UBND HUYỆN QUẾ SƠN KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2014-2015 Mơn: TỐN – Lớp Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài (2,5 điểm): a) Cho a, b, c ba số khác thỏa: a + b + c = Thực hiện: - Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 = 3abc a2 b2 c2 - Tính giá trị biểu thức: A 2 2 2 a b c b a c c a b b) Giải phương trình: 5x 3 (2x 4)3 (3x 1)3 Bài (1,5 điểm): a) Cho a, b hai số dương Chứng minh rằng: a b ab b) Cho a, b hai số dương có a + b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức A a2 b2 1ab Bài (2,0 điểm): Tam giác ABC có độ dài ba cạnh AB = c, AC = b BC= a Các phân giác AD, BE CF cắt O a) Tính độ dài đoạn thẳng AE theo a, b, c b) Chứng minh ABC tam giác vuông OB.OC = BE.CF Bài (2,5 điểm): Tam giác ABC có BA>BC BE phân giác BD trung tuyến tam giác Đường thẳng qua C vng góc với BE cắt BE, BD, BA F, G K DF cắt BC M Chứng minh rằng: a) M trung điểm đoạn thẳng BC b) DA =1+ BK DE DF c) Đường thẳng GE song song với đường thẳng BC Bài (1,5 điểm): Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh p2 – chia hết cho 24 UBND HUYỆN QUẾ SƠN KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2014-2015 Mơn: TỐN – Lớp HƯỚNG DẪN CHẤM Bài (2,5 điểm): Từ a + b + c = a + b = - c (a + b)3 = -c3 a3 + b3 + 3ab(a+b) = -c3 0,50 Thay a + b = - c được: a3 + b3 -3abc = -c3 a3 + b3 + c3 = 3abc 0,25 Tương tự có: b2 – a2 – c2 = 2ac; c2 – a2 – b2 Từ a + b + c = a2 = b2 + c2 +2bc a2 - b2 – c2 = 2bc = 2ab 0,50 Thay được: A a2 b2 c2 a3 b3 c3 0,25 2bc 2ac 2ab 2abc Áp dụng a) A 3abc 3 0,25 2abc (3x 1)3 (2x 4)3 5x 3 0 (3x 1)3 (2x 4)3 5x 3 0 0,25 Do 3x – + 2x + – 5x – = nên 0,25 (3x 1)3 (2x 4)3 5x 3 = 3(3x 1)(2x 4)( 5x 3) Giải phương trình 3(3x 1)(2x 4)( 5x 3) 0 nghiệm: x 1 ; x 2; x 0,25 Bài (1,5 điểm): a b ab a b a b 4ab (*) Do ab(a+b) > 0,25 a b 4ab 0 a b 0 0,25 Có: A a2 b2 12ab 12ab 0,25 a2 b2 12ab (a b)2 4 Dấu “=” xảy a = b 0,25 Từ (*) có: 14ab (a b)2 = nên 12ab 2 Dấu “=” xảy a = b 0,25 Vậy A đạt giá trị nhỏ 4+2 = a = b = 0.5 0,25 Bài (1,5 điểm): p2 – = (p – 1)(p+1) p số nguyên tố lớn nên p không chia hết cho 0,25 Nếu p chia dư p+1 chia hết cho => p2 Nếu p chia dư p -1 chia hết cho => p2 – chia hết cho – chia hết cho 0,25 p số nguyên tố lớn nên p số lẻ 0,25 Với p = 4k + 1: p2 – = 4k(4k+2) = 8k(k+1): Chia hết cho 0,25 Với p = 4k + 3: p2 -1 = (4k+2)(4k+4) = 4(k+1)(k+2) Do (k + 1)(k+2) tích hai số tự nhiên liên tiếp nên (k + 1)(k+2) chia hết cho => 4(k+1)(k+2) chia hết cho 0,25 Do UCLN(8,3) = nên p2 -1 chia hết cho 24 0,25 AB FE M O K G F B C A DE C (Hình vẽ 3) (Hình vẽ 4) Bài (2,0 điểm): BE phân giác nên EA BA EA BA 0,25 EC BC EA EC BA BC EA BA AC b.c 0,25 BA BC ca OB AO phân giác ABE nên: OE AB AE BO BE AB AB AE cbc c a a b c 0,50 cca Tương tự: OC b a 0,25 OF a b c Từ OB.OC BE.CF = 12 (a b c)2 (c a)(b a) 12 0,25 2(c+a)(b+a) = (a+b+c)2 a2 = b2 + c2 2cb + 2ca + 2ab + 2a2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc 0,50 Vậy ABC vuông A (Theo pitago đảo) Bài (2,5 điểm): Tam giác BKC có BF vừa phân giác vừa đường cao nên F trung điểm CK 0,25 DF trung bình tam giác CKA DF// AB 0,25 DM trung bình tam giác CBA M trung điểm BC 0,25 Từ DF//AB EA = AB EA-DE = AB-DF 0,25 DE DF DE DF Thay AB = AK + KB = 2DF + KB vào được: 0,25 DA = 2DF+KB-DF =1+ BK (*) 0,50 DE DF DF Từ DF//BK GB = BK GB+GD = BK+DF DB =1+ BK 0,25 GD DF GD DF GD DF Từ (*) có DC =1+ BK (Do DA = DC) 0,25 DE DF DA = DB GE song song với BC (Theo Talet đảo) 0,25 DE DG Bài (2,0 điểm): Giải phương trình sau: a) x2 6x 2 x 3 17 b) Bài (1,5 điểm): x2 6x 2 x2 6x 9 17 x2 6x 2 x2 6x 17 18 0,50 Đặt y = x2 – 6x được: y2 – 2y = 35 0,25 Giải: y2 – 2y = 35 được: y = 7; y = -5 0,25 Với y = 7: Giải: x2 – 6x – = x = -1 x = 0,25 Với y = - 5: Giải x2 – 6x + = x = x = -5 0,25 ... UBND HUYỆN QUẾ SƠN KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7 ,8 PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2014- 2015 Mơn: TỐN – Lớp HƯỚNG DẪN CHẤM Bài (2,5... 0,25 Từ DF//AB EA = AB EA -DE = AB-DF 0,25 DE DF DE DF Thay AB = AK + KB = 2DF + KB vào được: 0,25 DA = 2DF+KB-DF =1+ BK (*) 0,50 DE DF DF Từ DF//BK GB = BK GB+GD... 0,25 p số nguyên tố lớn nên p số lẻ 0,25 Với p = 4k + 1: p2 – = 4k(4k+2) = 8k(k+1): Chia hết cho 0,25 Với p = 4k + 3: p2 -1 = (4k+2)(4k+4) = 4(k+1)(k+2) Do (k + 1)(k+2) tích hai số