 x 1 y 2) Tìm x, y nguyên thỏa mãn phương trình: x y x 2y x Bài 5: (5 điểm) 1) Cho tam giác nhọn ABC có H trực tâm Gọi M, N trung điểm BC AH Đường phân giác góc A cắt MN K Chứng minh AK vuông góc với HK 2) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi AH, AD đường cao , đường phân giác tam giác ABC H,D BC Tia AD cắt (O) E, tia EH cắt (O) F tia FD cắt (O) K Chứng minh rằng: AK đường kính (O) Bài 6: (2 điểm) Trong tuần, ngày Nam chơi môn thể thao Nam chạy ba ngày tuần không chạy hai ngày liên tiếp Vào thứ Hai, chơi bóng bàn hai ngày sau chơi bóng đá Nam bơi chơi cầu lông, không Nam chơi cầu lông sau ngày chạy bơi Hỏi ngày tuần Nam bơi? Trang www.thangtienthanglong.edu.vn CỔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 16-17 Trụ sở chính:766/36-766/38 CMT8, P.5, Q TÂN BÌNH, 38 420 372 – 38 460 835 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HỒCHÍMINHĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ LỚP – THCS (NĂM 2016 – 2017) MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 20/3/2017 ĐỀ CHÍNH THỨC Hướng dẫn giải Bài 1: (3 điểm) Cho ba số a, b, c thỏa điều kiện: a b 7; b c a2 b2 c2 ab bc ca Tính giá trị biểu thức P a2 c2 2ab 2bc Ta có: a b 7; b c a b b c a c 10 a b b c c a Ta có: P a b b c c a a c a c 2b a c a c 2ab 2bc a b b c c a a b b c c a 10 79 a c a c 2b a c a b b c 10 3 40 2 2 2 2 2 2 2 2 Bài 2: (3 điểm) Giải phương trình: 2x 1 x x2 Điều kiện: x 3 Phương trình cho tương đương với: 2x x x x x x x 2x x x x x x x3 x x3 x x 1 x x x3 x (1) x x x x (2) x 13 13 x x x Giải (1), x x (nhận) 2 x x x 13 Trang www.thangtienthanglong.edu.vn CỔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 16-17 Trụ sở chính:766/36-766/38 CMT8, P.5, Q TÂN BÌNH, 38 420 372 – 38 460 835 Giải (2), x 17 x 17 x x (nhận) x x 1 x 2 x x 2x x 3x x 17 13 17 Vậy tập nghiệm phương trình S ; Bài 3: (3 điểm) x y 1 y x 1 Giải hệ phương trình: x 1 y 1 xy x xy y 2xy x y x y 1 y x 1 Ta có: xy x y xy x y x 1 y 1 3xy 3xy 3xy 3xy xy x y 3xy 3x 3y 8 3x 3y 3x 3y 2 y x y 3y y 3y 2y y 3x 3y 3x 3y x 2 x y y Bài 4: (4 điểm) 1) Cho số thực dương x, y thỏa x 2y Tìm giá trị lớn biểu thức P xy2 1 x 1 y x 2y x 1 y 2y 1 x 1 x 1 y 1 x 1 y x xy 2y 2xy y x xy y 2xy 2xy y Ta có: y y y2 y 4y2 4y 1 (2y 1)2 1 Do ta có: xy 2xy 1 y P 2 8 8 1 Vậy Pmax Dấu ‘’=’’ xảy y x 2 2) Tìm x, y nguyên thỏa mãn phương trình: x y x 2y x Cách 1: phương trình ẩn x, y nguyên (bậc x, y) Ta có: x y x 2y x x2 3xy 2y2 x x2 3y 1 x 2y2 y 3y 1 2y2 y2 6y 21 Để x, y nguyên y số phương Trang www.thangtienthanglong.edu.vn CỔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 16-17 Trụ sở chính:766/36-766/38 CMT8, P.5, Q TÂN BÌNH, 38 420 372 – 38 460 835 Đặt y k (không tính tổng quát, ta giả sử k N ) y 6y 21 k y 3 12 k 2 y k y k 12 12 1.12 3.4 2.6 Vì k N nên y k y k Vì y k y k 2y số chẵn Nên y k , y k có tính chẵn lẻ Do có trường hợp thỏa đề y k 2 y k y TH1: y k y k k Với y = 5, vào phương trình x y x 2y x , ta được: x 5 x 5 x 10 x x 5 x 10 1 x 9 (Thử lại thấy đúng) y k 6 y k 3 y TH2: y k y k k Với y = 1, vào phương trình x y x 2y x , ta được: x 3x x x 2x (Thử lại thấy đúng) x 3 Vậy phương trình cho có nghiệm nguyên x;y 5;5 , 9;5 , 1;1 , 3;1 x 1 x x x Cách 2: dùng lớp 8, bổ sung đẳng thức Ta có: x y x 2y x x2 3xy 2y2 x x2 3y 1 x 2y2 3y 3y 9y 6y 8y 20 x x 0 4 2 3y y 6y 21 x 0 2x 3y 1 y 2x 3y 1 y 6y 21 2 6y 12 2x 3y 1 y 12 2 2x 3y y 3 2x 3y y 12 2x 2y 2x 4y 12 x y 1 x 2y Do x, y nguyên nên, ta có bảng sau: Trang www.thangtienthanglong.edu.vn CỔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 16-17 Trụ sở chính:766/36-766/38 CMT8, P.5, Q TÂN BÌNH, 38 420 372 – 38 460 835 x y 1 x 2y x y -5 -1 -3 -3 1 -3 -1 -9 Vậy phương trình cho có nghiệm nguyên x;y 5;5 , 3;1 , 1;1 , 9;5 Bài 5: (5 điểm) 1) Cho tam giác nhọn ABC có H trực tâm Gọi M, N trung điểm BC AH Đường phân giác góc A cắt MN K Chứng minh AK vuông góc với HK A N O K H C B M T Gọi O tâm (ABC) Vẽ đường kính AT (O) Ta dễ chứng minh tứ giác BHCT hình bình hành đường chéo BC HT cắt trung điểm đường Mà M trung điểm BC nên M trung điểm HT Do đó, ta chứng minh MN đường trung bình AHT MN // AT BAK CAK Ta có: BAH CAT deã chöùng minh BAK BAH CAK CAT HAK TAK Mà TAK AKN (2 góc so le MN // AT) Nên HAK AKN NAK cân N KN = NA 1 Mặt khác NA AH nên KN AH KAN vuông K HK AK 2 Trang www.thangtienthanglong.edu.vn CỔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 16-17 Trụ sở chính:766/36-766/38 CMT8, P.5, Q TÂN BÌNH, 38 420 372 – 38 460 835 2) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi AH, AD đường cao , đường phân giác tam giác ABC H,D BC Tia AD cắt (O) E, tia EH cắt (O) F tia FD cắt (O) K Chứng minh rằng: AK đường kính (O) A F O B H C D K E Gọi E giao điểm tia AD (O) Do đó, ta chứng minh sđ EA = sđ EC Mà FHB sñBF sñEC (góc có đỉnh bên đường tròn chắn BF EC ) 1 Nên FHB sñBF sñEB FHB sñEF 2 Mặt khác FAD sñEF (góc nội tiếp chắn BF (O)) Nên FHB FAD tứ giác AFHD nội tiếp AFD AHD 900 Mà AFD AOK (góc nội tiếp góc tâm chắn AK (O)) Nên 900 AOK AOK 1800 A, O, K thẳng hàng Mặt khác AK dây cung (O) nên AK đường kính (O) Trang www.thangtienthanglong.edu.vn CỔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 16-17 Trụ sở chính:766/36-766/38 CMT8, P.5, Q TÂN BÌNH, 38 420 372 – 38 460 835 Bài 6: (2 điểm) Trong tuần, ngày Nam chơi môn thể thao Nam chạy ba ngày tuần không chạy hai ngày liên tiếp Vào thứ Hai, chơi bóng bàn hai ngày sau chơi bóng đá Nam bơi chơi cầu lông, không Nam chơi cầu lông sau ngày chạy bơi Hỏi ngày tuần Nam bơi? Theo đề bài, Nam chơi bóng bàn thứ Hai chơi bóng đá vào thứ Tư Do ngày Nam chạy rơi vào từ thứ Năm đến Chủ nhật (vì có ngày chạy liên tiếp) ngày Nam chạy vào thứ Ba Vì vậy, ngày chạy lại rơi vào từ thứ Năm đến Chủ nhật Ta xét trường hợp sau: TH1: Nam chạy vào thứ Năm + thứ Bảy Nam chơi cầu lông thứ Sáu Chủ nhật không thỏa đề (vì ngày sau chạy) TH2: Nam chạy vào thứ Năm + Chủ nhật Nam chơi cầu lông vào thứ Sáu mà phải chơi cầu lông vào thứ Bảy Nam bơi vào thứ Sáu (loại Nam chơi cầu lông vào thứ Bảy sau ngày bơi) TH3: Nam chạy vào thứ Sáu + Chủ nhật Nam chơi cầu lông vào thứ Bảy mà phải chơi cầu lông vào thứ Năm Nam bơi vào thứ Bảy (thỏa đề) Vậy thứ Bảy tuần, Nam bơi HẾT Trang www.thangtienthanglong.edu.vn ... Trụ sở chính:766/36-766/38 CMT8, P.5, Q TÂN BÌNH, 38 420 372 – 38 460 835 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ LỚP – THCS (NĂM 2016 – 2017) MÔN TOÁN Thời... 9; 5 , 1;1 , 3;1 x 1 x x x Cách 2: dùng lớp 8, bổ sung đẳng thức Ta có: x y x 2y x x2 3xy 2y2 x x2 3y 1 x 2y2 3y 3y 9y... GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 16-17 Trụ sở chính:766/36-766/38 CMT8, P.5, Q TÂN BÌNH, 38 420 372 – 38 460 835 x y 1 x 2y x y -5 -1 -3 -3 1 -3 -1 -9 Vậy phương trình cho có nghiệm nguyên