DE+DA THI HSG Toán lop 9 huyen thach ha nam hoc 20152016

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THẠCH HÀ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2014 - 2015 Môn thi: TOÁN - LỚP Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 29/ 10 / 2014 ĐỀ CHÍNH THỨC Bài a) Rút gọn biểu thức sau: A = b) So sánh 3- 2- 20152 − − 20142 − +3 + +2 2+ - 2 2.2014 20152 − + 2014 − 2  x + y = xy + Bài a) Tìm hai số x, y thỏa mãn  3  x − y = x − y b) Tìm ba số nguyên tố cho tích chúng năm lần tổng chúng Bài a) Giải phương trình: ( x − 2014)2014 + ( x − 2015) 2016 = b) Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn biểu thức: M = x − + 10 − x Bài Cho tam giác ABC, đường thẳng song song với cạnh BC cắt cạnh AB D cắt AC E (D ≠ A) P điểm cạnh BC a) Chứng minh SPBD PB.DB = SABC AB.BC b) Chứng minh diện tích ∆ PDE không lớn diện tích ∆ ABC c) Đường thẳng DE vị trí diện tích ∆ PDE đạt giá trị lớn Bài Cho x, y thỏa mãn ( x + 2014 + x )( y + 2014 + y ) = 2014 Tính giá trị biểu thức S = x 2015 + y 2015 -HẾT -Họ tên thí sinh: Số báo danh: Lưu ý: Học sinh không dùng máy tính ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2014-2015 Môn : TOÁN - LỚP Bài Nội dung a) 3- A= = = Bài = 2- +2 2( - 3) 4- +4 + + +3 2+ - 2 2( + 3) +2 - 2( - 3) 2( + 3) + - 1+ +1- 24 =- - b) Ta có 20152 − − 20142 − = ( 20152 − − 2014 − 1)( 20152 − + 2014 − 1) 20152 − + 20142 − (20152 − 1) − (20142 − 1) 20152 − 20142 (2015 − 2014)(2015 + 2014) = = = 20152 − + 20142 − 20152 − + 2014 − 20152 − + 2014 − 2015 + 2014 2.2014 = > 2 2015 − + 2014 − 2015 − + 2014 − 2.2014 Vậy 20152 − − 20142 − > 20152 − + 20142 − Bài Bài  x + y = xy +  x + y − xy =  x + y − xy = ⇔ ⇔ Ta có  3 2  x + y = x + y  x − y = x − y ( x + y )( x +y - xy ) =2( x + y )  x + y − xy = ⇔  x + y =x + y  x + y − xy =  x = ± ⇔ ⇔  y =0  y =0 b) Gọi a,b,c ba số nguyên tố cần tìm ta có: abc = 5(a+b+c) Tích ba số nguyên tố abc chia hết có số Giả sử a = 5bc = 5(5+b+c) ⇔ bc = 5+b+c ⇔ bc -b - c + = ⇔ (b-1)(c-1) = b,c số nguyên dương có vai trò nên ta có hệ: b − = b = b − = b = ⇔ ⇔   c − = c = c − = c = Kết luận: Ba số nguyên tố cần tìm 2, 5, a) 1007 1008 + x − 2015 =1 Ta có: (x − 2014) 2014 + (x − 2015) 2016 = ⇔ x − 2014 Kiểm tra ta thấy x = 2014 x = 2015 nghiệm phương trình 6,0đ + Nếu x > 2015 x – 2014 > nên x − 2014 > ⇒ x − 2014 x − 2014 1007 + x − 2015 1008 1007 > Chứng tỏ pt nghiệm thỏa mãn x > 2015 + Nếu x < 2014 x – 2015 < -1 nên x − 2015 > ⇒ x − 2015 x − 2014 2007 + x − 2015 2008 >1 ⇒ 2008 >1 ⇒ > Chứng tỏ pt nghiệm thỏa mãn x < 2014  x − 2014 1007 < x − 2014 = x − 2014 0 < x − 2014 < + Nếu 2014 < x < 2015 thì:  nên  1008  −1 < x − 2015 < < x − 2015 = 2015 − x  x − 2015 ⇒ x − 2014 1007 + x − 2015 1008 < Chứng tỏ 2014 < x < 2015 không thỏa mãn p trình Vậy, phương trình có hai nghiệm x = 2014 x = 2015 b) Tìm GTNN, GTLN biểu thức: M = x − + 10 − x Điều kiện để thức có nghĩa: ≤ x ≤ 10 Đặt N= x − + 10 − x N2 = + ( x − 2)(10 − x) ≥ (vì ( x − 2)(10 − x) ≥0) Nên N2 ≥ đẳng thức xẩy ⇔ x = x = 10 Do đó: M ≥ 3N + 10 − x ≥ 3N ≥ đẳng thức xẩy ⇔ x = 10 Vậy GTNN M = Áp dụng BĐT Bunhiacopky ta có: M ≤ 25( x − + 10 − x) = 10 122 Đẳng thức xẩy ⇔ x = 25 Vậy GTLN M = 10 a) A µ < 90o Ta có AH = AB sinB với B BC.AH AB.BC.sin B k SABC = = (1) D 2 K BP.BD.sin B Tương tự SBDP = (2) Từ (1) (2) suy ta S PBD PB.DB = S ABC AB.BC B H (Có thể sử dụng hai tam giác vuông đồng dạng) Bài b) AH cắt DE K DE k = BC h S DE h − k k ( h − k ) = Ta có PDE = S ABC BC h h2 Áp dụng bất đẳng thức cosy cho hai số không âm k h – k ta có h2 k (h − k ) ≤ k + h − k = h ⇔ k (h − k ) ≤ S DE h − k k ( h − k ) 1 = ≤ ⇔ S PDE ≤ S ABC => PDE = S ABC BC h h 4 h Dấu “=” xảy k = h − k ⇒ k = Đặt AH = h, AK = k ⇒ E P C c) S PDE lớn k = ⇔ S PDE = h tức DE đường trung bình ∆ABC lúc S ABC Nhận xét ( 2014 + x + x)( 2014 + x − x) = 2014 ( 2014 + y + y )( 2014 + y − y ) = 2014 Bài y + 2014 + y = 2014 + x − x  Kết hợp với giả thiết ta say ra:  2  x + 2014 + x = 2014 + y − y Cộng vế hai đẳng thức ta suy ra: x + y = - x- y hay x = - y Vật S = x 2015 + y 2015 = x 2015 + (−x ) 2015 = Tổng PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO THẠCH HÀ ... y + 2014 + y = 2014 + x − x  Kết hợp với giả thi t ta say ra:  2  x + 2014 + x = 2014 + y − y Cộng vế hai đẳng thức ta suy ra: x + y = - x- y hay x = - y Vật S = x 2015 + y 2015 = x 2015 +... = 10 a) A µ < 90 o Ta có AH = AB sinB với B BC.AH AB.BC.sin B k SABC = = (1) D 2 K BP.BD.sin B Tương tự SBDP = (2) Từ (1) (2) suy ta S PBD PB.DB = S ABC AB.BC B H (Có thể sử dụng hai tam giác vuông...ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2014-2015 Môn : TOÁN - LỚP Bài Nội dung a) 3- A= = = Bài = 2- +2 2( - 3) 4- +4 + + +3