TỔNG HỢP ĐỀ THI HSG TOÁN LỚP 9 HUYỆN GIỒNG RIỀNG. TỔNG HỢP ĐỀ THI HSG TOÁN LỚP 9 HUYỆN GIỒNG RIỀNG. TỔNG HỢP ĐỀ THI HSG TOÁN LỚP 9 HUYỆN GIỒNG RIỀNG. TỔNG HỢP ĐỀ THI HSG TOÁN LỚP 9 HUYỆN GIỒNG RIỀNG. TỔNG HỢP ĐỀ THI HSG TOÁN LỚP 9 HUYỆN GIỒNG RIỀNG. TỔNG HỢP ĐỀ THI HSG TOÁN LỚP 9 HUYỆN GIỒNG RIỀNG
Trang 1UBND HUYỆN GIỒNG RIỀNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN PHÒNG GD &ĐT GIỒNG RIỀNG NĂM HỌC 2009 – 2010
= = = 0o0 = = = MÔN: TOÁN LỚP 9 , THỜI GIAN 150 PHÚT
Bài 1: (4 điểm)
a/ Cho 1993 điểm trên mặt phẳng biết rằng trong mỗi nhóm ba điểm bất kỳ của các điểm trên bao giờ cũng có thể chọn ra được hai điểm có khoảng cách bé hơn 1 Chứng minh rằng trong các điểm trên có ít nhất 997 điểm nằm trong một đường tròn có bán kính bằng 1
b/ Hai số 22010 và 52010 được viết liên tiếp nhau Hỏi có tất cả bao nhiêu chữ số?
a/ Rút gọn biểu thức
b/ Tìm x sao cho P < 4
Bài 3: (4 điểm) Giải phương trình: x2 3 9 + 80 1 4 + = x x− 2 3 9 − 80
Bài 4: (4 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A = x−2007+ 2008−x
Bài 5: (4 điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh a, điểm E thuộc cạnh BC, điểm F thuộc cạnh AD
sao cho CE = AF Các đường thẳng AE, BF cắt đường thẳng CD theo thứ tự ở M, N
a/ Chứng minh: CM.DN = a2
b/ Gọi K là giao điểm của NA và MB Chứng minh rằng MKN· =900
c/ Các điểm E và F có vị trí như thế nào thì MN có độ dài nhỏ nhất?
HẾT
Trang 2-ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
MÔN TOÁN LỚP 9, NĂM HỌC 2009 - 2010
Bài 1: (4 điểm)
a/ Ta cĩ: 1993 = 2.996 +1 (0,25đ)
Gọi A là một điểm trong 1993 điểm đã cho Vẽ đường trịn (A ; 1) Nếu tất cả 1992 điểm cịn lại
đều nằm trong đường trịn (A ; 1) thì bài tốn được giải.(0,5đ)
Giả sử cĩ điểm B nằm ngồi đường trịn (A ; 1) tức là AB > 1 Vẽ đường trịn (B ; 1)(0,25đ)
Ta chứng minh tất cả 1993 điểm đã cho đều nằm trong (A ; 1) hoặc (B ; 1) (0,25đ)
Thật vậy, lấy C bất kỳ, ta cĩ nhĩm ba điểm A, B, C, theo giả thiết vì AB > 1 nên AC < 1 hoặc
BC < 1, khi đĩ C nằm trong (A; 1) hoặc (B ; 1) (0,5đ)
Vậy theo nguyên tắc Dirichlet, một trong hai đường trịn này phải chứa ít nhất 997 điểm (0,25đ)
b/ Hai số 22010 và 52010 được viết liên tiếp nhau Hỏi cĩ tất cả bao nhiêu chữ số?
Giả sử 22010 cĩ h chữ số và 52010 cĩ k chữ số (h, k nguyên dương)
Ta cĩ: 10 h -1 < 22010 < 10h ; 10 k -1 < 52010 < 10k (0,5đ)
⇒ 10 h + k -2 < 102010 < 10h + k (0,5đ)
⇒ h + k - 2 < 2010 < h + k (0,25đ)
⇒ 2010 = h + k – 1 (0,25đ)
⇒ h + k = 2011 (0,25đ)
Vậy cĩ tất cả 2011 chữ số (0,25đ)
Bài 2: (4 điểm)
a/ Rút gọn biểu thức
( 2)
2 2 2 1 2 2 2 1
=
(0,5đ)
− + + − −
=
− + + − −
=
2 1 1 2 1 1
− + + − −
=
− + − − − (0,5đ)
2 1 1 2 1 1
− + + − −
=
− + − − − Vì x≥2 nên x− ≥1 1 và 2x− ≥1 1(0,5đ)
2 x 1
b/ P < 4 ⇔ 2(x− < ⇔1) 4 2(x− <1) 16(0,5đ)
⇒ ≤ < 2 x 9 (0,5đ)
Trang 3=
=
K
M N
F
E
Bài 3:(4 điểm) Giải phương trình: x2 3 9 + 80 1 4 + = x x− 2 3 9 − 80 (1) ⇔ x2(3 9+ 80 +39− 80)−4x+ =1 0 (0,5đ)
Tính A = (39+ 80 +39− 80)
3 9 80 9 80 3 (93 80)( 93 80 ) 93 80 39 80
3 18 3 1.3
A = + A(0,5đ)
2
(A 3)(A 3A 6) 0
2
3 6 0
Khi đó (1) trở thành: 3x2 – 4x + 1 = 0 (0,5đ)
⇔ x = 1 ; x = 1/3 (0,5đ)
Bài 4:(4 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A = x−2007+ 2008−x
A có nghĩa khi x – 2007 ≥ 0 và 2008 – x ≥ 0 ⇒ 2007 ≤ ≤x 2008 (0,5đ)
Vì A ≥ 0 nên ta có
Trường hợp 1: A2 = +1 2 (x−2007)(2008−x) (0,5đ)
Áp dụng Co-Si 2 (x−2007)(2008−x)≤ −x 2007 2008+ − =x 1(0,5đ)
Dấu “=” xảy ra khi x – 2007 = 2008 – x hay x = 4015:2 (0,5đ)
2 1 1 2 2
4015 max 2
2
Trường hợp 2: A2 = +1 2 (x−2007)(2008−x) 1≥ (0,25đ)
Dấu “=” xảy ra khi 2 (x−2007)(2008−x) 0= (0,25đ)
x – 2007 =0 hoặc 2008 – x = 0 ⇒ x = 2007 hoặc x = 2008 (0,25đ)
Vậy minA = 1 khi x = 2007 hoặc x = 2008 (0,25đ)
Bài 5:(4 điểm) Hình vẽ (0,25đ)
a/ AB // MN, ta có:
CM CE
= (1)
AB BE (0,25đ) AF AB= (2)
FD DN (0,25đ)
Trang 4mà AF CE= (gt)
FD BE (0,25đ)
CM CE AF AB
AB BE FD DN
CM.DN = AB = a
b/ Từ a/ CM AB= CM AD=
AB DN ⇔ CB DN (0,25đ)
Nên ∆CMB và ∆DAN đồng dạng (c-g-c)(0,25đ)
CMB = DAN
⇒
CMB AND 90
Vậy MKN· =900 (0,25đ)
c/ MN nhỏ nhất ⇔CM + DN nhỏ nhất.(0,25đ)
Mà các độ dài CM, ND có CM.DN không đổi (câu a)(0,25đ)
Nên tổng của chúng CM + DN nhỏ nhất khi và chỉ khi CM = DN.(0,25đ)
Khi đó CM2 = a2 , CM = DN = a (0,25đ)
Vậy MN nhỏ nhất bằng 3a ⇔ E, F theo thứ tự là trung điểm của BC, AD.(0,5đ)
Trang 5PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
HUYỆN GIỒNG RIỀNG VÒNG HUYỆN NĂM HỌC 2010 – 2011
= = = 0o0 = = = Môn: TOÁN - lớp 9 , thời gian: 150 phút
(không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (3,0 điểm) Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng với 1, luôn là số chính
phương.
Bài 2: (5,0 điểm) Cho biểu thức P 15 x 11 3 x 2 2 x 3
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm giá trị của x sao cho P <1
2 c) Tìm các giá trị nguyên của x sao cho giá trị tương ứng của biểu thức P nguyên
Bài 3: (4,0 điểm) Giải các phương trình sau:
a/ 2x− +1 2x− =5 4 b/ x+2 x− +1 x−2 x− =1 2
Bài 4: (3,0 điểm) Cho a, b là các số thực dương
Chứng minh rằng: ( ) 2a b b a
2
b a b
Bài 5: (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Vẽ đường cao AD và BE Gọi H là trực tâm và G là trọng tâm của tam giác ABC
a/ Chứng minh: tgB.tgC = AD
HD
b/ Chứng tỏ rằng: HG // BC ⇔tgB.tgC = 3
Bài 6: (1,5 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A Chứng minh : tg ·
2
ABC AC
AB BC
= +
HẾT ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN 9
Trang 6Bài 1: (3,0 điểm)
Gọi 4 số tự nhiên, liên tiêp đó là n, n + 1, n+ 2, n + 3 (n ∈N) Ta có
n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n.(n + 3)(n + 1)(n + 2) + 1 (0,5 đ)
= (n2 + 3n)( n2 + 3n + 2) + 1 (*) (0,5 đ)
Đặt n2 + 3n = t (t ∈ N) thì (*) = t( t + 2 ) + 1 = t2 + 2t + 1 = ( t + 1 )2 (1,0 đ)
= (n2 + 3n + 1)2 (0,5 đ)
Vì n ∈ N nên n2 + 3n + 1 ∈ N Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương.(0,5 đ)
Bài 2: (5,0 điểm) Cho biểu thức P 15 x 11 3 x 2 2 x 3
( 15 x 11)( ) 3 x 2 2 x 3
P
P
=
15 x 11 3x 9 x 2 x 6 2x 2 x 3 x 3
P
=
( 5x 7 x 2)( )
P
=
− + (0,5 đ)
P
x 3
+
− + (0,5 đ)
b/ để P <1
2 thì
2
x 3
2 5 x 1
0 2
x 3
−
+
1 11 x
0
x 3
−
do x + >3 0 nên 1 11 0 1 1
11 121
121
x> và x≠1 (0,25 đ)
c/ P = 17 5( 3) 17
5
x
+ + (0,5 đ)
3 (17) 1; 17
P∈ ⇔¢ x + ∈U = ± ±
x+ = ⇔ x = ⇔ =x (0,5 đ)
Bài 3: (4,0 điểm) Giải các phương trình sau:
a/ 2x− +1 2x− =5 4
Xét x < 1
2 ta có: 1 – 2x + 5 – 2x = 4 ⇔x =
1
2 không thuộc khoảng đang xét (0,5 đ)
Xét 1 5
2≤ ≤x 2 ta có: 2x – 1 + 5 – 2x = 4 ⇔ 0x = 0
Trang 7phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng đang xét, tức là 1 5
2≤ ≤x 2 (0,5 đ)
Xét x > 5
2 ta có: 2x – 1 + 2x – 5 = 4 ⇔x =
5
2 không thuộc khoảng đang xét (0,5 đ) Vậy phương trình có nghiệm là S = /1 5
(0,5 đ)
b/ x+2 x− +1 x−2 x− =1 2 (*)
1 1 1 1 2
1 1 1 1 2
1 x 1 1 x 1
Ta có A A≥ dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A≥0 (0,25 đ)
(**) 1− x− ≥ ⇔1 0 x− ≤ ⇔ ≤1 1 x 2 (0,25 đ)
Kế hợp với điều kiện ban đầu ta có tập nghiệm là 1 ≤ ≤x 2 (0,25 đ)
Bài 4: (3,0 điểm) Cho a, b là các số thực dương
Chứng minh rằng: ( ) 2a b 2b a
2
b a b
2
1 a
2
≥
2
1 b
2
≥
− , với mọi a , b > 0 (0,25 đ)
0 4
1 b b 4
1
a
0 b a 2
1
b
a+ + ≥ + >
Mặt khác ( a − b)2 ≥ 0⇔a+b≥2 ab >0 (**) (0,5 đ)
Nhân từng vế (*) và (**) ta có :
2
1 b
a
b
2
b a b
Bài 5: (3,5 điểm)
a/ Chứng minh: tgB.tgC = AD
HD
Xét tam giác ADB ta có: tgB AD
BD
E
M D A
Trang 8Xét tam giác ADC ta có: tgC AD
CD
2
AD tgB tgC
BD CD
BD DH BD CD DH AD
AD DC
2
tgB tgC
HD AD DH
b/ Chứng tỏ rằng: HG // BC ⇔tgB.tgC = 3
Theo tính chất trọng tâm tam giác, ta có: AM 3
Xét ∆ADM, có HG // BC
HG DM
GM HD
Bài 6: (1,5 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A Chứng minh ·
2
ABC AC tg
AB BC
= +
Vẽ phân giác BD · ·
2
ABC BBD
Xét ABD A,µ 900 tgABD· AD
AB
Vì BD là phân giác, nên:
AD DC AD DC AC
AB BC AB BC AB BC
+
2
ABC AD AC tgABD tg
AB AB BC
D A
Trang 9UBND HUYỆN GIỒNG RIỀNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2011 – 2012
- Khóa ngày 06/11/2011
ĐỀ THI MÔN TOÁN LỚP 9
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Bài 1: (2 điểm) Có hay không các số tự nhiên m và n thỏa mãn đẳng thức sau:
1 ( )( ) 1 ( 1) 2011 4
m n
m n m n− + + − + =
Bài 2: (3 điểm)
a) Chứng minh rằng: Nếu a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca thì a = b = c
b) Chứng minh rằng: Nếu 1 1 1 2
a b c+ + = và a + b + c = abc thì ta có 12 12 12 2
a +b +c =
Bài 3: (5,0 điểm)
a) Thực hiện rút gọn biểu thức: A = 94 42 5− − 94 42 5+
2 2
2
+
−
+
a
a a
a Hãy rút gọn, rồi tìm giá trị nhỏ nhất của M
Bài 4: (5,0 điểm)
a) Giải phương trình sau: ( )
3
3
3 2 1 1
x
x x
−
− b) Tìm giá trị x, y, z thỏa mãn: x 4 2+ y + z + = x− +2 4 y− +3 6 z−5
Bài 5: (5,0 điểm)
Cho tam giác đều ABC, Gọi M là trung điểm của BC Một góc xMy bằng 600 quay quanh điểm
M sao cho hai cạnh Mx, My luôn cắt cạnh AB, AC lần lượt tại D và E Chứng minh:
a) BD.CE = BC2
4 b) DM, EM lần lượt là tia phân giác của các góc BDE và CED,
c) Chu vi tam giác ADE không đổi
-HẾT -HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 9 (THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2011 – 2012)
Trang 10-Bài 1: (2 điểm)
Đặt A = 1( )( ) 1 ( 1)
4
m n
m n m n− + + − +
* Nếu m = n thì m – n = 0 vế trái A = 0 ≠2011, nên không không xảy ra (0,25đ)
* Nếu m n≠ :
+ Khi m và n đều chẵn
ta có m – n = 2k ; m + n = 2l ( với k ; l ∈ N) (0,25đ)
⇒ A = 1
4.2k.2l.[1 + (-1)2k] = 2kl ≠2011 (0,5đ)
+ Khi m chẵn, n lẻ
thì m + n = 2k + 1 (tương tự m lẻ, n chẵn) (0,25đ)
⇒[1 + (-1)2k +1] = 0 ⇒ A ≠2011 (0,5đ)
Vậy không có 2 số tự nhiên m và n để thỏa mãn đẳng thức trên (0,25đ)
Bài 2: (3 điểm)
a) Chứng minh rằng: Nếu a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca thì a = b = c
Từ a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca
⇒ 2a2 + 2b2 + 2c2 = 2ab + 2bc + 2ca
⇒ (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = 0 (0,5đ)
⇒ a = b = c (0,5đ)
b) Từ giả thiết 1 1 1 2
a b c+ + =
2
1 1 1
4
a b c
⇒ + + ÷ =
a b c ab bc ac
1 1 1
2 a b c 4
+ +
(0,5đ)
Mà a + b + c = abc nên:
1 1 1
2.1 4
a b c
⇒ + + + = (0,5đ)
1 1 1
2
a b c
⇒ + + = (0,5đ)
Bài 3: (5 điểm)
a) A = 94 42 5− − 94 42 5+
7 3 5− − 7 3 5+ (1,0đ)
7 3 5 7 3 5
= − − + (0,5đ)
7 3 5 7 3 5 6 5
= − − − = − (0,5đ)
2 2
2
+
−
+
a
a a
a Hãy rút gọn, rồi tìm giá trị nhỏ nhất của M
M =
2
Trang 11M =
÷ ÷
M =
2 2 2
8
a
a
2 2 8
a a
+ −
0
= − ÷ = − ÷ ≥
Vậy minM = 0 khi 2 ( 2 )2
2
2 2
a
−
⇔a2− = ⇔ = ±2 0 a 2 (0,5đ)
Bài 4: (5 điểm)
a) Giải phương trình: ( )
3
3
3 2 1 1
x
x x
−
−
( )
2
⇔ + − ÷ − − + − ÷÷= − − (0,5đ)
Mà
( )
2 2
2
1
x
x x x x x
t x
− +
Ta được: t(t2 – 2t – t) = 2 – 3t
⇔ t3 – 3t2 + 3t – 1 = 1
⇔(t – 1)3 = 1 ⇔t – 1 = 1 ⇔ t = 2 (0,5đ)
1
x
−
Vậy phương trình vô nghiệm (0,5đ)
b) Tìm giá trị x, y, z thỏa mãn: x 4 2+ y + z + = x− +2 4 y− +3 6 z−5 điều kiện: x≥2; y≥3; z≥5 (0,5đ)
(x 2) 2 x 2 1 (y 3) 4 y 3 4 (z 5) 6 z 5 9 0
⇔ − − − + + − − − + + − − − + = (0,5đ)
2 1 0
3 2 0
5 3 0
x
y
z
− − =
⇔ − − =
− − =
(0,5đ)
3
7
14
x
y
z
=
⇔ =
=
(0,5đ)
Trang 12Bài 5: ( 5 điểm)
a/ Trong ∆BDM ta có D¶ 1=120−M¶ 1
M = ⇒M = −M
¶ ¶
D M
Chứng minh ∆BMD ∆CEM (1) (0,5đ)
BD CM
BD CE BM CM
BM CE
Vì
2
BC
4
BC
BD CE= (0,5đ)
b) Từ (1) BD MD
CM EM
Nên ta có: BD MD
BM CM
2 60
B M= =
BMD
⇒ ∆ ∆MED (c-g-c) (0,5đ)
⇒ ¶ ¶
D =D , do đó DM là tia phân giác của ·BDE(0,5đ)
Chứng minh tương tự:
CME
∆ ∆MDE (c-g-c) (0,5đ)
⇒ µ ¶
E =E , do đó EM là tia phân giác của ·CED(0,5đ)
c) Gọi H, I, K là hình chiếu của M trên AB, DE, AC
Chứng minh: DH = DI ; EI = EK (0,5đ)
Chu vi của ∆ADE là
AD + AE + DE = AD + AE + DI + IE
= AD + DH + AE + EK
= AH + AK
= 2AH ( Do M thuộc tia phân giác của góc A) (0,5đ)
Mà M cố định nên AH không đổi
Vậy Chu vi ∆ADE không đổi (0,5đ)
Trên đây là những gợi ý đáp án và biểu điểm, Học
sinh có thể giải theo cách khác Tùy vào bài làm cụ thể
của học sinh, giám khảo cho điểm tương ứng.
-I
K H
M
A
D
E
2 3 1 1
1 2
X
M
A
D
E Y
Trang 13UBND HUYỆN GIỒNG RIỀNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2012 – 2013
- Khóa ngày 04/11/2012
ĐỀ THI MÔN TOÁN LỚP 9
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Bài 1: (3 điểm)
Chứng minh rằng: M = 5n(5n + 1) – 6n(3n + 2) chia hết cho 91 với mọi số nguyên n
Bài 2: (5 điểm)
a/ Rút gọn biểu thức A = 7 2 2− + 50+ 18− 128
b/ Rút gọn biểu thức ( ) ( )
2 3
1
2 1 2 1
x B
x
+
− + − , rồi tìm giá trị nhỏ nhất của B
Bài 3: (5 điểm)
Cho x, y, z là các số không âm Chứng minh rằng:
a/ (x + y)(y + z)(z + x) ≥ 8xyz
b/ yz zx xy x y z
x + y + z ≥ + +
Bài 4: (5 điểm)
Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo Lấy điểm G trên cạnh BC, H trên cạnh CD sao cho · 0
45
GOH = Gọi M là trung điểm của AB Chứng minh rằng:
a/ Tam giác HOD và tam giác OGB đồng dạng
b/ MG song song với AH
Bài 5: (2 điểm)
Cho tứ giác lồi ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O và ·AOD=α (0< <α 90 )0 Gọi S là diện tích của tứ giác ABCD Chứng minh rằng: S = 1AC.BD.sin
-
Trang 14HẾT -HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 9 (THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012 – 2013)
Bài 1:
(3 đ)
Ta có: 91 = 7.13 mà (7 ; 13) = 1 nên chỉ cần chứng minh M chia hết cho 7 và
chia hết cho 13
M = (25n – 18n) – (12n – 5n)
Do: (25n – 18n)M(25 – 18)= 7 ; (12n – 5n) M(12 – 5) = 7 nên M M 7
Mặt khác: M = (25n – 12n) – (18n – 5n)
Do: (25n – 12n)M(25 – 12)= 13 ; (18n – 5n) M(18 – 5) = 13 nên M M 13
Tóm lại: M vừa chia hết cho 7, vừa chia hết cho 13, mà (7 ; 13) = 1
Nên M M 7.13 hay M M 91
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ
Bài 2:
(5 đ)
a/
2
2
2
7 2 2 50 4 2.4 2 2 7 2 2 50 4 2
7 2 2 5 2 4 2 7 2 6 4 2 7 2 2 2
7 2 2 2 3 2 2 2 1 2 1
0,5 đ
0,75 đ 0,75 đ
2 3
1
2 1 2 1
x B
x
+
−
2 1 1
B
2 2
1
x x x
x x
x x x
+ +
− + +
Vì x≥0 nên x2 + x + 1 ≥ 1 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi x = 0
2
1 1
x x
⇒
+ + đạt giá trị lớn nhất bằng 1 khi x = 0
Lúc đó: minB = -1 khi x = 0
0,5 đ
1 đ
0,5 đ 0,5 đ
0,5 đ
Bài 3:
(5 đ)
a/ Do x, y, z không âm nên áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:
2
x y+ ≥ xy ; y z+ ≥2 yz ; z x+ ≥2 zx
2 2 2 (x y y z z x)( )( ) 8 x y z 8xyz
1,5 đ
0,5 đ b/ Do x, y, z không âm nên áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:
yz zx yz zx
z
x + y ≥ x × =y
yz xy yz xy
y
x + z ≥ x × =z
zx xy xz xy
y
y + z + ≥ y × =z
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ
Trang 15Cộng vế theo vế: 2 yz zx xy 2(x y z)
x y z
yz zx xy
x y z
x y z
1 đ
0,5 đ
Bài 4:
HOD O+ = − =
OGB O+ = − =B − =
HOD OGB
D =B =
HOD
⇒ ∆ ∆OGB (g-g)
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ b/ Từ câu a/ suy ra HD DO
OB = BG ⇔HD BG OB OD =
Đặt BM = a > 0 thì AD = 2a, OB = OD = a 2
Ta có: HD BG OB OD a = = 2.a 2 2 = a a=AD BM
HD BM
AD BG
⇒ = và ·ADC=·ABC
AHD
⇒ ∆ ∆GMB (c-g-c)
·AHD GMB·
⇒ = mà ·AHD HAB= · (so le trong)
GMB HAB
⇒ = do hai góc này ở vị trí đồng vị nên MG // AH
0,5 đ
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ
Bài 5:
kẻ AH ⊥ BD, CK ⊥ BD
Ta có: S = SABD + SCBD = 1 1 1 ( )
2AH BD+2CK BD=2BD AH CK+ Mà: AH = OA.sinα ; CK = OC.sinα
0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ
H
O A
D
B
C
1
1 a
1
A
O
G
H
Trang 16( ) ( )
S BD OA α OC α BD α OA OC AC BD α
Trang 17UBND HUYỆN GIỒNG RIỀNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2013 – 2014
- Khóa ngày 17/11/2013
ĐỀ THI MÔN TOÁN LỚP 9
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Bài 1: (5 điểm)
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, giá trị của biểu thức A = n3 + 5n luôn là bội của 6
b) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n2 – 14n – 256 là một số chính phương.
Bài 2: (5 điểm)
a) Thực hiện các phép tính rút gọn biểu thức: M = 53 12 10+ − 47 6 10−
b) Không dùng máy tính hãy thực hiện các phép biến đổi để so sánh hai số:
c) Tìm x, biết x+2 x− +1 x−2 x− = −1 x 1
Bài 3: (3 điểm)
a) Cho các số dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức: a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca
b) Cho x, y là hai số thỏa mãn x > y và xy = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
x y
x y
+
−
Bài 4: (3 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao BE và CF cắt nhau tại H Trên đoạn HB và HC lấy hai điểm M, N sao cho ·AMC=·ANB=900 Chứng minh rằng: AN = AM
Bài 5: (4 điểm)
Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm P cố định trong đường tròn Hai dây cung AC và BD thay đổi nhưng luôn vuông góc với nhau tại P
a) Chứng minh rằng: AC2 + BD2 luôn không đổi.
b) Xác định vị trí của hai dây cung AC và BD sao cho diện tích của tứ giác ABCD lớn nhất.
-