Toán Lớp 11 ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG góc với mặt PHẲNG

Quan hệ vng góc – HH 11 ĐƯỜNG THẲNG VNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT Định nghĩa d  (P)  d  a, a  (P) Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng a, b  ( P ), a  b  O  d  (P )   d  a, d  b Tính chất  Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng mặt phẳng vng góc với đoạn thẳng trung điểm Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng tập hợp điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng a b a  b      (P )  b  a b ( P )  a a  ( P ), b  ( P ) ( P )  (Q) ( P )  (Q)      a  (Q)  ( P ) Q) a  ( P ) ( P )  a,(Q)  a a  ( P ) a  ( P )     ba  a  P ) b  ( P )  a  b,( P )  b Định lí ba đường vng góc Cho a  (P ), b  (P ) , a hình chiếu a (P) Khi b  a  b  a Góc đường thẳng mặt phẳng ,( P ) = 900  Nếu d  (P) d      ,( P ) =  d  Nếu d  ( P ) d , d '  với d hình chiếu d (P) ,( P )  900 Chú ý: 00  d  B – BÀI TẬP Câu 1: Cho hai đường thẳng phân biệt a, b mặt phẳng P  , a  P  Mệnh đề sau sai? A Nếu b  P  b // a B Nếu b // P  b  a D Nếu b  a b // P  C Nếu b // a b  P  Hướng dẫn giải: Chọn D Câu 2: Trong không gian cho đường thẳng  điểm O Qua O có đường thẳng vng góc với  cho trước? A B C D Vô số Hướng dẫn giải: Chọn D Qua điểm O dựng vơ số đường thẳng vng góc với  , đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc với  Câu 3: Mệnh đề sau sai? A Hai đường thẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song B Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song C Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba song song D Một đường thẳng mặt phẳng (không chứa đường thẳng cho) vng góc với đường thẳng song song Trang Quan hệ vng góc – HH 11 Hướng dẫn giải: Chọn C Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba song song ba đường thẳng đồng phẳng Câu 4: Khẳng định sau sai? A Nếu đường thẳng d    d vng góc với hai đường thẳng   B Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng nằm   d    C Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt nằm   d vng góc với đường thẳng nằm   D Nếu d    đường thẳng a //   d  a Hướng dẫn giải: Chọn B Đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm   d    hai đường thẳng cắt Câu 5: Trong khơng gian tập hợp điểm M cách hai điểm cố định A B A Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB B Đường trung trực đoạn thẳng AB C Mặt phẳng vng góc với AB A D Đường thẳng qua A vng góc với AB Hướng dẫn giải: Chọn A Theo định nghĩa mặt phẳng trung trực Câu 6: Trong không gian cho đường thẳng  điểmO Qua O có đường thẳng vng góc với  cho trước? A Vô số B C D Hướng dẫn giải: Chọn A Câu 7: Qua điểm O cho trước, có mặt phẳng vng góc với đường thẳng  cho trước? A B Vô số C D Hướng dẫn giải: Theo tiên đề qua điể m O cho trước có nhấ t mô ̣t mă ̣t phẳ ng vuông góc với đường thẳ ng  Chọn đáp án A Câu 8: Trong không gian cho đường thẳng  không nằm mp  P  , đường thẳng  gọi vuông góc với mp  P  nếu: A vng góc với hai đường thẳng phân biệt nằm mp  P  B vng góc với đường thẳng a mà a song song với mp  P  C vng góc với đường thẳng a nằm mp  P  D vng góc với đường thẳng nằm mp  P  Hướng dẫn giải: Đường thẳng  gọi vng góc với mặt phẳng  P   vng góc với đường thẳng mặt phẳng  P  (ĐN đường thẳng vng góc với mặt phẳng) Vậy đáp án D Câu 9: Cho a, b, c đường thẳng khơng gian Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau A Nếu a  b b  c a / / c B Nếu a vng góc với mặt phẳng   b / /   a  b C Nếu a / /b b  c c  a D Nếu a  b , b  c a cắt c b vng góc với mặt phẳng  a, c  Trang Quan hệ vuông góc – HH 11 Hướng dẫn giải: a  b Nếu  a c trùng nên đáp án A sai b  c Câu 10: Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A Có đường thẳng qua điểm cho trước vng góc với đường thẳng cho trước B Có mặt phẳng qua đường thẳng cho trước vng góc với mặt phẳng cho trước C Có mặt phẳng qua điểm cho trước vng góc với đường thẳng cho trước D Có mặt phẳng qua điểm cho trước vng góc với mặt phẳng cho trước Hướng dẫn giải: Qua điểm cho trước kẻ vơ số mặt phẳng vng góc với mặt phẳng cho trước Vậy chọn đáp án D Câu 11: Chọn mệnh đề mệnh đề sau? A Nếu a   P  b  a b   P  B Nếu a   P  a  b b   P  C Nếu a   P  b  a b   P  D Nếu a   P  b   P  b  a Câu 12: Cho hai đường thẳng a, b mp  P  Chỉ mệnh đề mệnh đề sau: A Nếu a //  P  b  a b //  P  B Nếu a //  P  b   P  a  b C Nếu a //  P  b  a b   P  D Nếu a   P  b  a b //  P  Hướng dẫn giải: Câu A sai b vng góc với a Câu B a //  P   a   P  cho a //a , b   P   b  a Khi  a  b Câu C sai b nằm  P  Câu D sai b nằm  P  Vậy chọn B Câu 13: Chỉ mệnh đề sai mệnh đề sau: A Hai đường thẳng chéo vng góc với Khi có mp chứa đường thẳng vng góc với đường thẳng B Qua điểm O cho trước có mặt phẳng vng góc với đường thẳng  cho trước C Qua điểm O cho trước có đường thẳng vng góc với đường thẳng cho trước D Qua điểm O cho trước có đường thẳng vng góc với mặt phẳng cho trước Câu 14: Tập hợp điểm cách đỉnh tam giác đường thẳng vng góc với mặt phẳng chứa tam giác qua: A Tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác B Trọng tâm tam giác C Tâm đường trịn nội tiếp tam giác D Trực tâm tam giác mệnh đề mặt phẳng sau: A Hai đường thẳng phân biệt vuông góc với đường thẳng song song B Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song C Hai đường thẳng vng góc với mặt phẳng song song D Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song Hướng dẫn giải:: Đáp án A sai hai đường thẳng chéo Câu 15: Trang Quan hệ vng góc – HH 11 Đáp án B sai hai mặt phẳng cắt Đáp án C sai hai đường thẳng trùng Chọn đáp án D Câu 16: Chỉ mệnh đề sai mệnh đề sau: A Cho hai đường thẳng vng góc với nhau, mặt phẳng vng góc với đường thẳng vng góc với đường thẳng B Hai đường thẳng phân biệt vng góc với mp song song với C Cho hai mp song song, đường thẳng vng góc với mặt mp vng góc với mp D Cho hai đường thẳng song song, mặt phẳng vng góc với đường thẳng vng góc với đường thẳng Hướng dẫn giải: Vì qua đường thẳng dựng vô số mặt phẳng Câu 17: Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng  P  đường thẳng b vng góc với a b vng góc với mặt phẳng  P  B Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b b song song với mặt phẳng  P  a song song nằm mặt phẳng  P  C Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng  P  đường thẳng b vng góc với mặt phẳng  P  a vng góc với b D Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng cắt mặt phẳng vng góc với mặt phẳng Hướng dẫn giải: Giả sử xét hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' hình vẽ có  A ' B '/ /  ABCD   B ' C '/ /  ABCD   B ' C '  A ' B '  Chọn đáp án A Câu 18: Cho hình chóp S ABC có SA  SB  SC tam giác ABC vuông B Vẽ SH   ABC  , H   ABC  Khẳng định sau đúng? A H trùng với trọng tâm tam giác ABC C H trùng với trung điểm AC Hướng dẫn giải: Chọn C B H trùng với trực tâm tam giác ABC D H trùng với trung điểm BC Do SA  SB  SC nên HA  HB  HC Suy H tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Mà ABC vuông B nên H trung điểm AC Câu 19: Cho hình chóp S ABC thỏa mãn SA  SB  SC Tam giác ABC vng A Gọi H hình chiếu vng góc S lên mp  ABC  Chọn khẳng định sai khẳng định sau? Trang Quan hệ vng góc – HH 11 A  SBH    SCH   SH B  SAH    SBH   SH D  SAH    SCH   SH C AB  SH Hướng dẫn giải:  SBH    SCH    SBC  S Chọn A A C H B Câu 20: Cho hình chóp S ABCD có cạnh bên SA  SB  SC  SD Gọi H hình chiếu S lên mặt đáy ABCD Khẳng định sau sai? A HA  HB  HC  HD B Tứ giác ABCD hình bình hành C Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn D Các cạnh SA , SB , SC , SD hợp với đáy ABCD góc Hướng dẫn giải: Chọn B Vì hình chóp S ABCD có cạnh bên SA  SB  SC  SD H hình chiếu S lên mặt đáy ABCD Nên H tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD Suy HA  HB  HC  HD Nên đáp án B sai Câu 21: Cho hình chóp S ABC có SA  ( ABC ) tam giác ABC không vuông, gọi H , K trực tâm tam giác ABC SBC Các đường thẳng AH , SK , BC thỏa mãn: A Đồng quy B Đôi song song C Đôi chéo D Đáp án S khác Hướng dẫn giải: Gọi AA đường cao tam giác ABC  AA '  BC mà BC  SA nên BC  SA ' A C K H Câu 22: Cho hình chóp S ABC có mặt bên tạo với đáy góc A' B Hình chiếu H S ( ABC ) là: A Tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC B Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC C Trọng tâm tam giác ABC D Giao điểm hai đường thẳng AC BD Hướng dẫn giải: Gọi M , N , P hình chiếu S lên cạnh AB, AC, BC Theo định lý ba đường vng góc ta có M , N , P hình chiếu H lên cạnh AB, AC, BC   SNH   SPH   SMH  SNH  SPH  SMH  HM  HN  NP  H tâm dường tròn nội tiếp ABC Trang Quan hệ vng góc – HH 11 Câu 23: Cho hình chóp đều, chọn mệnh đề sai mệnh đề sau: A Chân đường cao hình chóp trùng với tâm đa giác đáy B Tất cạnh hình chóp C Đáy hình chóp miền đa giác D Các mặt bên hình chóp tam giác cân Hướng dẫn giải: Hình chóp có cạnh bên cạnh đáy KHÔNG nên đáp án B sai Câu 24: Tính chất sau khơng phải tính chất hình lăng trụ đứng? A Các mặt bên hình lăng trụ đứng hình bình hành B Các mặt bên hình lăng trụ đứng hình chữ nhật C Các cạnh bên hình lăng trụ đứng song song với D Hai đáy hình lăng trụ đứng có cạnh đơi song song Hướng dẫn giải: Chọn A Trang Quan hệ vng góc – HH 11 DẠNG 1: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC ĐƯỜNG THẲNG Phương pháp: * Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng Muốn chứng minh đương thẳng d    ta dùng mơt hai cách sau Cách Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt   d  a d  b   a     a   , b        a  b  I  Cách Chứng minh d vuông góc với đường thẳng a mà a vng góc với    d  a  d         a Cách Chứng minh d vng góc với (Q) (Q) // (P) * Chứng minh hai đường thẳng vng góc Để chứng minh d  a, ta chứng minh cách sau:  Chứng minh d vng góc với (P) (P) chứa a  Sử dụng định lí ba đường vng góc  Sử dụng cách chứng minh biết phần trước Câu : Cho hình chóp S ABCD có SA   ABCD  ABC vuông B , AH đường cao SAB Khẳng định sau sai? A SA  BC B AH  BC Hướng dẫn giải: Chọn C Do SA   ABC  nên câu A C AH  AC D AH  SC Do BC   SAB  nên câu B D Vậy câu C sai Câu 1: Cho tứ diện SABC có ABC tam giác vuông B SA   ABC  a) Khẳng định sau Chứng minh BC   SAB  A BC   SAB  B BC   SAC  AD, BC  450 C  AD, BC  800 D      b) Gọi AH đường cao tam giác SAB , khẳng định sau Chứng minh AH  SC A AH  AD B AH  SC C AH   SAC  D AH  AC D Hướng dẫn giải: a) Ta có SA   ABC  nên SA  BC H C A Trang B Quan hệ vng góc – HH 11 Do BC  SA    BC   SAB  Chọn A BC  AB  b) Ta có BC   SAB   BC  AH Vậy AH  BC    AH  SC Chọn B AH  SB  Câu 2: Cho tứ diện ABCD có AB  AC DB  DC Khẳng định sau đúng? A AB   ABC  Hướng dẫn giải: Chọn D C CD   ABD  B AC  BD Gọi E trung điểm BC  AE  BC  BC   ADE   BC  AD   DE  BC Khi ta D BC  AD có Câu 3: Cho hình chóp S ABC có SA  ( ABC ) AB  BC Số mặt tứ diện S ABC tam giác vuông là: A B C Hướng dẫn giải: Có AB  BC  ABC tam giác vuông B  SA  AB Ta có SA  ( ABC )    SAB, SAC tam giác vuông A  SA  AC  AB  BC  BC  SB  SBC tam giác vuông B Mặt khác   SA  BC Vậy bốn mặt tứ diện tam giác vuông Nên đáp án D D Câu 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O Biết SA  SC SB  SD Khẳng định sau sai? A SO   ABCD  B CD   SBD  C AB   SAC  D CD  AC Hướng dẫn giải: Chọn B Tam giác SAC cân S có SO trung tuyến  SO đường cao  SO  AC Tam giác SBD cân S có SO trung tuyến  SO đường cao  SO  BD Từ suy SO   ABCD  Do ABCD hình thoi nên CD khơng vng góc với BD Do CD khơng vng góc với  SBD  Trang Quan hệ vng góc – HH 11 Câu 5: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, SA  ( ABCD) Gọi AE; AF đường cao tam giác SAB tam giác SAD Chọn khẳng định khẳng định sau ? A SC   AFB  B SC   AEC  C SC   AED  D SC   AEF  Hướng dẫn giải:  AB  BC Ta có:   BC   SAB   BC  AE  SA  BC  AE  SB Vậy:   AE  SC 1  AE  BC Tương tự : AF  SC   Từ 1 ;    SC   AEF  đáp án D Câu 6: Cho hình chóp S ABC có cạnh SA   ABC  đáy ABC tam giác cân C Gọi H K trung điểm AB SB Khẳng định sau sai? A CH  SA B CH  SB C CH  AK D AK  SB Hướng dẫn giải: Chọn D Do ABC cân C nên CH  AB Suy CH   SAB  Vậy câu A, B, C nên D sai Câu 7: Cho tứ diện ABCD Vẽ AH  ( BCD) Biết H trực tâm tam giác BCD Khẳng định sau đúng? A CD  BD B AC  BD C AB  CD D AB  CD Hướng dẫn giải:: CD  AH  CD  ( ABH )  CD  AB  Chọn đáp án D  CD  BH Câu 8: Cho hình chóp S ABC có cạnh SA  ( ABC ) đáy ABC tam giác cân C Gọi H K trung điểm AB SB Khẳng định sau sai ? A CH  AK B CH  SB C CH  SA D AK  SB Trang Quan hệ vng góc – HH 11 Hướng dẫn giải:: CH  AB Ta có   CH  ( SAB) CH  SA Từ suy CH  AK , CH  SB, CH  SA nên A, B, C Đáp án D sai trường hợp SA AB không  Chọn đáp án D Câu 9: Cho tứ diện SABC thoả mãn SA  SB  SC Gọi H hình chiếu S lên mp  ABC  Đối với ABC ta có điểm H là: A Trực tâm C Trọng tâm Hướng dẫn giải: SH  AH    SH   ABC   SH  BH     SH  CH Xét ba tam giác vng SHA, SHB, SHC có  SA  SB  SC    SHA  SHB  SHC    SH chung B Tâm đường tròn nội tiếp D Tâm đường tròn ngoại tiếp  HA  HB  HC mà H   ABC   H tâm đường trịn ngoại tiếp ABC Chọn đáp án D Câu 10: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với Gọi H hình chiếu O mp( ABC ) Mệnh đề sai mệnh đề sau: A H trực tâm ABC B H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 1 1 C    2 OH OA OB OC D CH đường cao ABC Hướng dẫn giải:: Ta có OA  (OBC )  OA  BC OH  BC  BC  (OAH )  BC  AH Tương tự, ta có AB  CH , suy đáp án A, D 1 1 1 Ta có , với I  AH  BC , suy đáp án C      2 2 OH OA OI OA OB OC  Chọn đáp án B Câu 11: Cho tứ diện ABCD có AB  CD AC  BD Gọi H hình chiếu vng góc A lên mp( BCD) Các khẳng định sau, khẳng định sai? A H trực tâm tam giác BCD B CD  ( ABH ) C AD  BC D Các khẳng định sai Hướng dẫn giải:: CD  AB  CD  ( ABH )  CD  BH Tương tự BD  CH Ta có  CD  AH Suy H trực tâm BCD Suy đáp án A, B  BC  AH  BC  AD , suy C Ta có   BC  DH  Chọn đáp án D Câu 12: Cho tứ diện ABCD có AB  AC DB  DC Khẳng định sau đúng? Trang 10 Quan hệ vng góc – HH 11 3  a b   a b  B .     a   a  Hướng dẫn giải: Gọi N trung điểm BC  BC  SN SB  SC      BC   SAN      AB  AC  BC  AN   2 A 3  a b    16  a  C 3  a b     a  D M   P   Theo BC   P     P / / SAN       Kẻ MI / / AN , MK / / SA  Thiết diện  P  tứ diện SABC KMI  ABC  a  hai tam giác cạnh a  AN  SM   SA  SAN tam giác cạnh    SBC a 3 a b 3  a  b   KMI tam giác cạnh  SKMI    2 a 16  a  Chọn đáp án C Câu 9: Cho tứ diện ABCD cạnh a  12 , AP đường cao tam giác ACD Mặt phẳng  P  qua B vng góc với AP cắt mp  ACD  theo đoạn giao tuyến có độ dài ? A B C Hướng dẫn giải: Ta có : CD  AP, CD  BP  CD   APB   BG  CD D Tương tự : AD  CM , AD  BM  AD   BCM   AD  BG Suy : BG   ABC   BG  AP Kẻ KL qua trọng tâm G ACD song song với CD   P  AP  KL mặt phẳng  BKL  B   ACD    BKL   KL  CD  Có thể nói nhanh theo tính chất tứ diện đều: Gọi G trọng tâm ACD G tâm ACD BG  ( ACD) Trong mp( ACD) kẻ qua G đường thẳng song song với CD cắt M AC, AD K , L D A L Ta có Vậy ( BKL)  ( ACD), AP  KL  AP  ( BKL) G ( P)  ( BKL) P K   ACD    BKL   KL  CD  C Câu 10: Cho hình chóp S ABCD , với đáy ABCD hình thang vng A , đáy lớn AD  , BC  S , SA vng góc với mặt phẳng  ABCD  , SA  Gọi M trung điểm AB  P  mặt phẳng qua M vng góc với AB Thiết diện  P  hình chóp có diện tích bằng? A 10 Hướng dẫn giải: Do  P   AB   P   SA B 20 C 15 D 16 I K A D M N Trang 34 B C Quan hệ vng góc – HH 11 Gọi I trung điểm SB  MI  SA  MI   P  Gọi N trung điểm CD  MN  AB  MN   P  Gọi K trung điểm SC  IK  BC , mà MN  BC  MN  IK  IK   P  Vậy thiết diện  P  hình chóp hình thang MNKI vng M Ta có: MI đường trung bình tam giác SAB  MI  SA  IK đường trung bình tam giác SBC  IK  BC  MN đường trung bình hình thang ABCD  MN   AD  BC   IK  MN 3 Khi SMNKI  MI   15 2 Vậy chọn đáp án C Câu 11: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc Kẻ OH   ABC  a) Khẳng định nhất? H trực tâm ABC A H trực tâm ABC B H tâm đường tròn nội tiếp ABC C H trọng tâm ABC D H tâm đường tròn ngoại tiếp ABC b) ABC tam giác gì? A ABC tam giác nhọn B ABC tam giác tù C ABC tam giác vuông D ABC tam giác cân c) Khẳng định sau nhất? S2ABC  S2OAB  S2OBC  S2OCA 1 1 A S2ABC  S2OAB  S2OBC  S2OCA B S2ABC  S2OAB  S2OBC  S2OCA 2 2 C SABC  S2OAB  S2OBC  S2OCA D S2ABC  S2OAB  S2OBC  S2OCA d) Tìm tập hợp điểm M không gian cho MA2  MB2  MC  3MO2 A M thuộc mặt phẳng qua I vng góc với OG , I điểm cách điểm O, A, B, C G trọng tâm tam giác ABC B M thuộc mặt phẳng qua I song song với OG ,trong I điểm cách điểm O, A, B, C trọng tâm tam giác ABC C M thuộc mặt phẳng qua O vng góc với OG , G trọng tâm tam giác ABC D M thuộc mặt phẳng qua O song song với OG , G trọng tâm tam giác ABC A Hướng dẫn giải: OA  OB  a) Ta có   OA   OBC   OA  BC OA  OC  Lại có OH   ABC   OH  BC Vậy H BC  OA    BC   OAH  BC  OH  C O I Trang 35 B Quan hệ vng góc – HH 11  BC  AH Tương tự 1 AC  OB    AC   OBH   BH  AC AC  OH   2 Từ 1 ,   suy H trực tâm tam giác ABC b) Đặt OA  a, OB  b, OC  c Ta có BC  OB2  OC  b2  c Tương tự AC  a  c2 , AB  a  b2 Áp dụng định lí cơsin cho tam giác ABC ta có 2 2 2 AB  AC  BC  a  b   (a  c )   b  c  cos A   AB AC  a  b  (a  b )  a2 a  b  (a  b ) 2  nhọn  suy A Tương tự góc B, C nhọn 1  AI BC   OI  OA2  OB  OC  c) Ta có S ABC 4 2 2 2  OI BC  OA OB  OA OC  S2OAB  S2OBC  S2OCA 4 d) Gọi I điểm cách điểm O, A, B, C G trọng tâm tam giác ABC ta có : MA2  MB2  MC  3MO2          MI  IA  MI  IB  MI  IC  3(MI  IO)2             IA  IB  IC IM  3IO.MI  3IG.MI  3IO.IM  OGMI   MI  OG (     IA  IB  IC  3IG ) Vậy M thuộc mặt phẳng qua I vng góc với OG Câu 12: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA   ABCD  SA  a Gọi I , K trung điểm cạnh AB SC Tính IK      A IK  a 2 a Hướng dẫn giải: IK     a 3a D IK  B IK  C S a a Ta có IS  AI  AS     a  Tương tự 2 K A B I a suy IS  ID  IC nên I thuộc trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SCD C D CD  AD  CD   SAD  Mặt khác  CD  SA  CD  SD  SCD vng D , lại có K trung điểm SC nên K tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác SCD , KI   SCD  ID  IC  Trang 36 Quan hệ vng góc – HH 11 1 Ta có IK  ID  DK  ID  SC  ID   SA2  AC  4 2 5a a a   a  2a    IK  4 2 Câu 13: Cho hình vng ABCD có tâm O cạnh 2a Trên đường thẳng qua O vng góc với  ABCD  lấy điểm S Biết góc SA  ABCD  có số đo 45 Tính độ dài SO A SO  a B SO  a C SO  a D SO  a Hướng dẫn giải: Chọn B   45 Do SO   ABCD    SA,  ABCD    SAO Do SAO vng cân O nên SO  AO  a Câu 14: Cho tứ diện ABCD có DA, DB, DC đơi vng góc Gọi  ,  ,  góc đường thẳng DA, DB, DC với mặt phẳng  ABC  Tìm Giá trị nhỏ M    cot    cot    cot   A 64 B Hướng dẫn giải: Gọi H hình chiếu D  ABC  Khi H trực tâm tam giác ABC   Và  DA, ABC   DA, AH  DAH     D 64 C A  Đặt DA  a, DB  b, DC  c Gọi I  AH  BC DI đường cao tam giác DBC nên DB.DC bc DI   BC b  c2 H 2 D DA a  b  c  cot    DI b2c I a  b2  c  2a 4a   cot     2  Vậy b2c bc bc B 4a 2  cot   1  bc 4b 4c Tương tự  cot      cot    3 ac ab Nhân theo vế BĐT 1 ,   ,  3 ta   cot    cot    cot    64 ( đpcm) C Câu 15: Trong mặt phẳng   cho đường trịn đường kính cố định BC M điểm di động đường tròn Trên đường thẳng d vng góc với   B lấy điểm A a) Khẳng định sau đúng? A mặt tứ diện ABMC tam giác vuông B mặt tứ diện ABMC tam giác vng cân Trang 37 Quan hệ vng góc – HH 11 C tam giác ACM vuông A D tam giác ACM vuông cân M b) Gọi H , K hình chiếu B AM AC Khẳng định sau sai? A AC   BHK  B BH  AC C A, B D A, B sai c) Tìm tập hợp điểm H M di động A H thuộc đường tròn đường kính BK B H thuộc đường trịn đường kính AC C H thuộc đường trịn đường kính BM D H thuộc đường trịn đường kính AB d) Tìm vị trí M để đoạn AM lớn A M  C B C M  H D e) Tìm vị trí M để diện tích tam giác BHK lớn A M giao điểm đường trịn đường kính BC BA.BC 2 BA2  BC B M giao điểm đường tròn đường kính BC BA.BC 2 BA2  BC C M giao điểm đường tròn đường kính BC BA.BC BA2  BC D M giao điểm đường tròn đường kính BC BA.BC M B M K với đường trịn tâm B bán kính với đường trịn tâm B bán kính với đường trịn tâm B bán kính với đường trịn tâm B bán kính BA2  BC Hướng dẫn giải:  AB  BM A a) Ta có AB      suy tam giác ABM  AB  BC K ABC vuông B  MC  MB  MC   ABM  Tiếp theo ta có   MC  AB H  MC  AM hay tam giác ACM vuông M C B  BH  AM  BH   ACM  b) Ta có   BH  MC M  BH  AC AC  BH  Vậy   AC   BHK  AC  BK    900 nên điểm H thuộc đường trịn đường kính BK Từ ta có tập c) Dễ thấy BK cố định BHK hợp điểm M đường trịn đường kính BK d) MA2  AB2  BM mà AB không đỏi nên AM lớn MB lớn  BM  BC  M  C BH  HK BK  e) Ta có S BHK  BH HK  không đổi nên 4 BK BK max S BHK   BH  HK , lúc HBK vuông cân H nên BH  Trang 38 Quan hệ vng góc – HH 11 1 1 1   ;   2 2 BH BA BM BK AB BC  1 1  nên         2 2 BA BM BA BC  BA BC  BM BA.BC  MB  BA2  BC BK BA.BC   MB  Vậy max S BHK   M giao điểm đường tròn đường kính BA2  BC BA.BC BC với đường trịn tâm B bán kính BA2  BC Ta có Câu 16: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB  a, BC  a , mặt bên SBC tam giác vuông B , mặt bên SCD vuông D SD  a a) Tính SA A SA  a B SA  2a C SA  3a D SA  4a b) Đường thẳng qua A vng góc với AC cắt CB, CD I , J Gọi H hình chiếu A SC Gọi K , L giao điểm K , L SB, SD với  HIJ  Khẳng định sau nhất? A AK   SBC  , B AL   SCD  C AK  SC D Cả A, B, C Hướng dẫn giải: a) SBC vuông B  BC  SB mà BC  AD  BC   SAB   BC  SA S Tương tự ta có SA  CD nên SA   ABCD  Ta có SC  DS  DC  a  SA  SB  AB  a Vậy SA  a  IJ  AC  IJ   SAC   IJ  SC b) Do   IJ  SA Lại có AH  SC   HIJ   SC  AK  SC Dế thấy BC   SAB   BC  AK K J B I L H  SB  SC  BC  a 2 A D C 1 2  Từ 1 ,   suy AK   SBC  Lập luận tương tự ta có AL   SCD  Câu 17: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân B , AB  a, SA  a SA   ABC  Gọi M điểm cạnh AB AM  x   x  a  , mặt phẳng   qua M vng góc với AB Giả sử thiết diện hình chóp S ABC với   tứ giác MNPQ a) Hỏi tứ giác MNPQ hình A Hình chữ nhật B hình vng b) Tìm x để diện tích thiết diện MNPQ lớn C hình thang Trang 39 D hình bình hành Quan hệ vng góc – HH 11 a 3a a B x  C x  2 Hướng dẫn giải:    AB Ta có   SA     SA  AB  M   SAB      Do  SA   SAB       SAB   MN  SA Tương tự   SA       AB   BC       BC  AB  M      ABC    BC   ABC    BC         ABC   MQ  BC , Q  AC A x  D x  a S P N C A Q M B  N   SBC           SBC   NP  BC , P  SC  BC   SBC    BC    Thiết diện tứ giác MNPQ b) Ta có MN  SA, PQ  SA  MN  PQ MQ  BC, NP  BC  MQ  NP nên MNPQ hình bình hành  MN  SA  Mặt khác  NP  BC  MN  NP Vậy MNPQ hình chữ nhật  SA  BC  MN MB MB.SA  a  x  a   MN    a  x SA AB AB a a2  a a2 SMNPQ  MN MQ   a  x  x  3[   x   ]   2 a a2 max S MNPQ  x  Câu 18: Cho hình vng ABCD có tâm O cạnh 2a Trên đường thẳng qua O vng góc với  ABCD  lấy điểm S Biết góc SA  ABCD  có số đo 45 Tính độ dài SO b) Ta có MQ  AM  x , A SO  a B SO  a C SO  Hướng dẫn giải: Chọn B   45 Do SO   ABCD    SA,  ABCD    SAO Do SAO vuông cân O nên SO  AO  a Trang 40 a D SO  a Quan hệ vng góc – HH 11 Câu 19: Cho tứ diện ABCD có AB, BC, CD đơi vng góc AB  a, BC  b, CD  c Độ dài AD : A a  b2  c Hướng dẫn giải:: B a  b2  c C a  b2  c Ta có: BC  CD  BD  BC  CD2  b2  c2  AB  BC Mặt khác:   AB   BCD   AB  BD  AB  CD AD  AB2  BD2  a  b2  c Vậy chọn đáp án A a  b  c D A a D B b c C Câu 20: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA   ABCD  SA  a Giả sử tồn tiết diện hình chóp với mặt phẳng   qua A vng góc với SC Tính diện tích thiết diện a2 4a 2 a2 a2 A S  B S  C S  D S  3 Hướng dẫn giải: Gọi K hình chiếu A SC K    Trong  SAC  gọi I  SO  AK Ta có BD  SA    BD   SAC  BD  AC   BD  SC , mặt khác    SC nên BD     I      SBD   Vậy  BD   SBD    BD         SBD   HL  BD, H  SD, L  SB Thiết diện tứ giác AHKL  HL  BD  HL  AK  S AHKL  AH KL b) Do   BD  AK Ta có SA  AC  a  SAC cân tại., mà AK  SC nên K SC 2a   a trung điểm SC  AK  2 HL SH SI 2 2a HL  BD      HL  BD  BD SD SO 3 Trang 41 S K L I H B A O D C Quan hệ vng góc – HH 11 2a a 2 a  3 Câu 21: Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a , đường cao SO  2a Gọi M điểm thuộc đường cao AA ' tam giác ABC Xét mặt phẳng   qua M vng góc với AA ' Vậy S AHKL  Đặt AM  x Giả sử tồn thiết diện hình chóp cắt   Giả sử tính diện tích thiết diện theo a x Xác định vị trí M để diện tích thiết diện lớn 3a a 3a 3a A x  B x  C x  D x  8 Hướng dẫn giải: S Vì S ABC hình chóp nên SO   ABC  ( O tâm tam giác ABC ).Do SO  AA1 mà    AA1  SO    K Tương tự ta có BC    Trường hợp x  thiết diện điểm A A a Trường hợp  x  M thuộc đoạn AO  M  A Ta có :  M   ABC           ABC   IJ  BC , I  AB, J  AC  BC   ABC    BC     M      SAA1   Tương tự  SO   SAA1       SAA1   MK  SO, K  SA   SO    Thiết diện tam giác KIJ a a Trường hợp M thuộc đoạn x OA  M  0; M  A Tương tự trường hợp ta có:  M   ABC       BC   ABC   A  BC         ABC   IJ  BC , I  AB, J  AC  M      SAA1        SAA1   MN  SO, N  SA1  SO   SAA1    SO    Trang 42 C J I M O A1 B S F N E J O I B M A1 C Quan hệ vng góc – HH 11  N      SBC        SBC   EF  IJ , N  EF  BC   SBC    BC    Thiết diện tứ giác IJEF a Trường hợp x  thiết diện đoạn BC b) Xét trường hợp: a x   Std  , x   Std  a , S IJK  IJ MK 0 x IJ AM x 2x Ta có IJ  BC     IJ  BC AA1 a 3 MK AM x Tương tự    MK  x SO AO a 3 2x Vậy S IJK  x  x a a , dễ thây IJEF hình thang nên S IJEF   IJ  EF  MN x 3 a x x EF SN OM  EF  x  a IJ  ,    BC SA1 OA1 a a x MN MA1    MN  3a  x SO OA1 a Vậy S IJEF  4x  3a 3a  x 3a a a x Xét trường hợp ta thấy Std lớn trường hợp max S IJEF  3a x Câu 22: Cho tam giác ABC C có cạnh huyền nằm mặt phẳng  P  cạnh góc vng tạo        với  P  góc  ,  Giả sử  độ lớn góc đường cao CK với  P  Khẳng định sau nhất? A sin   2sin   2sin  sin   sin  C sin   Hướng dẫn giải: B sin   sin   sin  D sin   sin   sin  Trang 43 Quan hệ vuông góc – HH 11  góc CK  P  dễ thấy Kẻ CH   P  CKH    ,   CA,  P   CAH CB,  P   CBH  Đặt CH  h , ta có CA  AB  CA2  CB  h h , CB  sin  sin  h2 h2  sin  sin  C  1   h2     sin  sin   Xét tam giác ABC có CK AB  CACB A h h sin  sin  CA.CB  CK   AB H K P B  sin   sin     h  sin  sin   2 h  sin   sin    CH  sin   sin  Ta có sin CKH CK Câu 23: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , tâm O SO   ABCD  , đường thẳng SA tạo với hai mặt phẳng  ABCD   SBC  góc Gọi H hình chiếu A  SBC  a)Tính SA HB  A a a B a C a D a b) Tính góc đường thẳng SA với  ABCD  A   arctan B   arctan C   arctan D   arctan Hướng dẫn giải:    nên SO  SA cos  a) Dễ thấy  SA,  ABCD    SAO 1 OI  BC  BC   SIO  Gọi I trung điểm BC ta có   SO  BC S Kẻ OK  SI OK  BC nên OK   SBC  D K H I O Trang 44 A C B Quan hệ vng góc – HH 11   AH  CK   Kẻ At  OK cắt CK H , ta có   AH   SBC  nên  SA,  SBC    SAH  CK   SBC  AH  SA cos    Từ 1 ,   ta có AH  SO a a a Khi BH  tam giác vng HAB có AH  AB  HB  a     2 2 2 a 3 a 2 a a  SO  AH   SA  SO  OA2        2     a SO 3 b) tan        arctan OA a 2 2 Câu 24: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, SA   ABCD  , SC  a Góc đường thẳng SC với mặt phẳng  ABCD   SAB    a) Tính SA A SA  a sin  C SA  a tan  B SA  a cos  D SA  2a sin  b) Tính AB A a cos     cos     C 3a cos     cos     B 2a cos     cos     D a cos     cos     Hướng dẫn giải: a) Do SA   ABCD    SA,  ABCD   S     SAC  BC  AB  BC   SAB  Tương tự   BC  SA   SC , SAB  SBC    AB  SB  SA2  a sin   a sin  a β A SA  SC sin   a sin  b) SB  SC sin   a sin  B α  cos 2  cos 2  2 D C  a cos     cos     Câu 25: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc Gọi H trực tâm tứ diện Gọi A, B, C ba góc tương ứng tam giác ABC ,   COH  Khẳng định sau nhất? Đặt    AOH ,   BOH A sin  sin  sin    sin A sin B sin C B Trang 45 sin 2 sin 2 sin 2   sin A sin B sin 2C Quan hệ vng góc – HH 11 sin 2 sin 2 sin 2   sin A sin B sin C Hướng dẫn giải: ( HS tự giải) C D sin  sin  sin    sin A sin B sin 2C   900 Hình chiếu H D mặt phẳng ABC trực tâm Câu 26: Cho tứ diện ABCD có BDC tam giác ABC  a) Tính CDA   600 A CDA   900 B CDA   450 C CDA b)Khẳng định sau A  DA2  DB2  DC    AB  BC  CA C  DA2  DB2  DC    AB  BC  CA 2   300 D CDA B  DA2  DB2  DC    AB  BC  CA D  DA2  DB2  DC    AB  BC  CA Hướng dẫn giải: D  BC  DH  BC   ADH  a) Vì   BC  AH  BC  DA 1 A Tương tự ta có  BDH   AC  DB  AC , B  DB  DC  DB   ACD    DB  AC  DB  DA   H N   900 Từ 1 ,   suy DA   BCD   DA  DC CDA M C b) Từ câu a) ta thấy tứ diện ABCD có cạnh DA, DB, DC đơi vng góc Theo BĐT Cauchy-Schwraz ta có  AB  BC  CA   AB2  BC  CA2   AB  DA2  DB  Mà  BC  DB  DC nên  AB  BC  CA   DA2  DB2  DC  CA2  DA2  DC  Đẳng thức xảy AB  BC  CA  ABC đều, kết hợp với chân đường cao D trùng với tâm đáy ta D ABC hình chóp đỉnh D Câu 27: Cho tứ diện OABC có cạnh OA, OB, OC đơi vng góc M điểm thuộc miền tam giác ABC MA2 MB MC   a) Tìm giá trị nhỏ T  OA2 OB OC A T  B T  C T  D T  b) Gọi H trực tâm tam giác ABC  ,  ,  góc gữa đường thẳng OH với đường thẳng OA, OB, OC Tìm giá trị lớn A  cot  cot  cot  A max A  B max A  C max A  Trang 46 D max A  Quan hệ vuông góc – HH 11 c) Tìm GTNN S  cos   cos  cos   cos  cos   cos    cos  cos  cos  A S  B S  Hướng dẫn giải: a) Gọi N  AM  BC , kẻ MM1  OA ta có C S  D S  O  OA   OBC   MM1   OBC   MM  OA   kẻ MA1  OA, A1  OA Khi A1 AM  AA12  MA12  AA12  MO2  OA12 A M1  OM   AA1  OA1  AA1  OA1  B M  OM  OA  OA  2OA1  N  OM  OA2  2OAOA 2OA1 AM OM  1 1 2 OA OA OA Tương tự gọi B1 , C1 điểm tương tự A1 ta có Suy C 2OB1 MB OM  1  2 2 OB OB OB 2OC1 MC OM  1  3 2 OC OC OC 1   OA1 OB1 OC1   Từ 1 ,   ,  3 ta có T  OM     2   3 2   OA OB OC   OA OB OC  Gọi H trực tâm tam giác ABC ta biết kết quen thuộc 1 1 OM  OA OB OC1     T   2   nên 3 2 2 OA OB OC OH OH  OA OB OC  OA1 NM S MBC   Mặt khác OA NA S ABC OA1 OB1 OC1 OB1 S MAC OC1 SMAB   1  ,  Tương tự nên OA OB OC OB S ABC OC S ABC OM   OM  OH OH Vậy T  M  H Do T        Cách Đặt OA  a, OB  b, OC  c Do A, B, C , M đồng phẳng nên tồn x, y, z cho     OM  xOA  yOB  zOC  x  y  z  1       Ta có AM  OM  OA   x  1 a  b  c , bình phương vơ hướng ta MA2 y 2b2 z c 2  x      OA2 a2 a 2 2 2 2 xa z c MC xa yb 2    y  1  ,     z  1 b b OC c c 1      a x2  b2 y2  c2 z2   b c  AM   x  1 a  y 2b2  z 2c  MB Tương tự OB  Vì T   a Trang 47 Quan hệ vng góc – HH 11 1  1   ax  by  cz    ( Theo Cauchy-Schwarz) b c  a Vậy T  ,   COH  b) Dễ thấy    AOH ,   BOH 2 1 1  OH   OH   OH  Ta có          1 2 2 OA OB OC OH  OA   OB   OC   cos2   cos2   cos2   1 1 cot x  cos x   Lại có  tan x  * cos x  tan x  cot x Áp dụng CT (*) cho x nhận giá trị  ,  ,  kết hợp với 1 thu cot  cot  cot     1  cot   cot   cot  Đặt x  cot  , y  cot  , z  cot   x, y, z  0 toán trỏ thành Cho x, y, z  thỏa Ta có  x y z    Chứng minh xyz  1 x 1 y 1 z x y z x y z     1   2 1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 2 1 x yz 1  y 1  z  yz  2 1  y 1  z  Tương tự ta có : xz 2 2  3 1 y 1 z 1  x 1  z  xy 1  x 1  y  Nhân theo vế BĐT   ,  3  ta xyz   4 c) Tương tự câu b) ta có S  Trang 48  dpcm  ... nằm mặt phẳng  P  C Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng  P  đường thẳng b vng góc với mặt phẳng  P  a vng góc với b D Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng cắt mặt phẳng vng góc. .. vng góc với nhau, mặt phẳng vng góc với đường thẳng vng góc với đường thẳng B Hai đường thẳng phân biệt vng góc với mp song song với C Cho hai mp song song, đường thẳng vng góc với mặt mp vng góc. .. cho B Góc đường thẳng a mặt phẳng  P  góc đường thẳng b mặt phẳng  P  a b song song (hoặc a trùng với b ) C Góc đường thẳng a mặt phẳng  P  góc đường thẳng a mặt phẳng  Q  mặt phẳng  P