Đề thi chọn HSG Toán 12 THPT năm học 2017 – 2018 sở GD và ĐT Vĩnh Phúc

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2017-2018 ĐỀ THI MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề ———————————— ĐỀ CHÍNH THỨC x − x + có đồ thị ( C ) Tính diện tích tam giác có đỉnh điểm cực trị đồ thị ( C ) Câu (1.0 điểm) Cho hàm số y = x +1 có đồ thị ( C ) đường thẳng d : y = −2 x + m − ( m x+2 tham số thực) Chứng minh với m, đường thẳng d cắt ( C ) hai điểm phân biệt Câu (1.0 điểm) Cho hàm số y = A, B Gọi k1 , k2 hệ số góc tiếp tuyến với ( C ) A B Xác định m để biểu thức P = ( 3k1 + 1) + ( 3k2 + 1) đạt giá trị nhỏ 2 Câu (1.0 điểm) Cường độ động đất M cho công thức M = log A − log A0 A biên độ rung chấn tối đa, A0 biên độ chuẩn (hằng số) Một trận động đất Xan Phranxixcơ có cường độ độ richter, năm trận động đất khác gần đo cường độ độ richter Hỏi trận động đất Xan Phranxixcơ có biên độ rung chấn tối đa gấp lần biên độ rung chấn tối đa trận động đất kia? Câu (1.0 điểm) Cho hàm số f ( x) = e 1+ 1 + x ( x +1) ( x > 0) Tính f (1) f (2) f (3) f (2017) Câu (1.0 điểm) Giải phương trình: sin x + cos x = Câu (1.0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, AC = 3a, BD = 2a ; hai mặt phẳng (SAC) (SBD) vng góc với mặt phẳng (ABCD) Biết khoảng cách từ điểm a C đến mặt phẳng ( SAB ) Tính thể tích khối chóp S ABC theo a Câu (1.0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a tam giác SAB tam giác cân đỉnh S Góc đường thẳng SA mặt phẳng đáy 450 , góc mặt phẳng ( SAB ) mặt phẳng đáy 600 Tính theo a khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( SAD) Câu (1.0 điểm) Trong không gian cho 2n điểm phân biệt ( n > 4, n ∈ ¥ ) , khơng có ba điểm thẳng hàng 2n điểm có n điểm nằm mặt phẳng Tìm tất cả giá trị n cho từ 2n điểm cho tạo 505 mặt phẳng phân biệt Câu (1.0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : mx + y  = đường 2 tròn ( C ) : x + y − x − 2my + m − 24 = có tâm I Tìm m để đường thẳng d cắt đường tròn (C ) hai điểm phân biệt A, B cho diện tích tam giác IAB 12 Câu 10 (1.0 điểm) Cho a, b hai số thực dương thoả mãn: 2(a + b ) + ab = (a + b)(ab + 2) Tìm  a b3   a b  T = giá trị nhỏ biểu thức:  + ÷−  + ÷ a  b a  b Hết -Thí sinh khơng sử dụng tài liệu, máy tính cầm tay Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh: SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ————————— ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2017-2018 Mơn: TỐN - THPT (Gồm 06 trang) Lưu ý - Đáp án trình bày cách giải bao gồm ý bắt buộc phải có làm học sinh Khi chấm học sinh bỏ qua bước khơng cho điểm bước - Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo ý đáp án điểm - Trong làm, bước bị sai phần sau có sử dụng kết sai khơng điểm - Trong lời giải câu 6, học sinh khơng vẽ hình khơng cho điểm - Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm tròn Câu Nội dung trình bày Điểm x − x + có đồ thị (C) Tính diện tích tam giác có đỉnh điểm cực trị đồ thị (C) Câu (1.0 điểm) Cho hàm số y = x =  Ta có y ' = x − x; y'=0 ⇔  x =  x = −2 0.25 Suy điểm cực trị A(−2; −3); B(0;1); C (2; −3) Các điểm cực trị tạo thành tam giác ABC cân B 0.25 Gọi H trung điểm AC ⇒ H (0; −3) BH ⊥ AC uuur uuur Ta có BH (0; −4) ⇒ BH = ; AC (4;0) ⇒ AC = 0.25 1 Vậy diện tích cần tìm: S = BH AC = 4.4 = (đvdt) 2 0.25 x +1 có đồ thị ( C ) đường thẳng x+2 d : y = −2 x + m − ( m tham số thực) Chứng minh với m, đường thẳng d cắt ( C ) điểm phân biệt A, B Gọi k1 , k2 hệ số góc tiếp Câu (1.0 điểm) Cho hàm số y = 2 tuyến với ( C ) A B Xác định m để biểu thức P = ( 3k1 + 1) + ( 3k2 + 1) đạt giá trị nhỏ Hoành độ giao điểm ( C ) d nghiệm phương trình: x +1 = −2 x + m − (1) x+2 0.25 (1) ⇔ x + = ( −2 x + m − 1) ( x + ) (vì x = −2 không nghiệm pt (1)) ⇔ x + ( − m ) x + − 2m = (2) 0.25 Ta có ∆ = ( − m ) − ( − 2m ) = m + 4m + 12 > ∀m ∈ ¡ Phương trình (2) ln có nghiệm phân biệt khác 2, hay d cắt (C) điểm phân biệt A, B Gọi x1 , x2 hoành độ A, B ⇒ x1 , x2 nghiệm pt (2) Theo định lý Viét  m−6  k1 =  x + x = ( x1 + )   ta có:  Mặt khác ta có   x x = − 2m k = 2   ( x2 + )  ⇒ k1k2 = ( x1 + ) ( x2 + ) 2 = ( x1 x2 + x1 + x2 + ) =  − 2m  + m − + 4÷    = 0.25 Khi P = ( 3k1 + 1) + ( 3k2 + 1) = 9k12 + 9k22 + ( 3k1 + 3k2 ) + (*) 2 Ta có k1 , k2 > Theo bất đẳng thức Côsi: 9k12 + 9k22 ≥ 81k12 k22 = 18k1k2 = 72 ( 3k1 + 3k2 ) ≥ 9k1k2 = 12 = 24 Vậy VT(*) ≥ 72 + 24 + = 98 Dấu xảy ⇔ k1 = k2 ⇔ x1 + = − ( x2 + ) ⇔ x1 + x2 = −4 ⇔ 0.25 m−6 = −4 ⇔ m = −2 (Do x1 ≠ x2 ) Vậy: Pmin = 98 ⇔ m = −2 Câu (1.0 điểm) Cường độ động đất M cho công thức M = log A − log A0 A biên độ rung chấn tối đa, A0 biên độ chuẩn (hằng số) Một trận động đất Xan Phranxixcơ có cường độ độ richter, năm trận động đất khác gần đo cường độ độ richter Hỏi trận động đất Xan Phranxixcơ có biên độ rung chấn tối đa gấp lần biên độ rung chấn tối đa trận động đất kia? Gọi M , A1 cường độ biên độ trận động đất Xan Phranxixcô 0.25 Gọi M , A2 cường độ biên độ trận động đất lại ta có M = log A1 − log A0 , M = log A2 − log A0 Từ ta có A1 A = 10 M1 ; = 10 M A0 A0 0.25 A1 10 M1 = M = 10 M1 − M = 102 = 100 Lập tỉ số A2 10 0.25 ⇒ A1 = 100 A2 Vậy cường độ trận động đất Xan Phranxixcô có biên độ gấp 100 0.25 lần trận động đất lại Câu (1.0 điểm) Cho hàm số f ( x) = e 1+ 1 + x ( x +1) Tính f (1) f (2) f (3) f (2017) Ta có: 1 1+ + = x ( x + 1) = x ( x + 1) + ( x + 1) + x = x ( x + 1) x2 + x + 1 1 = 1+ = 1+ − x( x + 1) x ( x + 1) x x +1 ( x + x3 + 3x + x + x ( x + 1) x > 0) 1 Khi ta có f (1) f (2) f (3) f (2017) = e 2017 +1.2 + 2.3 + + 2017.2018 =e =e 1 1 2017 +1− + − + + − 2 2017 2018 2018− 2018 =e 0.25 0.25 0.25 2017.2019 2018 0.25 Câu (1.0 điểm) Giải phương trình: sin x + cos x = Phương trình ⇔ sin x = −cos2x 0.25 π ⇔ sin x = sin(2x − ) 0.25 −π   x = + k 2π ⇔  x = 3π + k 2π  10 0.25 ( k ∈ Z) 0.25 HS tìm họ nghiệm 0.25đ Câu (1.0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, AC = 3a , BD = 2a ; hai mặt phẳng (SAC) (SBD) vng góc với mặt a phẳng (ABCD) Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( SAB ) Tính thể tích khối chóp S ABC theo a Ta có diện tích hình thoi ABCD là: S ABCD = 3a ⇒ S ABC = 3a 0.25 Theo giả thiết SO ⊥ ( ABCD) Kẻ OK ⊥ AB, OH ⊥ SK ⇒ AB ⊥ ( SOH ) ⇒ AB ⊥ OH ⇒ OH ⊥ ( SAB ) 0.25 d (C , ( SAB )) = 2d (O, ( SAB)) = Khi ta có a a ⇒ d (O, ( SAB)) = OH = 1 1 = + = 2⇒ = − = 2 2 2 OK OA OB 3a OS OH OK a 1 a a3 Vậy thể tích khối S.ABC VS ABC = S ABC SO = 3a = (đvtt) 3 0.25 0.25 Câu (1.0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a tam giác SAB tam giác cân đỉnh S Góc đường thẳng SA mặt phẳng đáy 450 , góc mặt phẳng ( SAB ) mặt phẳng đáy 600 Tính khoảng cách từ C đến ( SAD) 0.25 Gọi H hình chiếu vng góc S lên mặt đáy, M trung điểm AB ∆SAB cân S nên SM ⊥ AB kết hợp với SH ⊥ ( ABCD) suy AB ⊥ ( SMH ) Vậy MH trung trực AB , MH cắt CD N ⇒ N trung điểm CD Nên theo giả thiết ta được: · + (·SA, ( ABCD) ) = SAH = 450 ⇒ SA = SH 2 · · · = 600 ⇒ SM = SH + ( ( SAB ), ( ABCD ) ) = ( SM , MH ) = SMH 0.25 Trong tam giác SAM ta có: SA2 = AM + SM ⇔ 2SH = 4SH + 2a ⇔ SH = a 3 Từ tính được: d (C , ( SAD)) = 2d ( H , ( SAD)) = HP = 0.25 0.25 2a 30 Câu (1.0 điểm) Trong không gian cho 2n điểm phân biệt ( n > 4, n ∈ ¥ ) , khơng có ba điểm thẳng hàng 2n điểm có n điểm nằm mặt phẳng Tìm tất giá trị n cho từ 2n điểm cho tạo 505 mặt phẳng phân biệt Số cách chọn điểm từ 2n điểm cho C2n suy số mặt phẳng tạo 0.25 C2n Do 2n điểm cho có n điểm đồng phẳng nên có Cn mặt phẳng trùng 0.25 3 Suy số mặt phẳng tạo thành từ 2n điểm cho C2 n − Cn + 0.25 C23n − Cn3 + = 505 Theo ra: 2n ( 2n − 1) ( 2n − ) n ( n − 1) ( n − ) − = 504 6 ⇔ n ( n − 1) ( 8n − − n + ) = 3024 ⇔ n ( n − 1) ( n − ) = 3024 ⇔ 0.25 ⇔ n3 − 9n + 2n − 3024 = ⇔ ( n − ) ( n + 47n + 378 ) = ⇔ n = Vậy n = Câu (1.0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : mx + y  = đường tròn ( C ) : x + y − x − 2my + m − 24 = có tâm I Tìm m để đường thẳng d cắt đường tròn (C ) hai điểm phân biệt A, B cho diện tích tam giác IAB 12 Đường tròn (C) có tâm I ( 1; m ) , bán kính R = 0.25 Gọi H trung điểm dây cung AB Ta có IH đường cao tam giác IAB IH = d ( I , d ) = | m + 4m | m + 16 = | 5m | 0.25 m + 16 Nhận xét: d cắt ( C ) hai điểm phân biệt AB AH = IA2 − IH = 25 − (5m) 20 = m + 16 m + 16 0.25 Diện tích tam giác IAB S ∆IAB = 12 ⇔ 2S∆IAH = 12  m = ±3 ⇔ d ( I , d ) AH = 12 ⇔ 25 | m |= 3(m + 16) ⇔  (thỏa mãn)  m = ± 16  0.25 Câu 10 (1.0 điểm) Cho a, b ∈ ¡ ; a, b > thoả mãn: 2(a + b ) + ab = (a + b)(ab + 2)  a b3   a b  Tìm GTNN biểu thức: T =  + ÷−  + ÷ a  b a  b Ta có a, b > 0.25 2(a + b ) + ab = (a + b)( ab + 2) ⇔ 2(a + b ) + ab = a 2b + ab + 2(a + b) a b 1 1 ⇔  + ÷+ = ( a + b ) +  + ÷ b a a b 1 1 1 1 b a  Theo BĐT Cơsi ta có: (a + b) +  + ÷ ≥ (a + b)2  + ÷ = 2  + + ÷ a b a b a b  10 Suy a b a b a b b a   + ÷+ ≥ 2  + + ÷ ⇒ + ≥ (do + > ) b a b a b a a b  0.25  a b 3  a b    a b   a b3   a b  T = + − + = ta có  + ÷ −  + ÷ −  + ÷ + 18   ÷ ÷ b a b a  b a    b a   b a      Xét hàm số: f (t ) = 4t − 9t − 12t + 18, t ≥ ⇒ f '(t ) = 12t − 18t − 12  t=−  f '(t ) = ⇔  t =  Ta có bảng biến thiên : 23 5 ⇒ minT = f  ÷ = − ( a; b) ∈ { ( 1; ) , ( 2;1) } 2 HS tìm ( 1; ) , ( 2;1) cho điểm tối đa -Hết - 0.25 0.25 ĐỀ CHÍNH THỨC MA TRẬN ĐỀ MƠN: TỐN - THPT Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Mức độ STT Chủ đề Ứng dụng đạo hàm Mũ lôgarit Nội dung Cực trị Nhận biết Thông hiểu Vận dụng thấp Vận dụng cao Câu Câu 1đ 1đ Bài toán tương giao Câu Ứng dụng đạo hàm cm bất đẳng thức Câu 10 1đ 1đ Hàm số mũ Câu 5 Thể tích khối đa diện Thể tích khối đa diện Quan hệ vng góc Khoảng cách Tổ hợp xác suất Tổ hợp Lượng giác Phương trình lượng giác Câu Tổng Câu 1đ 1đ Câu 1đ Câu 1đ 1đ Câu 1đ 1đ Câu Câu 1đ 3đ Câu Câu Câu Câu 1đ 1đ Câu Hình tọa độ Câu 10 Câu 1đ Phương pháp tọa độ mặt phẳng 1đ 1đ 1đ Câu Câu 1đ Hàm số logarit Tổng Câu 4đ 1đ Câu 3đ 10 Câu 10 đ ...SỞ GD& ĐT VĨNH PHÚC ————————— ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2017- 2018 Mơn: TỐN - THPT (Gồm 06 trang) Lưu ý - Đáp án trình... 0) 1 Khi ta có f (1) f (2) f (3) f (2017) = e 2017 +1.2 + 2.3 + + 2017. 2018 =e =e 1 1 2017 +1− + − + + − 2 2017 2018 2018− 2018 =e 0.25 0.25 0.25 2017. 2019 2018 0.25 Câu (1.0 điểm) Giải phương... -Hết - 0.25 0.25 ĐỀ CHÍNH THỨC MA TRẬN ĐỀ MƠN: TỐN - THPT Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Mức độ STT Chủ đề Ứng dụng đạo hàm Mũ lôgarit Nội dung