De HSG toan lop 9 nam hoc 2012 2013

UBND HUYỆN BÌNH XUYÊN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HSG LỚP NĂM HỌC 2012 – 2013 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Đề có 01 trang Thời gian 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày 25-02-2013 Câu (2,0 điểm)  x2 + y2 = a2 + b2 a) Giả sử a, b, x, y số thực thỏa mãn  Chứng minh x + y = a + b x 2013 + y 2013 = a 2013 + b 2013  xy = x + y +  b) Giải hệ phương trình  yz = y + z +  zx = z + x +  Câu (2,0 điểm) a) Tìm tất số nguyên dương x, y thỏa mãn phương trình x + y + = x y + xy b) Cho a, b, c số nguyên dương thỏa mãn đẳng thức : a ( a2 + − c ) + b ( b2 + − c ) = Chứng minh ước lẻ số ab + c có dạng 4k + Câu (2,0 điểm) Cho số thực x, y, z thỏa mãn ≤ x, y, z ≤ Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = ( x − y) ( y − z) ( z − x) Câu (2,0 điểm) Đường tròn nội tiếp ( I ) tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC , CA, AB D, E , F Đường thẳng ID cắt đường thẳng EF điểm N đường thẳng AI cắt đường thẳng BC điểm K Chứng minh a) EN AK = ; EI AC b) Đường thẳng AN qua trung điểm cạnh BC Câu (2,0 điểm) Lấy n + số 2n số tự nhiên từ đến 2n ( n ≥ ) Chứng minh số chọn có số tổng hai số chọn khác (kể trường hợp số hạng tổng nhau) Hết ĐÁP ÁN THANG ĐIỂM Câu I(2,0đ) Nội dung trình bày a.(1,0 điểm) Điểm ( x + y ) − xy = ( a + b ) − 2ab  x2 + y = a2 + b2  xy = ab ⇔ ⇔   x + y = a + b  x + y = a + b x + y = a + b x = a 2 Ta có ( x − a ) ( x − b ) = x − ( a + b ) x + ab = x − ( x + y ) x + xy = ⇒  x = b 0,25 0,25 +) Nếu x = a ⇒ y = b ⇒ x 2013 + y 2013 = a 2013 + b 2013 0,25 +) Nếu x = b ⇒ y = a ⇒ x 2013 + y 2013 = a 2013 + b 2013 b.(1,0 điểm) ( x − 1) ( y − 1) =  xy = x + y +   Ta có  yz = y + z + ⇔ ( y − 1) ( z − 1) = ( 1)  zx = z + x +   ( z − 1) ( x − 1) = Nhân vế phương trình hệ ta : 2 ( x − 1) ( y − 1) ( z − 1) = 26 ⇔ ( x − 1) ( y − 1) ( z − 1) = ±6 0,25 0,25 0,25 x −1 = x =   +) ( x − 1) ( y − 1) ( z − 1) = , kết hợp với hệ (1) ta  y − = ⇔  y = z −1 = z =   0,25  x − = −1 x =   +) ( x − 1) ( y − 1) ( z − 1) = −6 , kết hợp với hệ (1) ta  y − = −2 ⇔  y = −1  z − = −3  z = −2   0,25 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm ( x; y; z ) = ( 2;3; ) , ( 0; − 1; − ) II(2,0đ) a.(1,0 điểm) Ta có x + y + = x3 y + xy ⇔ x + y − xy ( x + y ) = −5 ⇔(x +y 2 ) ( xy − 1) = Do x 0,5 + y ≥ xy > xy − nên ta : ( x + y ) − xy = ( x + y ) =  x2 + y = x + y = x = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔   xy = y =1  xy − =  xy =  xy = x =  y =1 0,5 ⇔ ( a + b ) ( a − ab + b ) = ( a + b ) ( c − 1) ⇔ a − ab + b = c − 0,5 Vậy cặp số nguyên dương cần tìm ( x; y ) ∈ { ( 2;1) , ( 1; ) } b.(1,0 điểm) Ta có a ( a + − c ) + b ( b + − c ) = ⇔ a + b = ( c − 1) ( a + b ) ⇔ ab + c = ( a + b ) + ( 1) Bổ đề Mọi ước nguyên tố lẻ số nguyên dương a + có dạng 4k + Thậy vậy, tồn ước nguyên tố lẻ a + có dạng p = 4k + Khi theo 0,25 định lí Fermat nhỏ ta có : a p −1 ≡ 1( mod p ) ⇒ ( a ) p −1 ≡ 1( mod p ) ⇒ ( −1) k +1 ≡ 1( mod p ) ⇒ −1 ≡ 1( mod p ) ⇒ p = vô lí Vậy bổ đề chứng minh Từ đẳng thức (1) suy ước nguyên tố lẻ ab + c có dạng 4k + Mặt khác tích số có dạng 4k + số có dạng 4k + suy ước lẻ số ab + c 0,25 III(2đ) có dạng 4k + Không tính tổng quát ta giả sử x = max { x, y, z} Khi ta có : 0,25 P = ( x − y) ( x − z) y − z ( x − z ) ≤ suy x− y+ y−z +) Nếu y ≥ z ⇒ P = ( x − y ) ( x − z ) ( y − z ) ≤  ÷ ( x − z) = 4   0,25 P ≤ ( x − y ) ≤ suy x−z+z− y +) Nếu y < z ⇒ P = ( x − y ) ( x − z ) ( z − y ) ≤  ÷ ( x − y) = 4   0,25 P ≤ 1 Do ta có P ≤ ⇔ − ≤ P ≤ 4 1 1 P = − chẳng hạn lấy x = 1, y = , z = P = − chẳng hạn lấy x = 1, y = 0, z = 0,25 4 1 Vậy P đạt giá trị lớn đạt giá trị lớn − 4 IV(2đ) A N F E I B DK M C a.(1,0 điểm) · · · Ta có tứ giác AEIF nội tiếp nên NEI (1) (Do AI phân giác góc A) = FAI = KAC · · Tứ giác CDIF nội tiếp nên NIE (2) = KCA Từ (1) (2) ta có ∆NEI đồng dạng với ∆KAC suy EN AK = (3) EI AC 0,25 0,25 0,5 b.(1,0 điểm) Tương tự phần (a) ta có ∆NFI đồng dạng với ∆KAB suy NE AB = (4) ta có (5) NF AC V(2đ) FN AK = (4) Từ (3) FI AB 0,5 Gọi M giao điểm đường thẳng AN BC Khi ta có: MB S AMB S ANE S AMB S ANF AN AE AM AB NF AB AC = = = = = suy M 0,5 MC S AMC S AMC S ANF S ANE AM AC AN AF NE AC AB trung điểm BC 0,25 Giả sử n + số chọn a1 < a2 < < an +1 Khi an +1 − a1 > an +1 − a2 > > an +1 − an 0,25 Như ta 2n + số a1 < a2 < < an +1 an +1 − a1 > an +1 − a2 > > an +1 − an Mặt khác 2n + số nguyên dương từ đến 2n suy phải tồn hai số 0,25 ≤ i, j ≤ n + cho an +1 − = a j 0,25 Suy an +1 − = a j ⇔ an +1 = + a j ... xy = ⇒  x = b 0,25 0,25 +) Nếu x = a ⇒ y = b ⇒ x 2013 + y 2013 = a 2013 + b 2013 0,25 +) Nếu x = b ⇒ y = a ⇒ x 2013 + y 2013 = a 2013 + b 2013 b.(1,0 điểm) ( x − 1) ( y − 1) =  xy = x +