Toan 11 c2 b6 1 cap so cong tu luan de

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN II DÃY SỐ CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN C H Ư Ơ N BÀI 6: CẤP SỐ CỘNG I LÝ THUYẾT = = = NGHĨA ĐỊNH I Cấp số cộng dãy số (hữu hạn vô hạn), kể từ số hạng thứ hai, số hạng số hạng đứng trước cộng với số không đổi d Số không đổi d gọi công sai cấp số cộng Đặc biệt, d 0 cấp số cộng dãy số không đổi (tất số hạng nhau) Nhận xét: Từ định nghĩa, ta có: 1) Nếu  un  cấp số cộng với cơng sai d , ta có cơng thức truy hồi un 1 un  d , n  *  1 2) Cấp số cộng  un  dãy số tăng công sai d  3) Cấp số cộng  un  dãy số giảm công sai d  NHẬN XÉT u  Để chứng minh dãy số n cấp số cộng, cần chứng minh un1  un số với số nguyên dương n VÍ DỤ = = =1 Chứng minh dãy số hữu hạn sau cấp số cộng: Ví dụ I Lời giải Vì   3; 13 10  3; 1  3; 16 13  3; 4  3;  2;1;4;7;10;13;16;19 10 7  3; 19 16  Nên theo định nghĩa cấp số cộng, dãy số  2;1;4;7;10;13;16;19 cấp số cộng với cơng sai d 3 Ví dụ Trong dãy số đây, dãy số cấp số cộng? Tìm số hạng đầu cơng sai Page 30 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN a a) Dãy số  n  , với  3n an 4n  b) Dãy số  bn  , với bn  Lời giải an1 4  n  1  4n  a) Ta có Do  an  b  Suy n an1  an  4n  1   4n  3 4, n 1 cấp số cộng với số hạng đầu a1 1 công sai d 4 bn1  b) Ta có nên   n  1   3n   3n  3n  bn1  bn    , n 1 4 4 nên cấp số cộng với số hạng đầu b1  u  Ví dụ Cho cấp số cộng n d  cơng sai có số hạng với số hạng đầu khai triển cấp số cộng u1  d  cơng sai Viết dạng Lời giải Ta có u2 u1  d  u5 u4  d  10 u4 u3  d  u  u  d  2 3; 3 ; 14 22 u7 u6  d  u  u  d  ; ; u  Vậy dạng khai triển cấp số cộng n 2 10 14 22 ;  ;  2;  ; ;  6;  3 3 SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA CẤP SỐ CỘNG Nếu cấp số cộng  un  có số hạng đầu u1 cơng sai d số hạng tổng quát un xác định công thức: un u1   n  1 d , n 2 (2) NHẬN XÉT Từ kết định lý 1, ta rút nhận xét sau: Cho cấp số cộng  un  biết hai số hạng up uq số hạng đầu cơng sai tính theo cơng thức: d = = = I u p  uq (1): p q (2): u1 u p   p  1 d VÍ DỤ Cho cấp số cộng  un  có u1 2 d  a) Tìm u20 b) Số  2018 số hạng thứ cấp số cộng? Page 31 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Lời giải u u1  19d 2  19     93 a) Ta có u20 u1  (20  1)d 2  19.( 5)  93 20 b) Số hạng tổng quát cấp số cộng un u1   n  1 d 7  5n Vì un  2018 nên  5n  2018  n 405 Do n 405 số nguyên dương nên số  2018 số hạng thứ 405 cấp số cộng cho Chú ý : Trong cấp số cộng  un  , số hạng (trừ số hạng đầu cuối) trung bình cộng hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa uk  uk   uk 1 với k 2 (3) NHẬN XÉT Một cách tổng quát, ta có: Nếu = = = I  un  cấp số cộng up  u p  k  u p k , k  p VÍ DỤ a) Cho cấp số cộng  un  có u99 101 u101 99 Tìm u100 2 b) Cho cấp số cộng  2; x;6; y Tính giá trị biểu thức P  x  y Lời giải a) Theo tính chất cấp số cộng, ta có b) Theo tính chất cấp số cộng, ta có Vì x 2 nên y 10 u100  x u99  u101 nên u100 100  26 x y 2 6 2 2 2 2 2 Vậy P  x  y 2  10 104 P  x  y 2  10 104 TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA CẤP SỐ CỘNG Cho cấp số cộng Sn  = = = I  un  có số hạng đầu u1 cơng sai d Đặt S n u1  u2   un Khi đó: n  u1  un  n  n  1 d S n nu1  2 (4) (5) VÍ DỤ Cho cấp số cộng  un  có u1  d 3 a) Tính tổng 25 số hạng cấp số cộng b) Biết S n 6095374 , tìm n Page 32 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Lời giải  n  n  n  3n   n  n  1 S n nu1  d  2n   2 Ta có a) Ta có S 25  25  3.25   25(3.25  7) 850 S 25  850 2 n  3n   6095374  3n  n  12190748 0 S  6095374 b) Vì n nên Giải phương trình bậc hai với n nguyên dương, ta tìm n 2017 II = = = I 1: Câu Cho cấp số cộng Câu 2: Cho dãy số HỆ THỐNG B À dãy số  un   un  I TẬP TỰ LU  un  có u1  ẬN , u8 26 Tìm cơng sai d cấp số cộng có u1 3 cơng sai d 4 Biết tổng n số hạng đầu S n 253 Tìm n Câu 3: Câu 4: ( u ) u1 = , u8 = 26 Tìm cơng sai Cho cấp số cộng n có Một gia đình cần khoan giếng để lấy nước Họ thuê đội khoan giếng nước Biết giá mét khoan 80.000 đồng, kể từ mét khoan thứ hai giá mét khoan tăng thêm 5.000 đồng so với giá mét khoan trước Biết cần phải khoan sâu xuống 50m có nước Hỏi phải trả tiền để khoan giếng đó? Câu 5: Cho cấp số cộng  un  có số hạng tổng quát un 3n  Tìm cơng sai d cấp số cộng Câu 6: Cho cấp số cộng  un  có u1  , u6 27 Tính cơng sai d Câu 7: Cho cấp số cộng  un  có u1  , u6 27 Tính công sai d Câu 8: Cho cấp số cộng  un  có u1 5 tổng 50 số hạng đầu 5150 Tìm cơng thức số hạng tổng quát un u4 10  u4  u6 26 Cho cấp số cộng  un  thỏa mãn Câu 10: Cho cấp số cộng  un  có u5  15 , u20 60 Tổng 10 số hạng cấp số cộng Câu 9: Câu 11: Cho cấp số cộng  un  có cơng sai có u4  12 , u14 18 Tính tổng 16 số hạng cấp số cộng Page 33 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Câu 12: Trong hội chợ tết Mậu Tuất 2018 , công ty sữa muốn xếp 900 hộp sữa theo số lượng , , , từ xuống (số hộp sữa hàng xếp từ xuống số lẻ liên tiếp - mơ hình bên) Hàng có hộp sữa? Câu 13: Người ta trồng 465 khu vườn hình tam giác sau: Hàng thứ có cây, hàng thứ hai có cây, hàng thứ ba có cây….Số hàng khu vườn Câu 14: Cho cấp số cộng hạng  un   un  có u1 3 công sai d 7 Hỏi kể từ số hạng thứ trở số lớn 2018 ? Câu 15: Bốn số tạo thành cấp số cộng có tổng 28 tổng bình phương chúng 276 Tích bốn số : Câu 16: Chu vi đa giác 158cm , số đo cạnh lập thành cấp số cộng với cơng sai d 3cm Biết cạnh lớn 44cm Số cạnh đa giác là? Câu 17: Cho cấp số cộng số cộng  un  biết u5 18 Sn S2 n Tìm số hạng u1 công sai d cấp Câu 18: Biết bốn số ; x ; 15 ; y theo thứ tự lập thành cấp số cộng Giá trị biểu thức x  y Câu 19: Cho cấp số cộng  un  , biết u1  , d 2 Số 81 số hạng thứ bao nhiêu? Câu 20: Cho cấp số cộng có tổng n số hạng đầu S n 3n  4n , n   * Giá trị số hạng thứ 10 cấp số cộng * Câu 21: Cho cấp số cộng có tổng n số hạng đầu S n 4n  3n , n   số hạng thứ 10 cấp số cộng * Câu 22: Cho cấp số cộng có tổng n số hạng đầu S n 4n  3n , n   số hạng thứ 10 cấp số cộng Câu 23: Người ta viết thêm 999 số thực vào số số 2018 để cấp số cộng có 1001 số hạng Tìm số hạng thứ 501 Câu 24: Cho cấp số cộng có u1 1 công sai d  Tổng n số hạng cấp số cộng S n  9800 Giá trị n Page 34 Sưu tầm biên soạn