ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN VIỆT YÊN 20152016 MÔN TOÁN; LỚP: 8

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆT YÊN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề thi có 01 trang KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2015-2016 MÔN THI: TOÁN; LỚP: Ngày thi: 28/3/2016 Thời gian làm 120 phút, không kể thời gian giao đề Câu (4,0 điểm) 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x + 2016 x + 2015 x + 2016 2) Cho a3 − 3ab2 = b3 − 3a2b = 10 Tính S = a2 + b2 Câu (4,5 điểm)  x2 − x x2   − − − ÷ 1) Rút gọn biểu thức sau: A =  2 ÷  2x + 8 − 4x + 2x − x   x x  2) Giải phương trình sau: (2 x + x − 2015) + 4( x − x − 2016) = 4(2 x + x − 2015)( x − x − 2016) Câu (4,5 điểm) 1) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: x3 + 4x = x2 y + 3y +5 2) Cho f(x) = (x – a)(x – b)(x – c ) Chứng minh rằng: Nếu a + b + c = f(x) + 2abc = -f(-x) Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A (AC > AB), đường cao AH (H ∈ BC) Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đường vuông góc với BC D cắt AC E 1) Chứng minh hai tam giác BEC ADC đồng dạng 2) Chứng minh tam giác AEB vuông cân 3) Gọi M trung điểm đoạn BE, tia AM cắt BC G Chứng minh: Câu (1,0 điểm) Cho số dương x, y, z thỏa mãn: xyz = Tìm giá trị lớn biểu thức Q = GB HD = BC AH + HC 1 + 3 + 3 x + y + y + z + z + x3 + -Hết -Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: Giám thị (Họ tên ký) Giám thị (Họ tên ký) PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆT YÊN HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP HUYỆN MÔN THI: TOÁN Bản hướng dẫn chấm có 04 trang Câu Hướng dẫn giải Ta có x + 2016 x + 2015 x + 2016 = ( x − x ) + 2016 x + 2016 x + 2016 = x ( x − 1) ( x + x + 1) + 2016 ( x + x + 1) (2 điểm) = ( x + x + 1) ( x − x + 2016 ) 2 Kết luận x + 2016 x + 2015 x + 2016 = ( x + x + 1) ( x − x + 2016 ) Ta có a3 − 3ab2 = ⇒ ( a3 − 3ab2 ) = 25 ⇒ a6 - 6a4b2 + 9a2b4 = 25và điểm 0,75 0.5 0.5 0.25 ( ) 4 b3 − 3a2b = 10 ⇒ b − 3a b = 100 ⇒ b – 6b a + 9a b = 100 (2 điểm) 0.5 Suy 125 = a6 + b6 + 3a2b4 + 3a4b2 0.5 Hay 125 = ( a2 + b2 ) 0.5 Do S = a2 + b2 = Câu 0.5 4.5 điểm x ≠ x ≠ ĐK:  0.25 Ta có  x2 − x   2x2 A= − 1− − ÷ ÷  2x + 8 − 4x + 2x − x   x x  (2.5 điểm)  x2 − 2x   x2 − x −   x2 − 2x  x − x −  x2 2x2 = − = − ÷ ÷  ÷ ÷ 2 2 x2 x2  2( x + 4) 4(2 − x) + x (2 − x)     2( x + 4) ( x + 4)(2 − x)    x( x − 2) + x   ( x + 1)( x − 2)  = ÷ ÷ x2   2( x − 2)( x + 4)   = x − x + x + x x + x( x + 4)( x + 1) x + = = 2( x + 4) x x ( x + 4) 2x x − x + x + x x + x( x + 4)( x + 1) x + = = = 2( x + 4) x x ( x + 4) 2x x ≠ x +1 Vậy A = với  2x x ≠ 0.5 0.5 0.5 0.5 0.25  a = x + x − 2015 b = x − x − 2016 0.25 Đặt:  Phương trình cho trở thành: (2 điểm) 0.5 a + 4b = 4ab ⇔ ( a − 2b) = ⇔ a − 2b = ⇔ a = 2b Khi đó, ta có: x + x − 2015 = 2( x − x − 2016) ⇔ x + x − 2015 = x − 10 x − 4032 ⇔ 11x = −2017 ⇔ x = −2017 11 0.5 0.5 Vậy phương trình có nghiệm x = −2017 11 0.25 Câu (4,5 điểm) x −5 x + 4x -5 ⇔ y= x+ Ta có x3 + 4x = x2 y + 3y +5 ⇔ y = x +3 0.75 x −5 nguyên ⇔ x – chia hết cho x2 + x2 + 0.5 x +3 (2,5 điểm) Ta thấy y nguyên ⇔ => (x – 5)(x + 5) chia hết cho x2 + hay x2 + - 28 chia hết cho x2 + => 28 chia hết cho x2 + 3, mà x2 + ≥ nên x2 + ∈ { 4;7;14; 28} 0.5 Xét trường hợp ta cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn là: (1;0); (-2; -3) (5; 5) 0.75 f(x) + 2abc = (x – a )(x – b )(x – c ) +2abc =x3 – ax2 – bx2 – cx2 + abx + acx + bcx + abc = x3 + abx + acx + bcx + abc ( a +b + c = 0) -f(-x) = - ( -x – a )(-x – b )(-x – c ) => - f(-x) = (x +a)(x +b)(x + c) =x3 + ax2 + bx2 + cx2 + abx + acx + bcx + abc = x3 + abx + acx + bcx + abc ( a +b + c = 0) Vậy f(x) = - f(-x) Câu 0.75 0.25 (6 điểm) (2 điểm) a) Hai tam giác ADC BEC có: Góc C chung CD CA = (Hai tam giác vuông CDE CAB đồng dạng) CE CB Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c) Do tam giác ADC BEC đồng dạng với Suy ra: (2 điểm) (2 điểm) · BEC = ·ADC = 1350 (vì tam giác AHD vuông cân H theo giả thiết) · Nên AEB = 45 tam giác ABE vuông cân A Tam giác ABE vuông cân A, nên tia AM phân giác góc BAC GB AB = Suy ra: GC AC AB ED AH HD = ( ∆ABC : ∆DEC ) = ( ED // AH ) = HC HC mà AC DC GB HD GB HD GB HD = ⇒ = ⇒ = BC AH + HC Do đó: GC HC GB + GC HD + HC Câu 1.0 1.0 1điểm Từ ( x − y ) ≥ ⇒ x − xy + y ≥ xy (1) 2 mà x + y > (2) Từ (1) (2) ⇒ x3 + y ≥ xy ( x + y ) dấu "=" xẩy x = y Vậy điểm 1 ≤ x + y + xyz xy ( x + y + z ) 0.25 (3) dấu "=" xẩy x = y 1 ≤ Tương tự ta có 3 (4) dấu "=" xẩy x = z x + z + xyz xz ( x + y + z ) 1 ≤ (5) dấu "=" xẩy y = z y + z + xyz yz ( x + y + z ) Cộng vế với vế (3), (4), (5) có xyz = 1, ta Q ≤ 0.25 0.25 Dấu "=" xảy x = y = z = Vậy max Q = x = y = z = 0.25 Điểm toàn (20điểm) Lưu ý chấm bài: - Trên sơ lược bước giải, lời giải học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà cho điểm phần theo thang điểm tương ứng Với 4, học sinh vẽ hình sai không vẽ hình không chấm  ...PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆT YÊN HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP HUYỆN MÔN THI: TOÁN Bản hướng dẫn chấm có 04 trang Câu Hướng dẫn giải... ⇔ y = x +3 0.75 x −5 nguyên ⇔ x – chia hết cho x2 + x2 + 0.5 x +3 (2,5 điểm) Ta thấy y nguyên ⇔ => (x – 5)(x + 5) chia hết cho x2 + hay x2 + - 28 chia hết cho x2 + => 28 chia hết cho x2 + 3, mà... 28 chia hết cho x2 + => 28 chia hết cho x2 + 3, mà x2 + ≥ nên x2 + ∈ { 4;7;14; 28} 0.5 Xét trường hợp ta cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn là: (1;0); (-2; -3) (5; 5) 0.75 f(x) + 2abc = (x – a )(x –