Tổng hợp các đề thi HSG toán lớp 9 năm 2011 2012

Người tổng hợp: Nguyễn Huy Thịnh TỔNG HỢP CÁC ĐỀ THI HSG LỚP NĂM 2011-2012 Lời nói đầu: Chào tất bạn! Mình Nguyễn Huy Thịnh học sinh lớp 8/1 Trường THCS Tân Xuân.Nay định tổng hợp lại tất đề thi HSG lớp (năm 2011-2012) bạn ôn thi tuyển sinh lớp 10 chuẩn bị cho kì thi học sinh giỏi lớp tỉnh mình.Sau 30 đề thi học sinh giỏi lớp tổng hợp VMF (diễn đàn toán học).Mình mong giúp bạn phần ôn tập HSG Người biên soạn Nguyễn Huy Thịnh ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUẬN ĐỐNG ĐA 2011-2012 MÔN: TOÁN NGÀY THI: 10 tháng 12 năm 2012 THỜI GIAN: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (4,0 điểm) Rút gọn biểu thức:   x2    x    A   x2 2  x   với 2  x  Bài 2: (6,0 điểm) 1) Cho trước số hữu tỷ m cho m số vô tỷ Tìm số hữu tỷ a,b,c để: a3 m2 b m  c  2) Tìm số tự nhiên có chữ số (viết hệ thập phân) cho điều kiện sau đồng thời thỏa mãn: (i) Mỗi chữ số đứng sau lớn chữ số đứng liền trước (ii) Tổng p+q lấy giá trị nhỏ nhất, p tỉ số chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị q tỉ số chữ số hàng nghìn chữ số hàng trăm Bài 3: (4,0 điểm) 1) Tìm tất số nguyên x thỏa mãn: | x 10 |  | x 11|  | x 101|  | x  990 |  | x 1000 | 2012 2) Chứng minh chia tam giác vuông có độ dài cạnh số nguyên thành phần diện tích diện tích phần số nguyên Bài 4: (4,0 điểm) 1) Cho tam giác ABC có góc nhọn, trung tuyến AO có độ dài độ dài cạnh BC Đường tròn đường kính BC cắt AB,AC thứ tự M,N (M khác B, N khác C) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng AO I,K Chứng minh tứ giác BOIM nội tiếp đường tròn tứ giác BICK hình bình hành 2) Cho tam giác ABC, điểm M di chuyển cạnh BC Gọi P,Q hình chiếu vuông góc M AB,AC Xác định vị trí M để PQ có độ dài nhỏ Bài 5: (2,0 điểm) Trong hình vuông cạnh 7, lấy 51 điểm Chứng minh có điểm 51 điểm cho nằm hình tròn có bán kính Kì thi chọn học sinh giỏi lớp Năm học 2011-2012 Môn thi:Toán Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề) Bài (2,0 điểm)  x 1 1 x    a) Cho biểu thức: A     1   với x  0; x  Rút gọn biểu thức A x  x  x  x     tìm giá trị nguyên x để A số nguyên b) Cho biểu thức: M  x  x 1  x   x  x 1  x    x  x 1  x   x  x 1  x  Với x số tự nhiên khác Chứng minh M số tự nhiên Bài (2,0 điểm) a) Tìm x biết: x  24  x  16  10  x  xy  y   b) Giải hệ phương trình:  y  yz  z   z  zx  x   Bài (2,0 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho tứ giác ABCD có A(0;1); B(0;4); C (6;4) D(4;1) Gọi d đường thẳng cắt đoạn thẳng AD,BC M,N cho đường thẳng d chia tứ giác ABCD thành phần có diện tích nhau, biết phương trình đường thẳng d có dạng 5m Kì thi chọn học sinh giỏi lớp y  mx  (với m  ) Năm học 2011-2012 a) Tìm tọa độ M N b)Tìm toạn độ điểm Q d cho khoảng cách từ Q đến trục Ox lần khoảng cách từ Q đến Oy Môn thi:Toán Bài (2,0 điểm) Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, gọi H trung điểm BC Trên cạnh  AB,AC lấy hai điểm D,E cho DHE  60o Lấy M cung nhỏ AB a) Chứng minh ba đường phân giác ba góc BAC, BDE, DEC đồng quy b) Cho AB có độ dài đơn vị Chứng minh: MA  MB  Bài (1,0 điểm) Cho tam giác ABC không cân, vẽ phân giác Ax góc A Vẽ đường thẳng d trung trực đoạn thẳng BC Gọi E giao Ax d Chứng minh E nằm tam giác ABC Bài (1,0 điểm) Cho x,y,z ba số thực dương thỏa điều kiện xyz=1 Chứng minh rằng: 1   1 3 3  x  y  y  z  z  x3 *Lưu ý: Thí sinh không sử dụng máy tính cầm tay làm thi HẾT Đề thi HSG vòng quận Hà Đông - Hà Nội Bài 1: a)Giải pt: 2(x2  x 1)2  7(x 1)2 13(x3 1) b)Cho pt : mx2  2(m 1)x  m   Tìm m để pt có nghiệm phân biệt x1 ; x2 mà x12  x22 =3 Bài 2: a)Tìm x,y,z thuộc N* cho xyz-x-y-z=5  2 x (1  x  y )   b)Giải hệ:   y (1  )   x y Bài 3: Cho abc=2012, a,b,c >0   13 Tìm max: 13    3   a b abc b c abc c a abc Bài 4: Cho đường tròn (O) Dây BC cố định , A chuyển động đường tròn cho tam giác ABC có ba góc nhọn.Kẻ đường cao AD,BE,CF cắt H a) CMR: cos A  cos B  cos 2C  b)Tìm vị trí điểm A để diện tích tam giác AEH max c)CMR: đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF qua điểm cố định d) CM: BC  AD2  4EF Đề thi HSG toán tỉnh Yên Bái năm học 2011-2012 Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao để) Câu 1: Tìm hai số x,y nguyên thoả mãn x2  xy  x  y  15 Câu 2: Giải hệ phương trình: y  x  x2   y      ( x  y )(1  )   xy Câu 3: Cho hình thang ABCD(AB//CD) Trên đáy lớn AB lấy điểm M không trùng với đỉnh Qua M kẻ đường thẳng song song với AC BD, đường thẳng cắt hai cạch BC, AD E F Đoạn EF cắt AC BD I J Gọi H trung điểm IJ a Chứng minh rằng: FH=HE b Cho AB=2CD Chứng minh rằng: EJ=JI=IF Câu 4: Cho đường tròn O dây cung $AB(O\not\in AB)$ Các tiếp tuyến A B đường tròn cắt C Kẻ dây cung CD đường tròn đường kính $OC(D\neq A,B)$ Dây cung CD cắt cung AB đường tròn (O) E (E nằm C D) a Chứng minh: BED  DAE b Chứng minh: DE  DA.DB Câu 5: 1 1      , (k  ;1  k  2012) 1.2012 2.2011 k (2012  k  1) 2012.1 4024 So sánh S 2013 Cho S  Câu 6: Cho $x,y,z$ ba số dương thoả mãn xyz=1 x2 y2 z2 Chứng minh rằng:    y 1 z 1 x 1 ĐỀ THI HSG TOÁN TỈNH HÀ TĨNH NĂM 2011-2012   29  12    20 b) Tìm số nguyên a,b cho a b a b Bài 1a) Rút gọn biểu thức Bài 2a) Giải phương trình x2  x  12  x  36 b) Giải hệ phương trình ( x  1)( y  1)  10  ( x  y )( xy  1)    Bài 3Cho ba số m,n,p thỏa mãn: m2 m2 m2 p p  n2 n2 m2  n       4 n n p n m p Tính Q  m  m  p Bài 4Cho tam giác ABC có B nhọn, cung nhỏ AC (ABC) lấy D khác A K H hình chiếu D đường thẳng BC,AB I giao điểm KH AC a.CM DI vuông góc với AC HK < AC b.E trung điểm AB (HDE) cắt IK F CM IF=FK Bài 5Cho hai số thực x,y khác cho ( x  y  1) xy  x  y Tìm max A  1  x3 y Đề thi chọn HSG tham dự kì thi cấp TP Hà Nội Bài 1(6đ): 1 1  ) a) Cho : A= 1.2.3 2011.2012(1     2011 2012 CMR: A số tự nhiên A chia hết cho 2013 b) Tìm x thỏa mãn: 3x2  x  2011  3x  x  2012  x  2013  2012 Bài ( 3đ) x  y  z  5t  2013   Giải hệ  z  10 zt  25t   x  y  z  xy  zy   Bài 3: Cho a,b,c thuộc R , x,y,z>0 CM: a b c (a  b  c) a)    x y z x yz b)Cho xy+yz+xz=671 CM: y z x    y  xz  2013 z  xy  2013 x  yz  2013 x  y  z Bài 4(5đ): Cho đường tròn ( O,R) Từ điểm S đường tròn kẻ tiếp tuyến SM, SN tới đường tròn( M,N hai tiếp điểm), đường thẳng d qua S cắt đường tròn (O,R) A B ( M thuộc cung lớn AB) Qua A kẻ đường thẳng Ax // SM Đường thẳng Ax cắt MN E, cắt MB C Đường thẳng MN cắt AB K Gọi I trung điểm AB a) CM: IS phân giác MIN SA SK  b) CM: SI SB c)CM: MA,SC,BE đồng quy điểm Bài 5(2đ): Trong hội nghị có 100 đại biểu, người quen với 67 người khác CMR: hội nghị có người mà người quen với người lại SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI BÌNH ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS NĂM HỌC 2011-2012 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1: (3,0 điểm) Cho tam giác vuông có độ dài cạnh số nguyên số đo chu vi hai lần số đo diện tích Tìm độ dài cạnh tam giác Câu 2: (3,0 điểm) Cho biểu thức: P   x  (1  x)  x   x  (1  x)  x với x [1;1] 1 Tính giá trị biểu thức P với x  2012 Câu 3: (3,0 điểm) Tìm số thực x, y thỏa mãn: ( x  1)2 y  16 x2  x  x  y   8x3 y  8xy Câu 4: (3,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Parabol (P): y  x hai điểm A(-1;1) B(3;9) nằm (P) Gọi M điểm thay đổi (P) có hoành độ m ($-1 y > 3x  my   2/ Cho x, y hai số thực dương thỏa mãn: x3  x3  x  y Chứng minh x2  y  Bài (4 điểm) 1/ Chứng tỏ hai số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức 2/ Tìm tất số nguyên n để số A  3n4  4n3  5n2  2n  x  y  2012 số nguyên tố Bài ( điểm) Cho tam giác ABC vuông A, có AH đường cao 1/ Chứng minh 1 1     4 AB AC BC AH BC 2/ Tam giác ABC có đặc điểm có 1    4 AB AC BC AH Bài (4 điểm) Cho tam giac ABC cân A, điểm F di động cạch AC F không trùng với điểm A 1/ Xác định điểm E nằm đường thẳng AB cho trung điểm I đoạn thẳng EF nằm cạnh BC 2/ Chứng minh với điểm E xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF nằm đường thẳng cố định Đề thi HSG khối thành phố Hải Phòng 2011-2012 Bảng A Bài 1: (2.0 điểm) a Cho A =  ; B = 20  14 Tính A + B b Cho a, b, c số khác thoả mãn a  b  c  Chứng minh rằng: a4 b4 c4    2 2 2 2 a  (b  c ) b  (c  a ) c  (a  b ) Bài 2: (2.0 điểm)   x2  y2 4 a Giải hệ phương trình    x7  y7 6 b Cho x, y hai số nguyên khác -1 cho x4 1 y 1 số nguyên  y 1 x 1 Chứng minh x 2012  chia hết cho y  Bài 3: (1.0 điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình 32 x6  16 y  z  t Bài 4: (2.0 điểm) Cho tứ giác lồi ABCD biết AB  BD, BAC  30o , ADC  150o Chứng minh CA tia phân giác góc BCD Bài 5: (2.0 điểm) Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC, gọi K, P, Q tiếp điểm cạnh BC, AC AB Gọi R trung điểm đoạn thằng PK Chứng minh PQC  KQR Bài 6: (1.0 điểm) Cho ba số dương a, b, c Chứng minh Dấu đẳng thức xảy nào? Đề thi chọn học sinh giỏi lớp tỉnh Hải Phòng Môn thi: Toán - Bảng B Đề thi học sinh giỏi tỉnh Vĩnh Phúc 2011-2012 Câu (3 điểm ) Cho f ( x)  A f( x3 Hãy tính giá trị biểu thúc sau :  3x  3x 2 2010 2011 ) f ( )   f ( ) f ( ) 2012 2012 2012 2012 2.Cho biểu thúc : x2 x x 1  2x  x   x x 1 x x  x  x x2  x Tìm tất giá trị $ x$ cho giá trị P số nguyên P Câu (1,5 điểm ) Tìm tất cặp số nguyên duong ( x; y) thỏa mãn (x  y)3  (x  y  6)2 Câu (1,5 điểm ) Cho a,b,c, d số thục thỏa mãn điều kiện : abc  bcd  cda  dab  a  b  c  d  2012 CMR : (a 1)(b2 1)(c2 1)(d 1)  2012 Câu (3 điểm ) Cho đuòng tròn ( O1 ), ( O2 ) ( O ) Giả sủ ( O1 ) ( O2 ) tiếp xúc vs I tiếp xúc vs ( O ) M , M Tiếp tuyến ( O1 ) I cắt ( O ) A , $A'$ A M cắt lại ( O1 ) điểm N1 , A M cắt lại ( O2 ) điểm N CMR : tú giác M N1 N M nội tiếp O A vuông góc vs N1 N Kẻ đuòng kính P Q ( O ) cho P Q vuông góc vs I A ( điểm P nằm cung A M ko chúa điểm M ) CMR : Nếu P M Q M không song song A I , P M Q M đồng quy Câu ( điểm ) Tất điểm mặt phẳng đc tô màu , điểm đc tô bỏi màu xanh, đỏ, tím CMR : tồn tam giác cân, có đỉnh thuộc điểm mặt phẳng mà đỉnh tam giác đôi màu khác màu Đề thi HSG lớp thành phố Hà Nội năm 2011-2012 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 04/4/2012 Câu 1: 1/Cmr: A= (a2012  b2012  c2012 )  (a2008  b2008  c2008 ) 30 a;b;c nguyên dương 2/Cho f (x)  (2x3  21x  29)2012 Tính f(x) x   49 49  7 8 Câu 2: 1/Giải phương trình : x   3x  x 12  2/Giải hệ phương trình : x2  xy  x  y  y  x2  y  x  y  Câu 3: Giải phương trình nghiệm nguyên dương: 2x2  5xy  3y  x  3y   Câu 4: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC A nằm đường tròn.Từ A hạ AH vuông góc BC vẽ đường tròn đường kính HA cắt AB;AC M N a/Cmr: OA vuông góc MN b/Cho AH  2; BC  Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN Câu 4: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC A nằm đường tròn.Từ A hạ AH vuông góc BC vẽ đường tròn đường kính HA cắt AB;AC M N a/Cmr: OA vuông góc MN b/Cho AH  2; BC  Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN Câu 5: 1/Chứng minh rằng: Điều kiện cần đủ để tam giác có đường cao h1; h2 ; h3 bán kính đường tròn nội tiếp r tam giác là: 1 1    h1  2h2 h2  2h3 h3  2h1 3r 2/Cho 8045 điểm mặt phẳng cho điểm tạo thành tam giác có diện tích [...]... cả các điểm trên mặt phẳng đều đc tô màu , trong đó mỗi điểm đc tô bỏi 1 trong 3 màu xanh, đỏ, tím CMR : luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân, có 3 đỉnh thuộc các điểm của mặt phẳng mà 3 đỉnh của tam giác đó đôi một cùng màu hoặc khác màu Đề thi HSG lớp 9 thành phố Hà Nội năm 2011- 2012 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 04/4 /2012 Câu 1: 1/Cmr: A= (a2012  b2012  c2012... đẳng thức xảy ra khi nào? Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 tỉnh Hải Phòng Môn thi: Toán - Bảng B Đề thi học sinh giỏi tỉnh Vĩnh Phúc 2011- 2012 Câu 1 (3 điểm ) 1 Cho f ( x)  A f( x3 Hãy tính giá trị của biểu thúc sau : 1  3x  3x 2 1 2 2010 2011 ) f ( )   f ( ) f ( ) 2012 2012 2012 2012 2.Cho biểu thúc : x2 x x 1 1  2x  2 x   x x 1 x x  x  x x2  x Tìm tất cả các giá trị của $ x$ sao... tròn ngoại tiếp tam giác MCD không đổi Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn xy  1 Chứng minh rằng  x  y  1  x 2  y 2   4 8 x y Đề thi HSG lớp 9 tỉnh Nghệ An năm học 2011 - 2012 Bài 1 (5,0 điểm) a Cho a và b là các số tự nhiên thỏa mãn điều kiện a 2  b2 7 Chứng minh rằng a và b đều chia hết cho 7 b Cho A  n2012  n2011  1 Tìm tất cả các số tự nhiên n để A nhận giá trị là một số nguyên... điểm) Cho tam giác ABC có các phân giác trong của các góc nhọn BAC, ACB, CBA theo thứ tự cắt các 3 2 cạnh đối tại các điểm M, P, N Đặt a  BC,b  CA,c  AB; SMNP , SABC theo thứ tự là diện tích của tam giác MNP và ABC S 2abc 1 Chứng minh rằng: MNP  SABC  a  b  b  c  c  a  S 2 Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của MNP S ABC Đề thi HSG lớp 9 tỉnh Lạng Sơn năm học 2011 - 2012 Bài 1 (4 điểm)  4... đường tròn (O') Bài 6 (2 điểm) Cho tam giác ABC có BC  a, AC  b, AB  c Gọi ha , hb , hc lần lượt là các đường cao ứng với các cạnh a,b,c Tính số đo các góc của tam giác ABC biết ha  hb  hc  9r , với r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC Đề thi HSG lớp 9 tỉnh Tiền Giang năm học 2011 - 2012 Bài 1 (4,0 điểm) 1 Giải hệ phương trình   x  1  2( x  x  y )  3 2   y  1  2( y  y  x)... điểm của các cung BC,CA,AB không chứa các điểm A,B,C của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC BC cắt A'C' và A'B' tại M và N; CA cắt A'B' và B'C' tại P và Q; AB cắt B'C’ và A'C' tại R và S a Chứng tỏ rằng AA',BB',CC' đồng quy tại I b Chứng minh rằng IQAR là hình thoi c Tìm điều kiện của tam giác ABC để MN=PQ=RS -HẾT - Đề thi HSG lớp 9 tỉnh Vĩnh Long năm học 2011 - 2012 Bài 1 (2 điểm) Tìm các số... x 9  x 2 b) GT $x, y, z$ là những số dương thoả mãn đk: xyz  1 Tìm min: f  x  1 1 1  3  3 x  y  z y x  z z x  y 3 2 Cho 3 số $a,b,c$ thoả mãn: a  b  c 1 ; a 2  b2  c 2 1;a3  b3  c3  1 CMR: a2n1  b2n1  c2n1  1 với n * CÂU 5: (2đ) Cho ABC thay đổi có AB  6 và AC  2BC Tìm giá trị lớn nhất của S ABC Đề thi HSG lớp 9 tỉnh Quảng Ngãi năm học 2011 - 2012 Ngày thi: 29/ 03 /2012. .. lấy các điểm D, E, F sao cho EDC  FDB  90 o Chứng minh rằng: EF // BC ĐỀ THI HSG LỚP 9 TỈNH ĐỒNG NAI 2011- 2012 Câu 1 (4đ) Cho ac=bd và ab>0 chứng minh (a  b)2  (c  d )2  a 2  d 2  b2  c 2 Câu 2 (4đ) GHPT x 2  y 2  4 x3  y 3  8 Câu 3 (4đ) Cho m,n,k là các số nguyên thỏa m2  n 2  k 2 Chứng minh tích mn 12 Câu 4(3,5đ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy mỗi điểm với hoành độ và tung độ đều nguyên... thẳng CD Câu 5: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: a 2  b2  c 2  3 1 1 1   1 Chứng minh rằng: 3 3 1  8a 1  8b 1  8c3 Đề thi HSG lớp 9 tỉnh Phú Thọ năm học 2011 - 2012 Bài 1 (3 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương n để hai số n + 26 và n – 11 đều là lập phương của hai số nguyên dương nào đó Bài 2 (4 điểm) giá trị của biểu thức: A  2a  3 x  x   không giải phương trình, hãy... chung CMR ít nhất 1 trong những đường tròn này chứa tâm của 1 đường tròn khác trong chúng SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẮK LẮK ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 2011 - 2012 MÔN TOÁN 9 - THCS (Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 20/03 /2012 Bài 1 (4 điểm) Cho biểu thức: 15 x  11 3 x  2 2 x  3   x  2 x  3 1 x x 3 1/ Tính giá trị của P 2/ Tìm giá trị ... học sinh lớp 8/1 Trường THCS Tân Xuân.Nay định tổng hợp lại tất đề thi HSG lớp (năm 2011- 2012) bạn ôn thi tuyển sinh lớp 10 chuẩn bị cho kì thi học sinh giỏi lớp tỉnh mình.Sau 30 đề thi học sinh... giỏi lớp tổng hợp VMF (diễn đàn toán học).Mình mong giúp bạn phần ôn tập HSG Người biên soạn Nguyễn Huy Thịnh ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUẬN ĐỐNG ĐA 2011- 2012 MÔN: TOÁN NGÀY THI: 10 tháng 12 năm 2012. .. đôi màu khác màu Đề thi HSG lớp thành phố Hà Nội năm 2011- 2012 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 04/4 /2012 Câu 1: 1/Cmr: A= (a2012  b2012  c2012 )  (a2008 