CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN II DÃY SỐ CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN C H Ư Ơ N BÀI 6: CẤP SỐ CỘNG I LÝ THUYẾT = = = NGHĨA ĐỊNH I Cấp số cộng dãy số (hữu hạn vô hạn), kể từ số hạng thứ hai, số hạng số hạng đứng trước cộng với số không đổi d Số không đổi d gọi công sai cấp số cộng Đặc biệt, d 0 cấp số cộng dãy số không đổi (tất số hạng nhau) Nhận xét: Từ định nghĩa, ta có: 1) Nếu un cấp số cộng với cơng sai d , ta có cơng thức truy hồi un 1 un d , n * 1 2) Cấp số cộng un dãy số tăng công sai d 3) Cấp số cộng un dãy số giảm công sai d NHẬN XÉT u Để chứng minh dãy số n cấp số cộng, cần chứng minh un1 un số với số nguyên dương n VÍ DỤ = = =1 Chứng minh dãy số hữu hạn sau cấp số cộng: Ví dụ I Lời giải Vì 3; 13 10 3; 1 3; 16 13 3; 4 3; 2;1;4;7;10;13;16;19 10 7 3; 19 16 Nên theo định nghĩa cấp số cộng, dãy số 2;1;4;7;10;13;16;19 cấp số cộng với công sai d 3 Page 73 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Ví dụ Trong dãy số đây, dãy số cấp số cộng? Tìm số hạng đầu cơng sai a a) Dãy số n , với 3n an 4n b) Dãy số bn , với bn Lời giải an1 4 n 1 4n a) Ta có Do an Suy bn an1 an 4n 1 4n 3 4, n 1 cấp số cộng với số hạng đầu a1 1 công sai d 4 bn1 b) Ta có nên n 1 3n 3n 3n bn1 bn , n 1 4 4 nên cấp số cộng với số hạng đầu b1 u Ví dụ Cho cấp số cộng n d cơng sai có số hạng với số hạng đầu khai triển cấp số cộng u1 d cơng sai Viết dạng Lời giải Ta có u2 u1 d u5 u4 d 10 u4 u3 d u u d 2 3; 3 ; 14 22 u7 u6 d u u d ; ; u Vậy dạng khai triển cấp số cộng n 2 10 14 22 ; ; 2; ; ; 6; 3 3 SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA CẤP SỐ CỘNG Nếu cấp số cộng un có số hạng đầu u1 cơng sai d số hạng tổng quát un xác định công thức: un u1 n 1 d , n 2 (2) NHẬN XÉT Từ kết định lý 1, ta rút nhận xét sau: Cho cấp số cộng un biết hai số hạng up uq số hạng đầu cơng sai tính theo cơng thức: d = = = I u p uq (1): p q (2): u1 u p p 1 d VÍ DỤ Cho cấp số cộng un có u1 2 d a) Tìm u20 Page 74 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN b) Số 2018 số hạng thứ cấp số cộng? Lời giải u u1 19d 2 19 93 a) Ta có u20 u1 (20 1)d 2 19.( 5) 93 20 b) Số hạng tổng quát cấp số cộng un u1 n 1 d 7 5n Vì un 2018 nên 5n 2018 n 405 Do n 405 số nguyên dương nên số 2018 số hạng thứ 405 cấp số cộng cho Chú ý : Trong cấp số cộng un , số hạng (trừ số hạng đầu cuối) trung bình cộng hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa uk uk uk 1 với k 2 (3) NHẬN XÉT Một cách tổng quát, ta có: u Nếu n = = = I cấp số cộng up u p k u p k , k p VÍ DỤ a) Cho cấp số cộng un có u99 101 u101 99 Tìm u100 2 b) Cho cấp số cộng 2; x;6; y Tính giá trị biểu thức P x y Lời giải a) Theo tính chất cấp số cộng, ta có b) Theo tính chất cấp số cộng, ta có Vì x 2 nên y 10 u100 x u99 u101 nên u100 100 26 x y 2 6 2 2 2 2 2 Vậy P x y 2 10 104 P x y 2 10 104 TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA CẤP SỐ CỘNG Cho cấp số cộng Sn = = = I un có số hạng đầu u1 cơng sai d Đặt S n u1 u2 un Khi đó: n u1 un n n 1 d S n nu1 2 (4) (5) VÍ DỤ Cho cấp số cộng un có u1 d 3 Page 75 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN a) Tính tổng 25 số hạng cấp số cộng b) Biết S n 6095374 , tìm n Lời giải n n n 3n n n 1 d 2n 2 2 Ta có S n nu1 a) Ta có S 25 25 3.25 25(3.25 7) 850 S 25 850 2 n 3n 6095374 3n n 12190748 0 S 6095374 b) Vì n nên Giải phương trình bậc hai với n nguyên dương, ta tìm n 2017 II = = = I 1: Câu HỆ THỐNG B À I TẬP TỰ LU u Cho cấp số cộng n có u1 ẬN , u8 26 Tìm cơng sai d Câu 2: Cho dãy số dãy số un un cấp số cộng có u1 3 công sai d 4 Biết tổng n số hạng đầu S n 253 Tìm n Câu 3: ( u ) u1 = , u8 = 26 Tìm cơng sai Cho cấp số cộng n có Câu 4: Một gia đình cần khoan giếng để lấy nước Họ thuê đội khoan giếng nước Biết giá mét khoan 80.000 đồng, kể từ mét khoan thứ hai giá mét khoan tăng thêm 5.000 đồng so với giá mét khoan trước Biết cần phải khoan sâu xuống 50m có nước Hỏi phải trả tiền để khoan giếng đó? Page 76 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Câu 5: Cho cấp số cộng un có số hạng tổng quát un 3n Tìm cơng sai d cấp số cộng Câu 6: Cho cấp số cộng un có u1 , u6 27 Tính cơng sai d Câu 7: Cho cấp số cộng un có u1 , u6 27 Tính cơng sai d Câu 8: Cho cấp số cộng un có u1 5 tổng 50 số hạng đầu 5150 Tìm cơng thức số hạng tổng quát un Câu 9: Cho cấp số cộng un thỏa mãn u4 10 u4 u6 26 có công sai Câu 10: Cho cấp số cộng un có u5 15 , u20 60 Tổng 10 số hạng cấp số cộng Page 77 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Câu 11: Cho cấp số cộng un có u4 12 , u14 18 Tính tổng 16 số hạng cấp số cộng Câu 12: Trong hội chợ tết Mậu Tuất 2018 , công ty sữa muốn xếp 900 hộp sữa theo số lượng , , , từ xuống (số hộp sữa hàng xếp từ xuống số lẻ liên tiếp - mơ hình bên) Hàng có hộp sữa? Lời giải Câu 13: Người ta trồng 465 khu vườn hình tam giác sau: Hàng thứ có cây, hàng thứ hai có cây, hàng thứ ba có cây….Số hàng khu vườn Page 78 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Câu 14: Cho cấp số cộng hạng un un có u1 3 cơng sai d 7 Hỏi kể từ số hạng thứ trở số lớn 2018 ? Câu 15: Bốn số tạo thành cấp số cộng có tổng 28 tổng bình phương chúng 276 Tích bốn số : Câu 16: Chu vi đa giác 158cm , số đo cạnh lập thành cấp số cộng với công sai d 3cm Biết cạnh lớn 44cm Số cạnh đa giác là? Câu 17: Cho cấp số cộng số cộng un biết u5 18 Sn S2 n Tìm số hạng u1 công sai d cấp Page 79 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Câu 18: Biết bốn số ; x ; 15 ; y theo thứ tự lập thành cấp số cộng Giá trị biểu thức x y Câu 19: Cho cấp số cộng un , biết u1 , d 2 Số 81 số hạng thứ bao nhiêu? Câu 20: Cho cấp số cộng có tổng n số hạng đầu S n 3n 4n , n * Giá trị số hạng thứ 10 cấp số cộng * Câu 21: Cho cấp số cộng có tổng n số hạng đầu S n 4n 3n , n số hạng thứ 10 cấp số cộng * Câu 22: Cho cấp số cộng có tổng n số hạng đầu S n 4n 3n , n số hạng thứ 10 cấp số cộng Câu 23: Người ta viết thêm 999 số thực vào số số 2018 để cấp số cộng có 1001 số hạng Tìm số hạng thứ 501 Page 80 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Câu 24: Cho cấp số cộng có u1 1 công sai d Tổng n số hạng cấp số cộng S n 9800 Giá trị n Page 81 Sưu tầm biên soạn