Toan 11 c6 b2 1 phep tinh logarit tu luan hdg

C H Ư Ơ N CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN – 11 – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT V I HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT BÀI 2: PHÉP TÍNH LOGARIT LÝ THUYẾT I = = KHÁI = NIỆM LOGARIT I Cho hai số thực dương a, b với a 1 Số thực  để a b được gọi là logarit số a của b và kí hiệu là log a b , nghĩa là  log a b  a b Chú ý:  Khơng có logarit số và số âm a  0,  a    a 1 b  log a b xác định  Theo định nghĩa logarit, ta có: 1) log a 0 2) log a a 1 3) log a a b b 4) a log a b b TÍNH LOGARIT BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY TÍNH CHẤT CỦA PHÉP TÍNH LOGARIT Với  a 1; M , N  0;    , đó: 1) log a  M N  log a M  log a N M 2) log a  N 3) log a M    log a M  log a N   log a M Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN – 11 – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT CÔNG THỨC ĐỔI CƠ SỐ II = = =I Câu 1: HỆ THỐNG BÀI T Ậ  8 Tính P TỰ LUẬN log 243 Lời giải  8 Ta có: Câu 2: 8 log 35  8log  2log  33 27 Cho số thực  a 1 Tính giá trị biểu thức log Câu 3: log 243 a  log a a 23 a Lời giải  13   73  14 23 a a log  a a  log  a    a2  a2    12   1 P log a   a  Cho a  , a 1 Tính giá trị biểu thức Lời giải   P log a   log a   log a a  a3 a   Tự luận :   log a    a  vào máy  Trắc nghiệm : Sử dụng máy tính, thay a 2 nhập biểu thức bấm = ta được kết P  Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN – 11 – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT Câu 4: log b  log a  5 Tính giá trị biểu thức Xét số thực dương a, b thỏa mãn và I 2 log  log  5a    log b3 Lời giải Ta có: Câu 5: I 2 log  log5  5a    log b3 2 log   log a   log b 2 log  2  1 2 log  4a  Cho số thực dương a khác Tính giá trị biểu thức Lời giải Ta có Câu 6: log  4a  log  log a 2  log a Tính giá trị biểu thức a 1 P log a b3  log a3 b a, b là số thực dương tùy ý và Lời giải P log a b  log a3 b 3log a b  log a b 5.log a b Ta có: Câu 7: Tính giá trị biểu thức P log  log Lời giải Ta có Câu 8: P log  log log 23  log 32 3log 2  log 3 3  7 32  a3 c  P log a    b ? Cho log a b 3, log a c  Khi đó, tính giá trị biểu thức Lời giải  a3 c  P log a   log a a3 c  log a b log a a  log a c  log a b 3  log a c  log a b  b  3  Câu 9:     2.3  1   2022 log a log b a , b b a a  b  Cho số thực thỏa mãn và Tính giá trị biểu thức P 1  log ab b log ab a Lời giải Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN – 11 – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT 1   2022  log a b  log b a  2022 (*) log a log b b a  P  1  log b ( ab)  log a (ab) log b a  log a b log ab b log ab a  Đặt t log a b (*) trở thành: t   2022  t  t  2022  2018  P   t  2018 t  t 2022t  0    2022  2018  P   t  2018  t t  1  t     P   t   P  2018 a  b    log b  a t t  nên log x log y 16 Câu 10: Cho số thực dương x 1, y 1 thỏa mãn và tích xy 64 Tính giá trị y   log  x biểu thức  Lời giải t  x 2 t  x 2    t  4log y t log y    log x log y 16 t  Đặt Suy t Ta có xy 64  2t.2 26  t   x 2   y 2 t t a ab  16  4 t     t  t    16 62  16 20 t t   Câu 11: Gọi a, b là số thực lớn cho biểu thức P log t 6 t y  4  log   log y  log x    x t Ta có  Tính giá trị biểu thức  x 2   4 log y  t   T  log a b  log b a đạt giá trị nhỏ Lời giải log a b  Khi đó: Do a, b lớn nên   T  log a b  log b a 27 log 3a b  T 4 27 log 3a b Do 1   3log a b 3log a b 3log a b 1 4 3log a b 3log a b 3log a b log a b   a b3 Dấu xảy Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN – 11 – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT Khi P log a ab log b3 b log ( a b ) 3a Giá trị ab Câu 12: Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn Lời giải 2 Ta có 4log2 ( a b ) 3a   a b  3a  ab 3 log  3a  Câu 13: Với mọi số thực a dương thoả mãn log a 5 Khi Lời giải log  3a  log 3  log a 1  log a 6 Câu 14: Cho log a Hãy tính log theo a Lời giải 1 log log 32 a  log   2 log 2a Ta có: Câu 15: Biết a log , b log3 Tính log theo a và b Lời giải Ta có log log 3.log ab Câu 16: Cho x, y là hai số thực dương, x 1 thỏa mãn log x y 2y , log 25 x  y Tính giá trị P  y  x2 Lời giải 2y  2y   y 25  y 5 log x y  log x y        1 log 25 x  log 25  y log 25 x  y log 25 x    x 2y Ta có:   y 5   x 5 2 Vậy P  y  x  25 Câu 17: Cho log a , log b Khi log15 bằng: Lời giải log15  Ta có: 1 3     log8 15 log 23  3.5  log  log log  log a  b  2  Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN – 11 – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT Vậy log15  a b Câu 18: Tính log81 25 theo log b : Lời giải log 25 log 52 log81 25   log 81 log 34 Ta có   log 2b log a  a3b  log b  a , b a Câu 19: Với mọi số thỏa mãn: Tính giá trị biểu thức Lời giải  log a b 3  log b 6 log b  a a Từ giả thiết: Khi đó: log a  a 3b  log a a  log a b 3  2log a b 15 Câu 20: Cho log a;log b , log 45 175 Lời giải log 45 175  Ta có log 52.7 b  b a (2  b)    log 5  log  2a a log a b  log a b 2 log a b Câu 21: Cho hai số dương a, b, a 1 , thỏa mãn Tính Lời giải Ta có: log a b  log a b 2  log a b  log a b 2  log a b  Câu 22: Cho log a Giá trị biểu thức P log 12 Lời giải Ta có P log 12 log  6.2  1  log 1  1 2a 1  1   log  log 1 a 1 a Câu 23: Cho a log 5, b log Biểu thức M log 21 Lời giải Ta có M log 21  1  log 21 log  log  1  log log Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN – 11 – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT  log 5.log log  log ab   log 5.log log  log a  b Câu 24: Cho số thực dương a, b thỏa mãn sau đây? log16 a log 20 b log 25 2a  b a Tỉ số b thuộc khoảng nào Lời giải Đặt  a 16 x  2a  b log16 a log 20 b log 25 x  b 20 x  2a  b 3.25 x  x x  16   25  2.16  20 3.25        0  20   20  Suy x x x  x     ( PTVN ) x x 2x x  5  4  5  4  4        0        0   x   5  4  5  5        x a 16 x    x      1;  Vậy b 20   Câu 25: Cho biết a log và b log Tính log 49 theo a và b Lời giải Ta có log 49 49 3  3log 6 log  log 6b  3  2b   8 a a  Câu 26: Đặt a log , log 72 Lời giải Ta có Vậy log 72 log   3log 2  log 2a  log 72     log log  2.3 log 2  log a 1 log 72  2a  a 1 x log x log y log  x  y  Câu 27: Biết x và y là hai số thực thỏa mãn Giá trị y Lời giải Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN – 11 – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT  x 4t 2t  x  2 t log x log y log  x  y  t   y 9    y  3  x  y 6t  Đặt   t     1 loai  2t t  3  2  2 t t t  2.9 6        0    t  3  3    2    Khi đó: 2t x  2   22 4 Suy y   Câu 28: Cho log a, log b,log c Biết nguyên tố Tính A mnpq Ta có log 24 175  mb  nac pc  q với m, n, p, q   và q là số Lời giải log 24 175 log 23.3 log 23.3  log 23.3  2 2    3 log5 log 3.log  log 3log  log Theo giả thiết ta có: c  log  2b log a  log 2a    log b  log 2b  log  2a log c    log  2ac  Suy ra: log 24 175   2ac 2a  c  2b 2b  4ac 2b 4ac  2b     3c 3c 3c 3c c 3 2ac 2b m 2 n 4   mnpq 24  p    Vậy ta có: q 3 Câu 29: Cho ba số thực dương a, b, c khác thoả mãn log a b 2 log b c 4 log c a và a  2b  3c 48 Khi P abc bao nhiêu? Lời giải Do a, b, c khác nên log a b, log b c, log c a khác Ta có: Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN – 11 – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT log a b 2 log b c  log a c.log c b 2 log b c  log a c 2 log b2 c log a b 4 log c a  log a c.log c b 4 log c a  log c b 4 log c2 a 2 Nên log a c.log c b 8logb c.log c a  log a b 8logb a  log a b 8  log a b 2  b a log a b 2 log b c  log a b 2 log a c  b c Mà 16  a    2 a   Ta lại có a  2b  3c 48  a  2a  3a 48  5a  a  48 0 Do a, b, c là số thực dương nên a 3  b c 9 Vậy P abc 243 log a  2log b Câu 30: Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn ab 9 Giá trị biểu thức Lời giải Ta có ab 9  log  ab  log  log a  log b 2  a3  log a2   3 a , b b   a Câu 31: Cho là số thực dương và khác , thỏa mãn Giá trị biểu thức log a b Lời giải  a3   1 3 log a2    log a  log b 3   log a b 6    a a 2  log a b    b  Ta có Câu 32: Cho log a x 2, log b x 3 với a, b là số thực lớn Tính P log a x b2 ? Lời giải Với a, b là số thực lớn và x  0, x 1 , ta có: P log a x  b2 a log x b  log x a  log x b  P 1   2   log a x log b x  74  log a  a b  log b  2022 a , b , c  0, a    a Câu 33: Cho và Tính Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN – 11 – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT Lời giải  74  21 log a  a b  log a a  log a b 6  2022   2022   Ta có: Câu 34: Cho a log 25 ; b log Tính log 49 theo a , b Lời giải 1 a log 25 log 52  log  log 2a b log  log  b Ta có: và log 49 4ab  log 49  log log  log 2 log  3log 2.2 a   b b Câu 35: Cho a, b là số thực dương khác thỏa mãn log a b  Giá trị log  3b b   a   là a  Lời giải  3  3b a3  log b   log    a a2  a  a  a  log b   b  a  a Ta có:   3 1 Câu 36: Cho a,b là số thực dương lớn thỏa mãn log a b 3 Tính gái trị biểu thức a P log a 2b a  3log a 2.log   b Lời giải Ta có: log a b 3  b a a  a   P log a2b a  3log a2 2.log   log a5 a  3log a2 2.log     .log a 2.log 22   b a  a  1 3 3 21   .log a .log a    log a 2.log a    2 5 10 Câu 37: Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn a b 32 Giá trị 3log a  log b Lời giải a 3b 32  log (a 3b ) log 32  log a  log b 5  3log a  2log b 5 Câu 38: Tính giá trị biểu thức: Page 10 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN – 11 – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT P 1    log 2021! log 2021! log 2021 2021! Lời giải P Ta có: 1    log 2021! log 2021! log 2021 2021!  P log 2021!  log 2021!  log 2021! 2021  P log 2021! 2.3 2021 log 2021! 2021! 1 log16 a log a2 b log b Câu 39: Cho số dương a, b khác cho Tính giá trị biểu thức b a3 : Lời giải Đặt log16  a 163t a 163t    b a18t  b 1654t 2 bt  54 t a log a b log b t  16   * Từ suy 2216 t  216t 1  t   * b a 4, b 43  1 Suy a Câu 40: Cho x, y là hai số thực dương, x 1 thỏa mãn log x y 2y , log 25 x  y Tính giá trị P  y2  2x2 Lời giải 2y  2y   y 25  y 5 log x y  log x y        1 log 25 x  log 25  y log 25 x  y log 25 x    x 2y  Ta có:   y 5   x 5 2 Vậy P  y  x  25 log x log y 16 Câu 41: Cho số thực dương x 1, y 1 thỏa mãn và tích xy 64 Tính giá trị y   log  x biểu thức  Lời giải Page 11 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN – 11 – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT  x 2    4log y t t Đặt log x log y 16 t Suy Ta có xy 64  2t.2 t 26  t  t t t  x 2  x 2    x 2  4 t  t log y  log  y  y     t   6 t y  4  log   log y  log x    x t Ta có  2 4  16  t     t  t    16 6  16 20 t t   1   2022 log a log b a , b b a a  b  Câu 42: Cho số thực thỏa mãn và Tính giá trị biểu thức P 1  log ab b log ab a Lời giải 1   2022  log a b  log b a  2022 (*) log a log b b a  P  1  logb ( ab)  log a (ab) log b a  log a b log ab b log ab a  Đặt t log a b (*) trở thành: t   2022  t  t  2022  2018  P   t  2018 t  t 2022t  0    2022  2018  P   t  2018  t t   a  b    log a b  nên  t 1  1   P   t   P  2018 t t Câu 43: Cho ba số thực dương a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân và a  b  c 64 Tính giá trị biểu thức P 3log  ab  bc  ca   log  abc  Lời giải Ta có: a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân  ac b P 3log  ab  bc  ca   log  abc  3log  ab  bc  b   log  b.b2    3log b  a  b  c   log  b3  3log 64b  log  b3  log  64b   log b3 Page 12 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN – 11 – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT  b  log b3 log 218.b3 18 b3 log 2 18 10 log a 3, log b 4,log abc  17 Khi Câu 44: Cho a, b , c là ba số thực dương khác và abc 1 Biết giá trị log c bao nhiêu? Lời giải log a 3  log a  Ta có log b 4  log b  10 17 log abc   log abc  17 10 17 1 67 log abc log a  log b  log c  log c log abc  log a  log b     10 60 Khi đó: Vậy: log c  60 67 Page 13 Sưu tầm biên soạn