Toan 11 c8 b5 1 goc giua duong thang va mat phang góc nhị diện tuluan hdg

C H Ư Ơ N CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN VIII QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN BÀI 5: GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG GÓC NHỊ DIỆN LÝ THUYẾT I = = GÓC = GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG  P I Cho đường thẳng a mặt phẳng  P  ta nói góc đường thẳng  Nếu a vng góc với mặt phẳng a mặt phẳng  P  90  P  góc a với hình chiếu a  Nếu a khơng vng góc với mặt phẳng  P  P gọi góc đường thẳng a mặt phẳng  P  kí hiệu  a,  P    Góc đường thẳng a mặt phẳng  P  0  90  Nếu  góc đường thẳng a mặt phẳng  P  song song với mặt phẳng  P   Nếu đường thẳng a nằm mặt phẳng  a,  P   0 GÓC NHỊ DIỆN VÀ GÓC PHẲNG NHỊ DIỆN Góc nhị diện Định nghĩa: Cho hai nửa mặt phẳng  P1   Q1   P Q  có chung bờ đường thẳng d Hình tạo ,  P Q   P , d , Q1  d gọi góc nhị diện tạo , kí hiệu Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Hai nửa mặt phẳng  P1  ,  Q1  gọi hai mặt nhị diện d gọi cạnh nhị diện Góc phẳng nhị diện Định nghĩa Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TỐN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHÔNG GIAN II HỆ THỐNG BÀI TẬ P TỰ LUẬN = = = XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG DẠNG I PHƯƠNG PHÁP = = = d   P   d ,  P   90o Trường hợp I Trường hợp d khơng vng góc với (P) Khi ta làm sau: Bước Tìm d   P   I  Bước Trên d lấy điểm A khác I Tìm hình chiếu H A lên (P) Thông thường ta chọn điểm A d thỏa mãn A thuộc đường thẳng  vng góc với (P) (Khi hình chiếu A giao điểm  (P)) Bước Suy d ,  P   AI , HI   AIH  Tính AIH (nếu đề yêu cầu tính góc) Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh 2a, cạnh bên SA vng góc mặt đáy SA a Gọi  góc tạo SB mặt phẳng (ABCD) Xác định cot? Lời giải Ta có SB   ABCD   B Trên SB chọn điểm S Ta có SA   ABCD  nên A hình chiếu S lên (ABCD)   SB,  ABCD   SB, BA  SBA  Suy Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Vậy cot   AB 2a  2 SA a Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN = = Câu= 1: I BÀI TẬP Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S lên (ABC) trùng với trung điểm H cạnh BC Biết tam giác SBC tam giác Số đo góc SA (ABC) Lời giải Ta có SH   ABC    SA,  ABC   SAH  ABC SBC hai tam giác cạnh a nên AH SH  a o Suy SHA vuông cân H   45 Câu 2: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' Góc A'C' mặt phẳng (BCC'B') Lời giải o  Dễ dàng thấy góc A'C' mặt phẳng (BCC'B') AC B 45 Câu 3: o  Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD hình thoi cạnh a, ABC 60 AA a Góc hợp đường thẳng BD' mặt phẳng (ABCD) Lời giải Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TỐN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHÔNG GIAN Do DD   ABCD   BD  tan D Câu 4:  nên góc hợp đường thẳng BD' mặt phẳng (ABCD) DBD DD a  BD 30o    D BD a 3 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có ABC cạnh a, AA  3a Góc đường thẳng AB' (ABC) Lời giải ABC.A'B'C' lăng trụ đứng nên AB hình chiếu vng góc AB' (ABC)  Suy góc đường thẳng AB' (ABC) BAB  AB  BB   B  AB 60o tan B AB B'AB vng B nên Câu 5: Cho hình thoi ABCD tâm O có BD 4a, AC 2a Lấy điểm S không thuộc (ABCD) cho SO   ABCD   tan SBO  Số đo góc SC (ABCD) Biết Lời giải  Góc SC (ABCD) góc SCO BD 4a  BO 2a;  SO BO.tan SBO 2a a; AC 2a  OC a o  Vậy SCO 45 Câu 6: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng cạnh đường thẳng SB (SAC) a, SA   ABCD  SA a Góc Lời giải Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Gọi I tâm hình vng ABCD Vì ABCD hình vng nên BD  AC Mặt khác Suy Ta có SA   ABCD  BD   SAC  Câu 7:  góc đường thẳng SB (SAC) góc BSI SB a 2; BI    sin BSI  nên SA  BD a 2 BI    BSI 30o SB Cho khối chóp S.ABC có SA   ABC  , tam giác ABC vuông B, AC 2a, BC a, SB 2a Góc SA mặt phẳng (SBC) Lời giải Kẻ AH  SB  H  SB   1 Theo giả thiết, ta có:  BC  SA  BC   SAB   BC  AH   BC  AB Từ (1) (2) suy  2 AH   SBC   Do góc SA mặt phẳng (SBC) góc SA SH ASH 2 Ta có AB  AC  BC a sin ASB  Trong SAB ta có AB a   SB 2a Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN o   Vậy ASB  ASH 30 Do góc SA mặt phẳng (SBC) 30° Câu 8: SA   ABC  , SA 2a 3, AB 2a, Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân B Gọi M trung điểm SB Góc đường thẳng CM mặt phẳng (SAB) Lời giải  BC  AB  BC   SAB   BC  SA  Ta có: Do BM hình chiếu CM lên mặt phẳng (SAB) Suy  CM ,  SAB   CMB  tan CMB  BC AB AB    MB SB SA2  AB Ta có: 2.2a  2a    2a  1 o  Suy CMB 45  CM ,  SAB   45  Vậy o Câu 9: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a , cạnh bên SA vng góc với mặt đáy SA 2a Goi M trung điểm SC Tính cơsin góc  góc đường thẳng BM mặt phẳng  ABC  Lời giải Dạng toán: Đây dạng toán tính cosin góc đường thẳng mặt phẳng Hướng giải: Xác định góc theo định nghĩa tính cosin góc theo hệ thức lượng tam giác  ABC  ; Từ xác định góc B1: Xác định hình chiếu đường thẳng BM mặt phẳng  ABC  đường thẳng BM mặt phẳng B2: Sử dụng hệ thức lượng tam giác vng để tính cosin góc nói Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TỐN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN S M A C H B Gọi H trung điểm cạnh AC MH  SA a Ta có MH đường trung bình tam giác SAC  MH / / SA SA   ABC   MH   ABC   BH  ABC  hình chiếu BM mặt phẳng  ABC  góc hai đường thẳng BM Suy góc đường thẳng BM mặt phẳng   BH góc MBH Vậy  MBH Mà Ta có Suy BH  a a  BM  MH  BH  2 cos   BH 21  BM Câu 10: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi tâm O cạnh a tam giác ABD SO vng góc mặt phẳng  ABCD  SO 2a M trung điểm SD Tang góc CM  ABCD  là: Lời giải S M C B O I D A Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TỐN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Gọi I trung điểm OD  MI đường trung bình tam giác SOD MI // SO  MI   ABCD   MI  SO 2a  a 2 IC hình chiếu MC lên mặt phẳng  ABCD   ABCD  MCI Góc MC với  a  BD a  OI  BD  4 Tam giác ABD OC OA  a Xét tam giác OCI vuông O :  a   a  a 13 CI  CO  OI           4 2 Xét tam giác CMI vuông I:  tan MCI  MI a 13   CI a 13 Câu 11: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi cạnh a , SA SB SD  a  60 Gọi  , BAD  SBC  Giá trị cos  góc đường thẳng SD mặt phẳng Lời giải Dạng tốn: Tính góc đường thẳng mặt phẳng không gian Hướng giải: d G ;  SBC   GH B1: Gọi G trọng tâm ABD , tính  3 a 15 d  M ;  SBC    d  G;  SBC    GH  2 B2: Tính B3: Vì MD / /  SBC   d  M ;  SBC   d  D;  SBC   DK  a 15   SBC  Khi góc SD mặt phẳng  SBC  DSK Gọi K hình chiếu D lên Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Page 10 Sưu tầm biên soạn