Toan 11 c8 b2 1 duong thang vuong goc voi mat phang tuluan hdg

CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN VIII QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHÔNG GIAN C H Ư Ơ N BÀI 2: ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG LÝ THUYẾT I = = ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG = 1.1 Định nghĩa I    d Đường thẳng d gọi vng góc với mặt phẳng   vng góc với đường thằng a thuộc mặt phẳng d        d Kí hiệu: hay 1.2 Định lý Đường thẳng vng góc với mặt phẳng vng góc với hai đường thẳng cắt thuộc mặt phẳng d      d  a, a     d  a d  b   a     a   , b        a  b M 1.3 Định lý 2: + Có đường thẳng qua điểm cho trước vng góc với mặt phẳng cho trước + Có mặt phẳng qua điểm cho trước vuông góc với đường thẳng cho trước Có đường thẳng d qua B vng góc với    Có mặt phẳng A vng góc với d   qua Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TỐN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHÔNG GIAN LIÊN HỆ GIỮA QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN HỆ VNG GĨC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Định lý  P  đường  Nếu đường thẳng a vng góc với mặt phẳng  P thẳng song song a vng góc với mặt phẳng  Hai đường thẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song với Định lý  Một đường thẳng vng góc với mặt phẳng vng góc với mặt phẳng song song mặt phẳng  Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song với Định lý  Một đường thẳng vng góc với mặt phẳng vng góc với đường thẳng song song mặt phẳng  Nếu đường thẳng mặt phẳng vng góc với đường thẳng đường thẳng song song nằm mặt phẳng PHÉP CHIẾU VNG GĨC Định nghĩa Phép chiếu song song theo phương  vng góc với mặt phẳng  P phẳng  P gọi phép chiếu vng góc lên mặt M  hình chiếu M lên    Định lí ba đường vng góc Định lý  P  khơng vng góc Cho đường thẳng a mặt phẳng với Khi đó, đường thẳng b nằm mặt phẳng  P vng góc với đường thẳng a b Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN  P vng góc với hình chiếu vng góc a a GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG  P Cho đường thẳng a mặt phẳng  P  ta nói góc  Nếu a vng góc với mặt phẳng  P  90 đường thẳng a mặt phẳng  P  góc  Nếu a khơng vng góc với mặt phẳng a với hình chiếu a  P  gọi góc  P đường thẳng a vả mặt phẳng  P   Nếu  góc đường thẳng a vả mặt phẳng 0  90 Tài liệu chia sẻ Website VnTeach.Com https://www.vnteach.com Một sản phẩm cộng đồng facebook Thư Viện VnTeach.Com https://www.facebook.com/groups/vnteach/ https://www.facebook.com/groups/thuvienvnteach/ Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TỐN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Định nghĩa d      d  a, a     Định lí ba đường a2 vng góc Hai đường thẳng vng góc a      b     , b       b hình chiếu b    Định lí Hệ d  a; d  b  a     , b      d      a  b M   ABC :   d  AB  d   ABC   d  AC  Có đường thẳng qua điểm cho a  b  a  b trước vng góc với mặt phẳng cho trước Có mặt phẳng qua điểm cho trước vng góc với đường thẳng cho trước Một đường thẳng vng góc với mặt phẳng vng góc với mặt phẳng song song mặt phẳng Tính chất Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song với Một đường thẳng vng góc với mặt phẳng vng góc với đường thẳng song song mặt phẳng Nếu đường thẳng mặt phẳng (khơng chứa đường thẳng đó) vng góc với đường thẳng khác chúng song song với Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TỐN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHÔNG GIAN II HỆ THỐNG BÀI TẬ P TỰ LUẬN = = = 1: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG DẠNG I PHƯƠNG PHÁP = = =Cách Chứng minh đường thẳng d vng Ví dụ Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam I với hai đường thẳng cắt chứa giác vuông B, cạnh bên SA vuông góc với góc  P dáy mặt phẳng BC   SAB  Chứng minh Lời giải Cách Chứng minh d song song với a mà a   P Cách Chứng minh d   Q  Q  //  P  Ta có tam giác ABC vng B nên BC  AB SA   ABC  Do nên BC  SA  BC  AB  BC  SA   AB  SA  A  BC   SAB      AB, SA   SAB  Ta có:  = = = Câu 1: I BÀI TẬP Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với Gọi H hình chiếu vng  ABC  Chứng minh góc O mặt phẳng a) BC   OAH  b) H trực tâm ABC Lời giải Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN OA  OB  OA   OBC   OA  BC  OA  OC  a) Ta có OH   ABC   BC   ABC  Mà  nên OH  BC Vậy BC   OAH  b) Do OH   ABC  nên OH  AC  1 OB  OA  OB   OAC   OB  AC   Ta có OB  OC nên Từ  1 Mặt khác  2 suy AC   OBH   AC  BH BC   OAH   AH  BC Vậy H trực tâm tam giác ABC Câu 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, cạnh bên SA vng góc với mặt đáy Gọi H , K hình chiếu A lên SB, SD a) Chứng minh AK   SCD  b) Chứng minh AH   SBC  c) Chứng minh SC   AHK  Lời giải Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN a) Ta có SA   ABCD   CD  SA ABCD hình chữ nhật nên CD  AD Suy CD   SAD   CD  AK AK   SCD  Ta lại có AK  SD Suy b) Ta có CB  SA (do SA vng góc với đáy) CB  AB (do ABCD hình chữ nhật) Suy Mà CB   SAB  AH   SAB  nên CB  AH AH   SBC  Ta lại có AH  SB Suy c) Ta có AK   SCD  AH   SCB  Suy Câu 3: suy AK  SC suy AH  SC SC   AHK   ABCD  Gọi H K lần Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi, có SA vng góc HK   SAC  lượt hình chiếu vng góc A lên cạnh SB SD Chứng minh Lời giải Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Xét SAB vuông A, đường cao AH Ta có SA2 SH SB  SH SA2   1 SB SB Xét SAD vuông A, đường cao AK Ta có SA2 SK SD  SK SA2   2 SD SD  SB SA2  AB  2  SD SA  AD  SB SD  3  AB  AD Mà   1 ,   Từ  3 suy SH SK   HK //BD SB SD Lại có BD  AC (tính chất hình thoi) mà SA   ABCD  , BD   ABCD   BD  SA Suy Câu 4: BD   SAC  HK   SAC  mà HK //BD nên Cho hình lập phương ABCD ABC D a) Chứng minh AC    ABD  b) Chứng minh AC    CBD Lời giải Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN a) Gọi O, I tâm hình vng ABCD, AABB  BD  AC  BD   ACC A  BD  AC  1   BD  AA  Ta có  BA  AB  BA   ABC D   BA  AC       BA  B C  Từ  1   , ta có AC    ABD   BD //BD   AB //CD  b) Ta có Mà AC    ABD  nên  BD //  CBD   ABD  //  CBD   AB //  CBD AC    CBD DẠNG 2: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC = = = I PHƯƠNG PHÁP Chọn mặt phẳng  P  chứa đường thẳng b, sau chứng minh Từ suy a  b a   P Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng, cạnh bên SA vng góc với đáy Gọi H , K hình chiếu A lên SC , SD Chứng minh HK  SC Lời giải Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Ta có CD  AD, CD  SA CD   SAD   CD  AK Suy AK   SDC   AK  SC Mà AK  SD nên SC   AHK  Mặt khác AH  SC nên Suy HK  SC = = = Câu 5: I BÀI TẬP Cho hình chóp S ABCD có đáy SA   ACBD  , AD 2a, AB BC a ABCD hình thang vng A B, Chứng minh CD  SC Lời giải SA   ABCD     SA  CD  1 CD   ABCD   Ta có:  Gọi I trung điểm AD Tứ giác ABCI hình vng Do ACI 45  Mặt khác, CID tam giác vuông cân I nên DCI 45  AC  CD   Suy ACD 90 hay Page 10 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TỐN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHÔNG GIAN Từ Câu 6:  1   suy CD   SAC   CD  SC SA   ABC  Cho hình chóp S ABC có đáy ABC hình tam giác vng A có Chứng minh AC  SB Lời giải Vì SA   ABC   ABC  nên AB hình chiếu vng góc SB Mặt khác theo giả thiết AC  AB Suy AC  SB (theo định lý ba đường vng góc) Câu 7: Cho tứ diện ABCD có AB  AC , DB DC Chứng minh AD  BC Lời giải Gọi H trung điểm BC Vì ABC cân A DBC cân D nên ta có AH  BC ; DH  BC  BC   ADH   AD  BC Câu 8: Trong mặt phẳng  P cho BCD Gọi M trung điểm CD, G điểm thuộc  P  cho G hình chiếu vng góc A đoạn thẳng BM Lấy điểm A nằm  P  Chứng AB  CD Page 11 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Lời giải Vì AG   BCD   BCD  nên BG hình chiếu vng góc AB Mặt khác theo giả thiết BG  CD suy AB  CD (theo định lý ba đường vng góc) DẠNG THIẾT DIỆN Câu 9: Cho hình chóp S ABCD có SA vng góc với đáy, ABCD hình vng cạnh a 2; SA 2a    mặt phẳng qua A, M song song với đường Gọi M trung điểm cạnh SC ,   thẳng BD Tính diện tích thiết diện hình chóp S ABCD bị cắt mặt phẳng Lời giải S M Q D C I P O A B Gọi O  AC  BD ; I SO  AM A, M song song với đường thẳng BD nên    cắt  SBD  theo giao tuyến PQ qua I PQ //BD Vì    mặt phẳng qua    tứ giác APMQ Khi thiết diện hình chóp S ABCD bị cắt mặt phẳng Ta có AC BD  AB a 2 2a Page 12 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Vì SAC vng A có M trung điểm cạnh SC nên 1 AM  SC  SA2  AC a 2 BD   SAC  Ta có SA vng góc với đáy ABCD hình vng nên  PQ   SAC   PQ  AM Vì I giao điểm hai đường trung tuyến SO AM SAC nên SI PQ 2    PQ  BD  a SO BD 3 1 2a 2 S APMQ  PQ AM  a.a  2 3 Do diện tích tứ giác APMQ Câu 10: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A , AB  AC a ; cạnh bên SA vng góc với mặt đáy, SA a Gọi M trung điểm SC Tính diện tích thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng  P  qua M vng góc với AC Lời giải Gọi E , F trung điểm AC , BC Do ME // SA , EF // AB (tính chất đường trung bình tam giác) Mà SA   ABC  Dễ thấy (gt) nên ME   ABC  , suy ME  EF  MEF   P  , thiết diện tam giác MEF vuông E 1 1 a2 S  ME.EF  SA AB  2 2 Diện tích thiết diện Page 13 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TỐN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Câu 11: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng B với AB a , BC a , cạnh bên SA a vng góc với mặt phẳng  ABC  Mặt phẳng  P  qua trung điểm M AB vng góc với SB cắt AC , SC , SB N , P, Q Diện tích tứ giác MNPQ bằng: Lời giải BC   SAB   BC  SB  P  qua trung điểm M AB vng góc với SB cắt AC , SC , SB Do Mặt phẳng N , P, Q nên MN //PQ //BC , tứ giác MNPQ hình thang vng M , Q S MNPQ   MN  PQ  MQ a MN //BC , MN  BC  2 ; + ABC có MQ SA SA.MB a 3.a a   MQ    MB SB SB 2a.2 ; + MQB ∽ SAB a 7a QB  MB  MQ   SQ  4  PQ SQ SQ.BC 7a   PQ   MN // PQ // BC SB Có: nên BC SB Vậy S MNPQ  33a  MN  PQ  MQ  64 Câu 12: Cho tứ diện ABCD có AB vng góc với CD , AB = CD = , M điểm thuộc cạnh BC MC = x.BC ( < x