Tổng hợp các phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Tng hp cỏc phng phỏp chng minh Bt ng thc BT NG THC Trong toỏn hc, mt bt ng thc l mt phỏt biu v quan h th t gia hai i tng Ký hiu cú ngha l a nh hn b v Ký hiu cú ngha l a ln hn b Nhng quan h núi trờn c gi l bt ng thc nghiờm ngt; ngoi ta cũn cú cú ngha l a nh hn hoc bng b v cú ngha l a ln hn hoc bng b Ngi ta cũn dựng mt ký hiu khỏc ch rng mt i lng ln hn rt nhiu so vi mt i lng khỏc Ký hiu a >> b cú ngha l a ln hn b rt nhiu Cỏc ký hiu a, b hai v ca mt bt ng thc cú th l cỏc biu thc ca cỏc bin Sau õy ta ch xột cỏc bt ng thc vi cỏc bin nhn giỏ tr trờn s thc hoc cỏc ca nú Nu mt bt ng thc ỳng vi mi giỏ tr ca tt c cỏc bin cú mt bt ng thc, thỡ bt ng thc ny c gi l bt ng thc tuyt i hay khụng iu kin Nu mt bt ng thc ch ỳng vi mt s giỏ tr no ú ca cỏc bin, vi cỏc giỏ tr khỏc thỡ nú b i chiu hay khụng cũn ỳng na thỡ nú c go l mt bt ng thc cú iu kin Mt bt ng thc ỳng cũn ỳng nu c hai v ca nú c thờm vo hoc bt i cựng mt giỏ tr, hay nu c hai v ca nú c nhõn hay chia vi cựng mt s dng Mt bt ng thc s b o chiu nu c hai v ca nú c nhõn hay chia bi mt s õm Hai bi toỏn thng gp trờn cỏc bt ng thc l: Chng minh bt ng thc ỳng vi tr giỏ tr ca cỏc bin thuc mt hp cho trc, ú l bi toỏn chng minh bt ng thc Tỡm cỏc giỏ tr ca cỏc bin bt ng thc ỳng ú l bi toỏn gii bt phng trỡnh PHN 1: CC KIN THC CN LU í A B A B 1/nh ngha A B A B 2/Tớnh cht + A>B B A + A>B v B >C A C + A>B A+C >B + C + A>B v C > D A+C > B + D + A>B v C > A.C > B.C + A>B v C < A.C < B.C + < A < B v < C B > A n > B n n + A > B A n > B n vi n l + A > B A n > B n vi n chn Su tm v tng hp: Lc Phỳ a - Vit Trỡ Phỳ Th 10/24/2011 - Tr: Tng hp cỏc phng phỏp chng minh Bt ng thc + m > n > v A > A m > A n + m > n > v A B 3/Mt s hng bt ng thc + A vi A ( du = xy A = ) + An vi A ( du = xy A = ) + A vi A (du = xy A = ) + - A 0) + A B A B ( du = xy A.B < 0) Su tm v tng hp: Lc Phỳ a - Vit Trỡ Phỳ Th 10/24/2011 - Tr: Tng hp cỏc phng phỏp chng minh Bt ng thc PHN II :CC PHNG PHP CHNG MINH BT NG THC 1-Phng phỏp : Dựng nh ngha Kin thc : Để chứng minh A B, ta chứng minh A-B (nghĩa ta sử dụng định nghĩa, tính chất bản, để biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh đến bất đẳng thức hay tính chất sử dụng bất đẳng thức biến đổi dẫn đến bất đẳng thức cần chứng minh ; Lu ý dựng hng bt ng thc M vi M ) Túm li cỏc bc chng minh A B theo nh ngha: Bc 1: Ta xột hiu H = A - B Bc 2:Bin i H=(C+D) hoc H=(C+D) +.+(E+F) Bc 3:Kt lun A B Vớ d 1: x, y, z chng minh rng : a) x + y + z xy+ yz + zx b) x + y + z 2xy 2xz + 2yz c) x + y + z +3 (x + y + z) Gii: a) Ta xột hiu : x + y + z - xy yz zx = ( x + y + z - xy yz zx) = ( x y ) ( x z ) ( y z ) ỳng vi mi x;y;z R Vỡ (x-y)2 vix ; y Du bng xy x=y (x-z)2 vix ; z Du bng xy x=z (y-z)2 vi z; y Du bng xy z=y Vy x + y + z xy+ yz + zx Du bng xy x = y =z b)Ta xột hiu: x + y + z - ( 2xy 2xz +2yz ) = x + y + z - 2xy +2xz 2yz = ( x y + z) ỳng vi mi x;y;z R Vy x + y + z 2xy 2xz + 2yz ỳng vi mi x;y;z R Du bng xy x+y=z c) Ta xột hiu: x + y + z +3 2( x+ y +z ) = x - 2x + + y -2y +1 + z -2z +1 = (x-1) 2+ (y-1) 2+(z-1) Du(=)xy x=y=z=1 Vớ d 2: chng minh rng : a2 b2 a b a) ; Gii: b) a2 b2 c2 a b c 3 c) Hóy tng quỏt bi toỏn a2 b2 a b a 2ab b 1 = 2a 2b a b 2ab = a b 4 a) Ta xột hiu = a2 b2 a2 b2 a b Vy b)Ta xột hiu Du bng xy a=b a2 b2 c2 a b c a2 b2 c2 a b c 2 = a b b c c a Vy 3 3 Du bng xy a = b =c Su tm v tng hp: Lc Phỳ a - Vit Trỡ Phỳ Th 10/24/2011 - Tr: Tng hp cỏc phng phỏp chng minh Bt ng thc a a 22 a n2 a1 a a n c)Tng quỏt n n 2 Vớ d 3: Chng minh m,n,p,q ta u cú : m + n + p + q +1 m(n+p+q+1) Gii: m2 m2 m2 m2 2 mn n mp p mq q m 2 m m n 2 2 m m p q (luụn ỳng) m m n n m m p0 m2 p Du bng xy m n p q q m q m 22 m Vớ d 4: Chng minh rng vi mi a, b, c ta luụn cú : a b c abc (a b c) Gii: Ta cú : a b c abc (a b c) , a, b, c a b c a bc b ac c ab 2a 2b 2c 2a bc 2b ac 2c ab a2 b2 a2 b2 2a b b c b c2 c 2b c c a 2a c 2a bc 2b ac 2c ab a2 (a b b c 2b ac ) (b c c a 2c ab) (a b c a 2a ab) a b b c c a ab bc bc ac ab ac ỳng vi mi a, b, c Ví dụ 5: Cho ba số a, b, c Chứng minh bất đẳng thức: a) a2 + b2 + c2 ab + bc + ca (1) b) (ab + bc + ca) 3abc(a + b + c) (2) 2 2 2 (ĐHQG TP HCM -1998) Lời giải a) (1) 2a 2b 2c2 2ab 2bc 2ca (a b)2 (b c)2 (c a)2 luôn b) (2) a b b c2 c2a a bc ab c abc 2a b 2b c2 2c2a 2a bc 2ab c 2abc (ab-bc)2 (bc ca)2 (ca ab)2 luôn Ví dụ 6: Chứng minh a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a(b + c + d + e) với a, b, c, d, e (1) (ĐH Y dược TP HCM-1999) Lời giải Su tm v tng hp: Lc Phỳ a - Vit Trỡ Phỳ Th 10/24/2011 - Tr: Tng hp cỏc phng phỏp chng minh Bt ng thc a2 a2 a2 a2 2 (1) ab b ac c ad d ae e 4 4 2 2 a a a a b c d e hiển nhiên 1 Ví dụ : Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn abc=1 a+b+c> a b c a) Chứng minh rằng: (a-1)(b-1)(c-1)>0 (1) b) Chứng minh ba số a, b, c có số lớn (ĐHTH TP.HCM -1993) Lời giải (2) a) Ta có: (1) abc-ab-ac-bc+a+b+c>0 1 ab+bc+ca Vì a+b+c> a+b+c> a b c ab bc ca (vì abc=1) a b c abc Vậy (2) Suy (1) b) Ta có: (a-1)(b-1)(c-1)>0 Suy ba số a, b, c lớn , ba số a, b, c có số lớn Nếu a>1, b>1, c>1 abc>1, mâu thuẫn với giả thiết Vậy ba số a, b, c có số lớn a b c Ví dụ : Chứng minh: 3 3 3 3 b c c a a b a, b, c độ dài ba cạnh tam giác (Tp TH & TT: 2004) Lời giải (1) Ta có: b c3 (b c)3 Thật vây:(1) 4(b +c3 ) b c3 3b c 3bc b c b c bc b (b c) c2 (b c) (b-c)(b -c2 ) (b-c)2 (b c) (2) (1) 1 Tương tự: c3 a (c a)3 ; a +b (a+b)3 4 Do đó: (2) b c a (3) 3 b+c c a a b b c3 c3 a 3 a b a b c 2a 2b 2c 2a 2b 2c mà < =2 b+c c a a b 2(b c) 2(c a) 2(a b) b c a c a b a b c (Do a+b>c; b+c>a; c+a>b) ; Từ (3) (4) suy đpcm Bi tp: x y x y2 Bài : Cho x, y Chứng minh: y x y x a b c 1 1 Bài : Chứng minh 01 x.y.z>1 Mõu thun gt x.y.z=1 bt buc phi xy trng hp trờn tc l cú ỳng ba s x ,y ,z l s ln hn a b c Vớ d 6: Chng minh rng : ab bc ac Gii: 1 a a Ta cú : a b a b c (1) ab abc ab abc b b c c Tng t ta cú : ( 2) , (3) bc abc ac abc Cng v theo v cỏc bt ng thc (1), (2), (3), ta c : a b c a ac (*) ; Ta cú : a a b ( 4) ab bc ac ab abc b ab c cb Tng t : (5) , ( 6) bc abc ca abc a b c Cng v theo v cỏc bt ng thc (4), (5), (6), ta c : (**) ab bc ac a b c T (*) v (**) , ta c : (pcm) ab bc ac Su tm v tng hp: Lc Phỳ a - Vit Trỡ Phỳ Th 10/24/2011 - Tr: Tng hp cỏc phng phỏp chng minh Bt ng thc 3- Phng phỏp 3: Dựng bt ng thc ph Kin thc: a) x y xy b) x y xy du( = ) x = y = c) x y xy a b d) b a Vớ d Cho a, b ,c l cỏc s khụng õm chng minh rng (a+b)(b+c)(c+a) 8abc Gii: Dựng bt ng thc ph: x y xy a b 4ab ; b c 4bc ; c a 4ac 2 2 a b b c c a 64a b c 8abc (a+b)(b+c)(c+a) 8abc Tacú Du = xy a = b = c Su tm v tng hp: Lc Phỳ a - Vit Trỡ Phỳ Th 10/24/2011 - Tr: Tng hp cỏc phng phỏp chng minh Bt ng thc 4- Phng phỏp 4: Bt ng thc Cụ si Kin thc: a/ Vi hai s khụng õm : a, b , ta cú: a b ab Du = xy a=b b/ Bt ng thc m rng cho n s khụng õm : a a an a1 a2 an n a1a2 an a1a2 an n Du = xy a1 a a n Chỳ ý : ta dựng bt ng thc Cụsi cho bin s khụng õm Trng hp 1: Cỏc bin khụng b rng buc a b2 c2 a b c Ví dụ : Chứng minh: , abc b c a c a b n n (H Y dc Tp.HCM-1999) Li gii p dụng BĐT Cauchy cho số dương, b c2 2b c2 a 2c , (1); Tương tự: , (2) ; ,(3) a b a b a 2a 2 c a a a b b ta có: 2 b c b c c c Cng cỏc v tng ng ca (1), (2) v (3) ta cú pcm 2 2 x x x 12 15 20 Ví dụ : Chứng minh với x R, ta có: 3x x 5x Khi đẳng thức xảy ? ( thi H, C- 2005) Li gii p dng bt ng thc Cauchy cho hai s dng, ta cú: x x 12 15 12 x x x 15 2.3x ,(1) x x x 15 20 20 12 Tng t ta cú: 2.5x ;(2) 2.4 x ;(3) Cng cỏc bt ng thc (1), (2), (3), chia hai v ca bt ng thc nhn c cho 2, ta cú iu phi chng minh ng thc xy v ch x = Ví dụ : Cho x, y, z > Chứng minh rằng: y x z 1 3 2 x y y z z x x y z (H Nụng Nghip I KA - 2001) Li gii Dễ dàng chứng minh BĐT sau: a b c ab bc ca Su tm v tng hp: Lc Phỳ a - Vit Trỡ Phỳ Th (1) 10/24/2011 - Tr: 10 Tng hp cỏc phng phỏp chng minh Bt ng thc 3(cos4 x-sin x)+4sin x cos2 x 3(cos2 x-sin x)+4sin x cos2 x y 3sin x cos2 x 3sin x cos2 x 1 y-1= ;Đặt sin x t, t [0; 1], hàm số trở thành y-1= 3sin x cos x 3t 2t / f(t)>0, t [0; 1], a=3>0 Gọi f(t)=3t 2t Thấy b / - [0; 1] a Suy ra: Viết lại y-1= / 3 1 = max (y-1)= max y= +1= , có t sin x= D D D a 5 3 1 * Max f(t)=max{f(0); f(1)}=max{2; 3}=f(1)=3 (y-1)= y= +1= , D D D 3 có t=1 sin x=1 Tóm lại, giá trị lớn hàm số ; giá trị nhỏ hàm số * Min f(t)=- Bài tập: Bi 1: Tỡm giỏ tr ln nht v nh nht ca hm s: f(x) = cos2x + 3sinx + Bi 2: Gi x1, x2, x3 l cỏc nghim ca phng trỡnh: x - (2m + 3)x2 + (2m2 - m + 9)x - 2m2 + 3m - = Tỡm giỏ tr ln nht v nh nht ca biu thc: P=x12 x 22 x 32 x1x x Bài : Tìm a để phương trình sau có nghiệm thuộc 0; : ( II - B tuyn sinh H) 2 (1-a)tg x 3a cos x Bài : Tìm m để hàm số y=mx+ x 4x có giá trị nhỏ lớn ( 123 III - B tuyn sinh H) /Phng phỏp giỏ tr ca hm s: C s ca phng phỏp ny l: tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca hm s y = f(x) trờn mt D ta tin hnh nh sau: - Tỡm iu kin phng trỡnh y0= f(x) cú nghim (vi y0 l mt giỏ tr tu ý ca hm s y = f(x) trờn D) - T iu kin trờn bin i dn n dng y1 y0 y2 - Kt lun: max f(x) y , f(x) y1 xD xD Chỳ ý: Cú trng hp ta tỡm c giỏ tr ln nht nhng khụng tỡm c giỏ tr nh nht hoc ngc li Ví dụ : Cho hai số thực x 0, y thay đổi thoả mãn điều kiện: (x+y)xy=x y xy 1 Tìm giá trị lớn biểu thức A= x y (H Khi A - Nm 2006) Li gii Cách : Đặt S=x+y, P=xy Điều kiện S, P S 4P Dễ thấy (x+y)xy=x y xy nên x+y xy dấu Sử dụng giả thiết trên, ta có: Su tm v tng hp: Lc Phỳ a - Vit Trỡ Phỳ Th 10/24/2011 - Tr: 96 Tng hp cỏc phng phỏp chng minh Bt ng thc (x+y)(x +y -xy) x y A= S A.P x y3 xy Mt khỏc, t gi thit suy ra: SP = S2 - 3P 3 A Từ (1) (2), tính được: P= ; S= A- A A- A Giải bất phương trình S 4P 0, ta tìm A 16 Từ maxA=16 x=y= Cách : Đặt x=ty Từ (x+y)xy=x y xy ta suy (t+1)ty3 (t t 1)y t2 t ; t2 t Ta tính được: Do đó: y= x=ty= t2 t t 2 1 t 2t A= x y t t t 2t Đặt m, ta có phương trình theo t: t t mt mt m t 2t (m 1)t (m 2)t m * m=1( A=1): t=0 * m 1: Phương trình có nghiệm =(m+2) 4(m 1) 3m 12m m Vậy maxA=16 x=y=2 Nhn xột: 1) Nu gp bi toỏn dng Cho x, y tha f(x, y) = Tỡm giỏ tr ln nht, nh nht ca biu thc A = g(x, y) Ta thng a v: f(x, y)=0 Tìm A để hệ PT có nghiệm g(x, y)=A Ta tập giá trị A, từ suy giá trị lớn nhỏ A 2) Vi bi toỏn dng Cho cỏc s thc x, y tha f(x, y) = g(x, y) Tỡm giỏ tr ln nht, nh nht ca biu thc A = p(x, y) Trong ú f(x, y) v g(x, y) u l cỏc biu thc ng cp i vi x, y, cú th gii bi toỏn bng cỏch sau: Vi y = ta th trc tip Nu y 0, t x = ty Thay vo gi thit f(x, y) = g(x, y), ta s tớnh c y, x theo t Biu din A theo t T ú tỡm c giỏ tr ca A Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số: y= sinx với x [0; ] 2+cosx (HSP Quy Nhn - Nm 1999) Li gii Su tm v tng hp: Lc Phỳ a - Vit Trỡ Phỳ Th 10/24/2011 - Tr: 97 Tng hp cỏc phng phỏp chng minh Bt ng thc Xét hàm số cho chu kì: x [ ; ] Tập giá trị hàm số với x [ ; ] tập giá trị hàm số với x (-; +) sinx Phương trình y= sin x y cos x 2y 2+cosx 1 Phương trình ẩn x có nghiệm 12 y (2y)2 y 3 Mặt khác, với x (0; ) sinx y Do y miny=0; , x [0; ] Mặt khác, x=0 y=0 x= maxy= y= nên 3 Bài tập: Bài : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức A= x xy y , x, y R x xy y Bài : Cho hai số thực x 0, y thỏa mãn x y x y y 2x Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức A= x y Bi 3: Tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca hm s y= sinx cosx (HQG H Ni Khi B - Nm 1999) Bi 4: Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca hm s f(x) = (2sinx + cosx)(2cosx - sinx) (H Cn Th Khi A - Nm 2001) 4/ S dng cỏc bt ng thc Cauchy, Bu-nhia-Cpxki: Ví dụ 1: Cho x, y > v x + y = Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P= x y y x (Đề thi vào Khối PTCT - ĐHKHTN Hà Nội) Li gii Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: x+y * 00) 2x x (Đề Dự bị Khối B - Năm 2006) Lời giải Theo bất đẳng thức Bu-nhia-Cốpxki, ta có: 7 3+ x 3.1 x (9 7) x 1+ x 16 x 7x Đẳng thức xảy x (*) x 11 9 15 x x (BĐT Cauchy) 2x x x x 2 Đẳng thức xảy x= (*) x=3 x 15 Vậy miny= xảy x=3 Ví dụ Cho x, y, z số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện xyz = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x (y z) y (z x) z (x y) P= y y 2z z z z 2x x x x 2y y Suy y x+ (Đề ĐH khối A - Năm 2007) Lời giải Cách 1: áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương tử số, từ xyz = 1, ta : Su tm v tng hp: Lc Phỳ a - Vit Trỡ Phỳ Th 10/24/2011 - Tr: 100 Tng hp cỏc phng phỏp chng minh Bt ng thc P 2x x y y 2z z 2y y z z 2x x 2z z (1) x x 2y y Đặt a=x x, b=y y, c=z z a, b, c >0; abc = Bất đẳng thức (1) trở thành : P 2a 2b 2c b+2c c 2a a 2b (2) p dụngBĐT Bu-nhia-cốpxki cho hai số a ; b+2c a(b+2c); b(c+2a); c(a+2b) c , ta : a+2b b c a (a+b+c)2 3(ab+bc+ca) b+2c c 2a a 2b b ; c+2a (3) a b c b+2c c 2a a 2b Từ (2) (4), ta có P Từ minP=2 x=y=z=1 Lại có 3(ab+bc+ca) (a+b+c)2 , nên từ (3) suy (4) Cách 2: Ta có: x (y z) 2x x Tương tự, y (z x) 2y y, z (x y) 2z z P 2x x y y 2z z 2y y z z 2x x 2z z x x 2y y Đặt a=x x 2y y, b=y y 2z z, c=z z 2x x 4c a 2b 4a b 2c 4b c 2a Suy ra: x x ,y y ,z z 9 4c a 2b 4b c 2a 4b c 2a Do đó: P b c a c a b a b c = (4.3+3-6)=2 b c a b c a c a b c a b a b ( Do 2 3, b c a b c a b a c a b c a b a b c 3 Tương tự, (Do BĐT Cauchy)) b c a b c a b c a Đẳng thức xảy x=y=z=1 Vậy minP=2 Bài tập: ** Sử dụng bất đẳng thức Cauchy: Bài : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện abc=1 Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: bc ac ab P= 2 a b a c b a b c c a c2 b (ĐH Nông nghiệp I Khối A - Năm 2000) Bài : Tìm giá trị nhỏ tổng S= xy yz zx x, y, z số thực dương thỏa mãn z x y điều kiện x y z (Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ số 341 - Tháng 11/2005) Su tm v tng hp: Lc Phỳ a - Vit Trỡ Phỳ Th 10/24/2011 - Tr: 101 Tng hp cỏc phng phỏp chng minh Bt ng thc Bài : Giả sử A, B, C ba góc tam giác Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M= 1 2+cos2A 2+cos2B 2-cos2C (ĐH Mỏ - Địa chất - Năm 1999) *** Sử dụng bất đẳng thức Bu - nhia - cốpxki: Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: y = 2sin8x + cos42x (ĐH Tài Kế toán Hà Nội - Năm 2000) Bài : Giả sử x, y hai số dương thỏa mãn điều kiện + =6 Tìm giá trị nhỏ tổng x+y x y (ĐH Y Hà Nội - Năm 2000) Bài : Cho số x, y, z thay đổi [0; 1] thỏa mãn điều kiện x+y+z= Tìm giá trị nhỏ 2 2 biểu thức A=cos(x +y +z ) (ĐH Xây dựng - Năm 2001) Bài 8: Trong nghiệm (x; y) bất phương trình 5x2 + 5y2 - 5x - 15y + 0, tìm nghiệm có tổng x + 3y nhỏ (ĐH An Ninh Khối D - Năm 2001) Mt bi toỏn tỡm giỏ tr nh nht Bi toỏn : "Cho Tỡm GTNN ca " i vi dõn chuyờn Toỏn v cú th nhiu bn khỏc na, bi toỏn ny tng i d Cũn i vi khụng phi dõn chuyờn Toỏn, vic gii v m rng bi toỏn ny ó a n nhiu kt qu thỳ v Trc ht ta xem xột li gii ca bi toỏn trờn: Cng BT trờn ta cú Du "=" xy v ch Tuy nhiờn t l ti ngh c s thờm vo BT? gii quyt ny, s dng ý tng dựng BT nh trờn, nhng tụi s thờm vo s no ú: Cng hai BT trờn ta cú: Du "=" xy v ch khi: Gi s ó tn ti \alpha du "=" xy ra, ú Thay vo F c GTNN ca F l t c Su tm v tng hp: Lc Phỳ a - Vit Trỡ Phỳ Th 10/24/2011 - Tr: 102 Tng hp cỏc phng phỏp chng minh Bt ng thc Nh vy vic a s vo ỏp dng BT l hon ton cú c s T ú tụi ó nõng bi toỏn lờn vi h s cỏc s hng l cỏc s dng: "Cho Tỡm GTNN ca " Mc tiờu ca chỳng ta l dựng BT Cụ-si cho cng BT vo, ta cú v trỏi l 2F cng vi s hng no ú, cũn v phi cha biu thc ó cho gi thit Rừ rng vic t s n l s khụng a n kt qu m phi bin i s hng cng vo mi BT Cỏch t s hng cng vo ny giỳp trit tiờu c c bờn v trỏi, nhõn thờm c h s a vo v phi Ta tip tc cng BT: Du "=" xy v ch Khi ú Gi s ó cú tha du "=", tc l: (1) Khi ú theo (1) tỡm c GTNN ca F l Ln ny, tụi phỏt trin bi toỏn theo hng tng dn s m trỏnh phc tp, tụi cho cỏc h s bng "Cho Tỡm GTNN ca " p dng BT Cụ-si cho s dng: Cng BT: Du "=" xy v ch khi: Khi ú (2) Gi s tn ti Thay vo (2) ta cú du bng xy ra, vy thỡ: , t c x = y = Khụng dng li vic phỏt trin h s, tụi nõng bi toỏn lờn vi s m, s n, tụi tỡm c li gii cho cỏc bi toỏn sau Bi toỏn 1: "Cho p dng BT Cụ-si: Tỡm GTNN ca " Cng BT vo: Su tm v tng hp: Lc Phỳ a - Vit Trỡ Phỳ Th 10/24/2011 - Tr: 103 Tng hp cỏc phng phỏp chng minh Bt ng thc Dỏu "=" xy v ch khi: Khi ú Khi ú Gi s tn ti tha du "=", ú: t c Bi toỏn 2: "Cho p dng BT Cụ-si: Tỡm GTNN ca " Cng BT vo: Du "=" xy v ch Tip tc lm tng t nh cỏc bi trờn, ta thu c kt qu: t c Bi toỏn 3: "Cho p dng BT Cụ-si cho n s hng: Tỡm GTNN ca (m s hng (m s hng " , (n - m) s hng , (n - m) s hng ) ) Cng BT: Tip tc lm tng t nh cỏc bi trờn, ta thu c kt qu: t c Xin phộp c kt thỳc bi vit õy Chỳc cỏc bn tỡm thờm c nhiu m rng thỳ v Su tm v tng hp: Lc Phỳ a - Vit Trỡ Phỳ Th 10/24/2011 - Tr: 104 Tng hp cỏc phng phỏp chng minh Bt ng thc / Phng phỏp o hm: C s ca phng phỏp ny: Ch yu l dựng o hm kho sỏt chiu bin thiờn ca hm s v da vo iu y cựng vi cỏc giỏ tr c bit trờn xỏc nh ca hm s suy kt qu Ví dụ 1: Cho x, y > v x + y = Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P= x y y x (Đề thi vào Khối PTCT - ĐHKHTN Hà Nội) Li gii Theo BĐT Cauchy, ta có: 00 Suy P Dấu xảy x=y=z=1 2 Vậy minP= x=y=z=1 3cos4 x sin x Ví dụ : Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y= 3sin x cos2 x (ĐHSP Hà Nội Khối A- Năm 2001) Lời giải Đặt sin x t, t [0; 1], ta được: 3(1-t)2 4t 3t 2t y= 3t 2(1 t) 3t 2t 3t 2t 6t y/ , y / t= [0; 1] (3t 2t 2) Ta có bảng biến thiên sau: t y + - Su tm v tng hp: Lc Phỳ a - Vit Trỡ Phỳ Th 10/24/2011 - Tr: 106 Tng hp cỏc phng phỏp chng minh Bt ng thc y Vậy maxy= , Bài tập: 4 miny= Bài 1: Cho số x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện x 0, y x + y = Hãy tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = 3x + 3y (ĐH Ngoại thương Khối D - Năm 1999) Bài : Cho số x, y thỏa mãn: x 0, y x+y=1 Hãy tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P= x y y+1 x (Học viện Quan hệ Quốc tế - Năm 1999) Bài : Tìm giá trị nhỏ của: x y2 x y x4 y4 f(x; y)= , với x, y y x y x y x (Học viện Quân Y - Năm 2001) Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = sin20x + cos20x (ĐH Luật Hà Nội - Năm 1999) Bài : Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: y=2(1+sin2x.cos4x)- (cos 4x cos8x) (ĐH Dược Hà Nội - Năm 2001) 2/ Dựng Bt ng thc gii phng trỡnh v h phng trỡnh Vớ d 1:Gii phng trỡnh: x x 19 x 10 x 14 x x Gii : Ta cú x x 19 3.( x x 1) 16 3.( x 1) 16 16 x 10 x 14 x Vy x x 19 x 10 x 14 Du ( = ) xy x+1 = x = -1 Vy x x 19 x 10 x 14 x x Vy phng trỡnh cú nghim nht x = -1 x = -1 Vớ d 2: Gii phng trỡnh x x y y Gii : ỏp dng BT BunhiaCpski ta cú : x x 12 12 x x 2 Du (=) xy x = Mt khỏc y y y Du (=) xy y = Vy x x y y x =1 v y =- Su tm v tng hp: Lc Phỳ a - Vit Trỡ Phỳ Th 2 10/24/2011 - Tr: 107 Tng hp cỏc phng phỏp chng minh Bt ng thc x Vy nghim ca phng trỡnh l y x y z Vớ d 3:Gii h phng trỡnh sau: 4 x y z xyz Gii: ỏp dng BT Cụsi ta cú x4 y y z z x4 x4 y4 z4 x2 y y z z x2 2 x2 y y z z y z z x2 z y x2 2 y xz z xy x yz xyz.( x y z ) Vỡ x+y+z = 1) Nờn x y z xyz Du (=) xy x = y = z = x y z 1 Vy cú nghim x = y = z = 4 x y z xyz xy y Vớ d 4: Gii h phng trỡnh sau xy x T phng trỡnh (1) y hay y T phng trỡnh (2) (1) (2) x2 x y 2 x x 2 x 22 ( x 2) x x Nu x = thỡ y = 2 Nu x = - thỡ y = -2 x x 2 v y y 2 3/ Dựng BT gii phng trỡnh nghim nguyờn Vy h phng trỡnh cú nghim Vớ d 1: Tỡm cỏc s nguyờn x,y,z tho x y z xy y z Gii: Vỡ x,y,z l cỏc s nguyờn nờn x y z xy y z y2 3y2 x y z xy y z x xy 3y z2 2z 2 y y x z 2 y y M x z (*) x, y R y y x z Su tm v tng hp: Lc Phỳ a - Vit Trỡ Phỳ Th 10/24/2011 - Tr: 108 Tng hp cỏc phng phỏp chng minh Bt ng thc y x x y y 2 z z x Cỏc s x,y,z phi tỡm l y z Vớ d 2: Tỡm nghim nguyờn dng ca phng trỡnh Gii: Khụng mt tớnh tng quỏt ta gi s 1 Ta cú z x y z z 1 x y z x yz M z nguyờn dng vy z = Thay z = vo phng trỡnh ta c Theo gi s x y nờn = 1 x y 1 y m y nguyờn dng x y y Nờn y = hoc y = Vi y = khụng thớch hp Vi y = ta cú x = Vy (2 ,2,1) l mt nghim ca phng trỡnh Hoỏn v cỏc s trờn ta c cỏc nghim ca phng trỡnh l (2,2,1);(2,1,2); (1,2,2) Vớ d 3:Tỡm cỏc cp s nguyờn tho phng trỡnh Gii: (*) Vi x < , y < thỡ phng trỡnh khụng cú ngha (*) Vi x > , y > Ta cú x x y (*) x x y x x y2 x y2 x t x k (k nguyờn dng vỡ x nguyờn dng ) Ta cú k (k 1) y Nhng k k k k k y k M gia k v k+1 l hai s nguyờn dng liờn tip khụng tn ti mt s nguyờn dng no c Nờn khụng cú cp s nguyờn dng no tho phng trỡnh x Vy phng trỡnh cú nghim nht l : y Bi tp: a b c 1 bc ac ab a b c HD : Chuyn v quy ng mu a v tng bỡnh phng cỏc ng thc 1 1 Bi 2:Chng minh bt ng thc : (n N *) 2 3 n(n 1) Bi 1:Chng minh rng vi mi a,b,c > : Su tm v tng hp: Lc Phỳ a - Vit Trỡ Phỳ Th 10/24/2011 - Tr: 109 Tng hp cỏc phng phỏp chng minh Bt ng thc HD: 1 k (k 1) k k Bi 3: Cho a, b c > v a + b + c Cmr : 64 a b c HD : p dng bt ng thc Cụsi cho , , a b c Bi : Cho a c 0, b c Cmr : c(a c) c(b c) ab c ac c bc , , ri cng hai v theo v b a a b a2 b2 Bi 5: Cho a, b >1 Tỡm GTNN ca S = b a a2 b2 HD : p dng bt ng thc Cụsi cho , v xột trng hp du = xy b a x 12 x Bi : Tỡm GTLN v GTNN ca y = (1 x ) HD: t x= tg , , 2 15 25 Bi 10: Cho 36x 16 y Cmr : y 2x 4 x cos HD: t : y sin x Bi 11: Cmr : x (1 x ), x 1,1 HD : t x = sin , , 4 Bi 12: Cho a, b 0, c Chng minh rng: a b c a b b c c a Bi 13: Cho ABC cú a, b, c l di cỏc cnh Chng minh rng: a b(a b) b c(b c) c a (c a ) HD : p dng bt ng thc Cụsi cho n n Bi 14: Cho n ,1 n, a, b Chng minh rng a b a b n n Bi 15: n ,2 n Chng minh rng: n tg x Bi 16: Cú tn ti x R cho: 3? tgx Bi 17: Cho ABC cú din tớch bng (n v din tớch) Trờn cỏc cnh BC, CA, AB ly ln lc cỏc im A, B, C Chng minh rng: Trong tt c cỏc tam giỏc ABC, ABC, ABC cú ớt nht din tớch nh hn hay bng 1(n v din tớch) ======================================================= Su tm v tng hp: Lc Phỳ a - Vit Trỡ Phỳ Th 10/24/2011 - Tr: 110 [...]... dương bất kì thỏa mãn điều kiện a+b+c=0 8a 8 b 8 c 2 a 2 b 2 c Chứng minh rằng: (ĐHQG Hà Nội K A - 2000) Bài 5 : Chứng minh rằng với mọi x, y >0 ta có: 2 9 y (1+x) 1+ 1 256 Đẳng thức xảy ra khi nào? y x (Đề DB KA - 2005) 3 Bài 6 : Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn: a+b+c= Chứng minh rằng : 4 3 3 3 a+3b b 3c c 3a 3 (Đề DB 1 K B- 2005) Khi nào đẳng thức xảy ra? Bài 7 : Chứng minh. .. là ba số dương bất kì Chứng minh rằng: (1+a 3 )(1+b 3 )(1+c 3 ) (1+ab 2 )(1+bc2 )(1+ca 2 ) (ĐH Hải Phòng A - 2000) Bài 2 : Chứng minh rằng: với số thực dương bất kì, ta luôn có 3 a 3 a 2 1 a (ĐHDL Phương Đông A - 2000) Su tm v tng hp: Lc Phỳ a - Vit Trỡ Phỳ Th 10/24/2011 - Tr: 22 Tng hp cỏc phng phỏp chng minh Bt ng thc Bài 3 : Cho ABC có ba cạnh là a, b, c và p là nửa chu vi Chứng minh rằng: 1... và (2) ta suy ra: (l b l c ) (l c l a ) l a l b 3 3; Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC đều a b c ** Chú ý: Ta có thể giải bài toán này bằng cách sử dụng BĐT Cauchy hoặc dùng phương pháp đạo hàm kết hợp với BĐT Jensen Bài tập Bài 1 : Chứng minh: a-1 b 1 c 1 c(ab 1), với mọi số thực dương a, b, c 1 Bài 2 : Cho x, y, z>0 Chứng minh: xyz(x+y+z+ x 2 y 2 z 2 ) 3 3 2 2 2 2 2 2 2 (x y ... xy 3 yz 3 zx 3 3 ; (4) Cộng các vế tương ứng của (1), (2), (3) và (4) ta có đpcm Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1 Ví dụ 7 : Cho x, y, z là ba số thỏa mãn x + y + z = 0 Chứng minh rằng : 3 + 4 x 3 4 y 3 4 z 6 (Đề db KA -2005) Lời giải Su tm v tng hp: Lc Phỳ a - Vit Trỡ Phỳ Th 10/24/2011 - Tr: 15 Tng hp cỏc phng phỏp chng minh Bt ng thc á p dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: 3+4 x 1 1... = c á p dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương, ta có: Su tm v tng hp: Lc Phỳ a - Vit Trỡ Phỳ Th 10/24/2011 - Tr: 11 Tng hp cỏc phng phỏp chng minh Bt ng thc Ví dụ 7 : Cho a>b>0 Chứng minh: a+ 1 2 2 b(a-b)2 Li gii á p dụng bất đẳng thức Cauchy cho bốn số dương, ta có: 1 ab ab 1 ab ab 1 b 4 4 b 2 2 2 2 b(a-b) 2 2 b(a-b) 2 2 b(a-b)2 Ví dụ 8 : Cho a, b, c, d > 0 Chứng minh: a+ (H TLi 1997)... phỏp chng minh Bt ng thc á p dụng (1), ta được: 1 1 1 1 1 1 2 2 2 x y z xy yz zx (2) á p dụng BĐT Cauchy cho các mẫu số, ta được: 2 y 2 y 2 x 2 z 2 x 2 z 3 2 3 + + = 3 2 2 3 2 3 2 x y y z z x 2 xy 2 yz 2 z 3x 2 = 1 1 1 1 1 1 2 2 2 (đpcm) xy yz zx x y z Ví dụ 4 : Chứng minh rằng với a, b là hai số không âm bất kì, ta luôn có: 3a 3 17b 3 18ab 2 (H KTQD - 1997) Li gii á p dụng bất đẳng thức Cauchy... 3+4 x 1 1 1 4 x 4 4 4 x 3+4 x 2 4 4x 2 8 4x Tương tự, ta có: 3+4 y 2 8 4 y 3+4 z 2 8 4 z Cộng các vế tương ứng của ba bất đẳng thức trên, ta được: 3+4 x 3+4 y 3+4 z 2 8 4 x 8 4 y 8 4 z 2.3 3 8 4 x.4 y.4 z 6 24 4 x y z 6 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=0 Ví dụ 8: Chứng minh rằng với mọi x, y, z dương và x + y + z = 1 thì 18xyz (H Tõy Nguyờn KA, B-2000) xy+yz+zx> 2+xyz Li... Trỡ Phỳ Th 10/24/2011 - Tr: 26 Tng hp cỏc phng phỏp chng minh Bt ng thc Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi p-a pb pc abc 1 1 1 Vớ d 9:Chng minh rng vi cỏc s dng a,b,c ta u cú : Li gii: Ycbt (yờu cu bi toỏn) p dng BT (1) c: suy ra PCM *** Trng hp 2: Cỏc bin b rng buc Ví dụ 1 : Với a, b, c là ba số dương thỏa mãn đẳng thức ab+bc+ca=abc Chứng minh rằng: b 2 2a 2 c2 2b 2 a 2 2c2 3 ab bc ca Lời giải... z 1 Tương tự ta có: ; 2 2 2 1 z 2 1+y Ta có: Cộng các vế tương ứng của ba bất đẳng thức trên, ta được: x y z 3 2 2 2 2 1+x 1 y 1 z (1) (Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1) Mặt khác, áp dụngB ĐT Cauchy cho ba số dương, ta được: 1 1 1 1 1 3 3 3 (Do x+y+z 3) 3 (1 x)(1 y)(1 z) 1 x 1 y 1 z 2 1+x 1 y 1 z 3 3 1 1 1 ; (2) ; Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1 2 1+x 1 y 1 z K... x2 y2 z2 3 xyz (x y z) 1+y 1+z 1+x 4 4 3(x y z) 3 4 4 3 3 3 3 3 3 3 x.y.z 3 (Do x.y.z=1) 4 4 4 4 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1 Ví dụ 6 : Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xyz=1 1+x 3 y 3 1 y3 z3 1+z 3 x 3 3 3 xy yz zx Chứng minh rằng: Khi nào đẳng thức xảy ra? (ĐH, CĐ Khối D-2005) Lời giải áp dụng BĐT Cauchy cho ba số dương, ta có: 1+x y 3 1.x 3 y3 3xy 3 3 3 1+x ... đổi bất đẳng thức cần chứng minh đến bất đẳng thức hay tính chất sử dụng bất đẳng thức biến đổi dẫn đến bất đẳng thức cần chứng minh ; Lu ý dựng hng bt ng thc M vi M ) Túm li cỏc bc chng minh. .. đề cho áp dụng công thức sau đây: 1) a b a b Đẳng thức xảy a, b phương 2) a b c a b c 3) a.b a b Đẳng thức xảy a, b phương 4) a.b a b Đẳng thức xảy a, b hướng... c l a ) l a l b 3; Đẳng thức xảy ABC a b c ** Chú ý: Ta giải toán cách sử dụng BĐT Cauchy dùng phương pháp đạo hàm kết hợp với BĐT Jensen Bài tập Bài : Chứng minh: a-1 b c c(ab 1),