H ãy cố gắ ng kh i cò n có th ể Lê Minh An Vũ Thị Duyên http //cungnhauhoctoan com/ GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Bài 1 Cho hình chóp S ABCD đáy là hình chữ nhật, SA⊥(ABCD) Khi đó góc giữa SB và ([.]
Lê Minh An - Vũ Thị Duyên http://cungnhauhoctoan.com/ GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Bài Cho hình chóp S.ABCD đáy hình chữ nhật, SA⊥(ABCD) Khi góc SB (SAD) d d d d A BSA B SBA C BSD D SBD Lời giải Chọn đáp án A ( ( BA⊥AD SB ∩ (SAD) = S \ d Ta có ⇒ BA⊥(SAD) Khi ⇒ (SB, (SAD)) = BSA BA⊥SA BA⊥(SAD) A Bài Cho hình chóp S.ABCD đáy hình chữ nhật, SA⊥(ABCD) Khi góc SC (SAB) d d d d A CSA B CSB C SCA D SCB Hãy cố gắng cịn Lời giải Chọn đáp án B ( ( SC ∩ (SAB) = S CB⊥AB \ d ⇒ (SC, (SAB)) = CSB ⇒ CB⊥(SAB) Khi Ta có CB⊥(SAB) B CB⊥SA Bài Cho hình chóp S.ABCD đáy hình thoi tâm O, SO⊥(ABCD) Khi góc SA (SBD) d d d d B ASB C ASO D ASD A SAB Lời giải Chọn đáp án C ( ( AO⊥BD SA ∩ (SBD) = S \ d Ta có ⇒ AO⊥(SBD) Khi ⇒ (SA, (SBD)) = ASO AO⊥SO AO⊥(SBD) O Bài Cho hình chóp S.ABCD đáy hình thoi tâm O, SA⊥(ABCD) (Cungnhauhoctoan.com) Khi góc SD (SAC) d A SDA d B DSA d C SDO d D DSO Lời giải Chọn đáp án D ( ( DO⊥AC SD ∩ (SAC) = S \ d Ta có ⇒ DO⊥(SAC) Khi ⇒ (SD, (SAC)) = DSO DO⊥SA DO⊥(SAC) O Bài Cho hình chóp S.ABCD đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy Góc SC đáy 45o Tính độ dài SA theo a √ √ a B C a A a 2 Lời giải Chọn đáp án A ( SC ∩ (ABCD) = C d = 45o Ta có ⇒ (SC,\ (ABCD)) = SCA SA⊥(ABCD) A √ ⇒ ∆SAC vuông cân A ⇒ SA = AC = a D 2a Bài Cho hình chóp S.ABCD đáy hình vng, SA vng góc với đáy SA = a Góc SB đáy 45o Tính diện tích đáy theo a √ a2 A a2 B C 2a2 Lời giải Chọn đáp án D ( SB ∩ (ABCD) = B d = 45o Ta có ⇒ (SB,\ (ABCD)) = SBA SA⊥(ABCD) A ⇒ ∆SAB vuông cân A ⇒ AB = SA = a ⇒ SABCD = a2 Liên hệ: 0973 864 998 D a2 Xuân Trường - Nam Định Lê Minh An - Vũ Thị Duyên http://cungnhauhoctoan.com/ Bài Trong khẳng định sau, khẳng định ĐÚNG? A Góc đường thẳng a mp (P) góc a mp (Q) (P) song song với (Q) B Góc đường thẳng a mp (P) góc đường thẳng b mp (P) a song song với b C Hai đường thẳng a b song song góc a mp (P) góc b mp (P) D Góc α góc đường thẳng mặt phẳng 0o ≤ α ≤ 180o Lời giải Chọn đáp án C Câu A, B sai Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng cân A, SA⊥(ABC) Khi \ d d (BC, (SAB)) = ABC (SB,\ (ABC)) = SBA (BC, (SC, \ \ d d (SAC)) = ACB (ABC)) = SCA ⇒ A sai; ⇒ B sai d = ACB d d = SCA d ABC SBA (SAB) ∦ (SAC) SB ∦ SC Hãy cố gắng cịn Câu D sai ≤ α ≤ 90o Bài Cho tứ diện ABCD có AB, BC BD đơi vng góc với (cungnhauhoctoan.com) Trong khẳng định sau khẳng định SAI? d A Góc AC (ABD) góc CAB d B Góc AC (BCD) góc BAC d D Góc CD (ABD) góc CDB d C Góc AD (ABC) góc ADB Lời giải Chọn đáp án C d → C sai Ta có AD ∩ (ABC) = A DB⊥(ABC) nên góc AD (ABC) góc DAB Bài Cho tứ diện ABCD có AB, BD DC đơi vng góc với Trong khẳng định sau khẳng định ĐÚNG? A Góc BC (ABD) 90o B Góc CD (ABD) 90o C Góc AC (BCD) 45o D Góc AC (ABD) 45o Lời giải Chọn đáp án B Ta có CD⊥AB CD⊥BD nên CD⊥(ABD) ⇒ góc CD (ABD) 90o Bài 10 Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh cm tâm O, đường thẳng qua O vng góc với √ (ABCD) lấy điểm S cho SO = Tính góc SA (ABCD) A 30o B 45o C 60o D 90o Lời giải Chọn đáp án B d Ta có SA ∩ (ABCD) = A SO⊥(ABCD) nên góc SA (ABCD) góc SAO AC √ d = 45o Mà AO = = = SO, nên ∆ASO vuông cân O ⇒ SAO Bài 11 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy tam giác vng cân A, SA vng góc với đáy SA = BC Tính góc SA (SBC) A 30o B 45o C 60o D 90o Lời giải Chọn đáp án B Gọi M trung điểm BC ta có BC⊥AM BC⊥SA nên BC⊥(SAM) ⇒ (SAM)⊥(SBC) theo giao tuyến SM Do hình chiếu SA lên (SBC) SM Liên hệ: 0973 864 998 Xuân Trường - Nam Định Lê Minh An - Vũ Thị Duyên http://cungnhauhoctoan.com/ d Góc SA (SBC) góc SA SM góc ASM d = 45o Mà SA = AM = BC, SA⊥AM nên ∆SAM vuông cân A ⇒ ASM d = 60o SA vng góc với đáy Bài 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a ABC √ SA = a Tính góc SB (SAC) A 30o B 35o C 45o D 55o Lời giải Chọn đáp án A d Gọi O = AC ∩ BD Trước hết ta thấy BO⊥SAC nên góc SB (SAC) góc BSO a 3a Lại có ∆ABC nên AO = AC = ⇒ SO = 2 BO o d = d = 30 = √ ⇒ BSO ⇒ tan BSO SO Bài 13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy, góc SC đáy 45o Tính góc SC (SAD) A 60o B 53o C 30o D 28o Hãy cố gắng cịn Lời giải Chọn đáp án C d = 45o nên ∆SCA vuông cân A Ta có SA⊥(ABCD) nên góc SC đáy góc SCA √ ⇒ SC = AC = 2a d Lại có CD⊥(SAD) nên góc SC (SAD) góc CSD a CD d = 30o d = = = ⇒ CSD Mà sin CSD SC 2a d = 60o (cungnhauhoctoan.com) ∆SAB Bài 14 Cho hình chóp S.ABCD đáy hình thoi cạnh a, BAC nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Tính SC góc α √ SC với đáy √ a A AC = 2, α = 45o B AC = , α = 45o √ √ a D AC = , α = 60o C AC = a 2, α = 60o Lời giải Chọn đáp án B d Gọi H trung điểm AB √⇒ SH⊥AB ⇒ AH⊥(ABCD) ⇒ góc SC với đáy góc SCH a ∆SAB nên SH = √ a o d = 60 nên ∆ABC ⇒ CH = Lại có BAC √ a d = 45o ⇒ ∆AHC vuông cân H ⇒ SC = SCH √ 0 Bài 15 Cho hình lăng trụ ABC.A B C0 đáy ABC tam giác vuông CA = CB = a ∆A0 AB nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính giá trị tan góc A0C (A0 B0C0 ) √ A √ B C D Lời giải Chọn đáp án B Gọi H trung điểm AB ⇒ A0 H⊥AB ⇒ A0 H⊥(ABC) Lại có (ABC) // (A0 B0C0 ) nên góc A0C với 0CH (A0 B0C0 ) góc A0C với (ABC) góc A[ √ A0 H √ 0CH = Mà CH = AB = a, A0 H = a ⇒ tan A[ = CH Liên hệ: 0973 864 998 Xuân Trường - Nam Định Lê Minh An - Vũ Thị Duyên http://cungnhauhoctoan.com/ √ Bài 16 Cho hình lăng trụ ABC.A0 B0C0 đáy ABC tam giác vuông AB = AC = a ∆B0 BC cân B0 nằm mặt phẳng vuông góc với đáy, góc AB0 (A0 B0C0 ) 45o Tính AA0 √ √ a A a B √ C 2a D a 2 Lời giải Chọn đáp án D Gọi H trung điểm BC ⇒ B0 H⊥BC ⇒ B0 H⊥(ABC) Lại có (ABC) // (A0 B0C0 ) nên góc AB0 với AH = 45o (A0 B0C0 ) góc AB0 với (ABC) góc B[ ⇒ ∆B0 HA vuông cân H ⇒ B0 H = AH = BC = a √ √ ⇒ AA0 = BB0 = BH + B0 H = a √ d = 60o SA⊥(ABCD) SA = a 3, góc SA Bài 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi, BAC (SBD) 30o Tính diện tích√ hình thoi ABCD √ a A a2 C 2a2 B Lời giải Chọn đáp án D √ D 2a2 Hãy cố gắng cịn Gọi O giao điểm AC BD Ta thấy BD⊥(SAC) nên (SAC)⊥(SBD) theo giao tuyến SO ⇒ Hình chiếu SA lên (SBD) SO d = 30o ⇒ Góc SA với (SBD) góc SA SO góc ASO d = 60o nên ∆ABC ⇒ AO = SA tan 30o = a ⇒ AC = 2a Mà BAC √ ⇒ SABCD = BA.BC sin 60o = 2a2 Bài 18 Cho hình chóp tam giác đều, cạnh bên có độ dài a tạo với đáy góc 60o Tính chu vi đáy hình chóp A 3a √ 3a C 3a B √ D 3a Lời giải Chọn đáp án C Gọi O tâm đáy ⇒ SO⊥(ABC) d = 60o ⇒ AO = SA cos 60o = a Góc SA đáy góc SAO 3a Gọi M trung điểm BC ⇒ AM = AO = √ √ AM 3a a ∆ABC nên BC = AB = = ⇒ Chu vi đáy sin 60o 2 Bài 19 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi, BD = 2AC = 2a Tính góc SC (SBD) biết SA = SC, tam giác SBD vuông cân S A 26o B 30o C 36o D 60o Lời giải Chọn đáp án A Gọi O = AC ∩ BD, tam giác SAC SBD cân S nên SO vng góc với AC BD, tức SO⊥(ABCD) d ⇒ CO⊥(SBD) ⇒ góc SC (SBD) góc CSO 1 a d = OC = ⇒ CSO d ≈ 26o Ta có SO = BD = a, OC = AC = ⇒ tan CSO 2 SO Bài 20 Cho hình lập phương ABCD.A0 B0C0 D0 có cạnh cm Tính góc AC0 (BDD0 B0 ) A 35o B 45o C 55o D 60o Lời giải Chọn đáp án C Gọi O, O0 tâm hình vng ABCD A0 B0C0 D0 , I giao điểm OO0 với AC0 Liên hệ: 0973 864 998 Xuân Trường - Nam Định Lê Minh An - Vũ Thị Duyên http://cungnhauhoctoan.com/ ⇒ I giao điểm AC0 với (BDD0 B0 ) Ta có AO0 ⊥BD AO0 ⊥BB0 nên AO0 ⊥(BDD0 B0 ) (BDD0 B0 ) góc AIO d0 ⇒ Góc AC√ √ OO0 a a d0 = AO = ⇒ AIO d0 ≈ 55o ,O I = = ⇒ tan AIO Lại có AO0 = 2 IO Bài 21 Cho hình chóp tứ giác có mặt bên tam giác (Cungnhauhoctoan.com) Tính góc cạnh bên đáy hình chóp A 30o B 45o C 15o D 60o Lời giải Chọn đáp án B Hãy cố gắng cịn Gọi S.ABCD hình chóp thỏa mãn đề Ta có đáy ABCD hình vng, gọi O tâm đáy d ⇒ SO⊥(ABCD) ⇒ góc cạnh bên SA và√đáy góc SAO √ AO a 2 d = d = 45o ⇒ cos SAO = ⇒ SAO Gọi cạnh đáy hình chóp a ⇒ AO = SA Bài 22 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD M, N trung điểm SA, BC Biết AB = a, góc MN o đáy √ √ 45 Tính SO a 10 a A B Lời giải Chọn đáp án A √ a 10 C √ a D o [ Kẻ MI // SO ⇒ I trung điểm AO MI⊥(ABCD) ⇒ góc MN đáy √ góc MNA = 45 a 10 5a ⇒ IN = Xét ∆CIN có IN = IC2 +CN − 2IC.CN cos 45o = √ √ a 10 a 10 ⇒ IM = IN tan 45o = ⇒ SO = 2IM = Bài 23 Cho hình chóp SABC có SA⊥(ABC), ∆ABC có ba góc nhọn Gọi H, K trực tâm ∆ABC ∆SBC Tính số đo góc SC (BHK) A 30o B 45o C 60o D 90o Lời giải Chọn đáp án D Ta có BH⊥AC, BH⊥SA nên BH⊥(SAC) ⇒ SC⊥BH Mà SC⊥BK nên SC⊥(BHK) Vậy góc SC (BHK) 90o √ d = 60o SA⊥(ABCD) SA = a 2, góc SD Bài 24 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi, ABC (SAC) 30o Tính diện tích √ hình thoi ABCD √ 2 a a2 A a B C Lời giải Chọn đáp án C √ 2a2 D d = 30o DO⊥(SAC) nên góc SD (SAC) góc DSO Đặt AO = x ⇒ SO2 = 2a2 + x2 √ \ Ta có ABC = 60o nên ∆ABC ∆ADC Do DO = x DO a ⇒ SO = = 3x Nên ta có phương trình 9x2 = 2a2 + x2 ⇔ x = o tan 30 √ a2 Vậy SABCD = 2AO.DO = √ Bài 25 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật AB = a, AD = a SA vuông góc với đáy, SA = 2a Kẻ SM, SN vng góc với SB, SD Tính góc AC (AMN) A 15o Liên hệ: 0973 864 998 B 30o C 45o D 60o Xuân Trường - Nam Định Lê Minh An - Vũ Thị Duyên http://cungnhauhoctoan.com/ Lời giải Chọn đáp án C Ta có BC⊥(SAB) nên AM⊥BC AM⊥(SBC) ⇒ SC⊥AM Tương tự có SC⊥(AMN) Kẻ AH⊥SC ⇒ H ∈ (AMN) Như ta có H hình chiếu vng góc C lên (AMN) [ Lại có AC = 2a = SA nên ∆SAC ⇒ góc AC (AMN) góc CAH [ = 45o vng cân, CAH Bài 26 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a ∆SAB ∆SAD tam giác vuông cân A Gọi M trung điểm SD, (α) mặt phẳng qua A vng góc với SC Tính sin góc CM (α) Hãy cố gắng cịn √ A Lời giải Chọn đáp án C √ 2 C √ B √ D Ta có SA⊥AB SA⊥AD nên SA⊥(ABCD) Từ CD⊥(SAD) ⇒ AM⊥CD ⇒ AM⊥(SCD) ⇒ AM⊥SC ⇒ M ∈ (α) Kẻ AH⊥SC ⇒ (α) mặt (AHM) Lại có CH⊥(AHM), [ CM ∩ (AHM) = M Nên góc CM và√(α) góc CMH a 2a Lại có ∆CDM vng D nên CM = , CH = √ √ CH 2 [ = ⇒ sin CMH = CM Bài 27 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy, SA = a M trung điểm BD √ Tính giá trị sin góc √ SD (SAM) √ √(Cungnhauhoctoan.com) 2 2 B C D A Lời giải Chọn đáp án D Gọi N trung điểm AB, H = DN ∩AM Ta có ∆ADN = ∆BAM ⇒ DN⊥AM ⇒ DN⊥(SAM) H ⇒ góc SD (SAM) [ góc DSH √ a 2a Mặt khác ta tính AH = √ ⇒ HD = √ , SD = a 5 √ [ = DH = ⇒ sin DSH SD Bài 28 Cho hình chóp S.ABCD đáy hình vng cạnh a ∆SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy.√ M, N trung điểm √ AB, AD Tính giá trị sin góc SN (SCM) 3 3 A B C D 5 Lời giải Chọn đáp án D Liên hệ: 0973 864 998 Xuân Trường - Nam Định Lê Minh An - Vũ Thị Duyên http://cungnhauhoctoan.com/ Ta có SM⊥AB, mà (SAB)⊥(ABCD) theo giao tuyến AB nên SM⊥(ABCD) Gọi H = BN ∩ CM Ta có ∆ABN = ∆BMC nên suy BM⊥CM H Từ suy NH⊥(SCM) H nên góc SN [ (SCM) góc NSH √ a 3a , Mặt khác ta tính BH = √ ⇒ NH = BN − BH = 10 √ √ a 2 [ = HN = SN = SM + MN = ⇒ sin NSH SN Bài 29 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, ∆SAB tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáy (Cungnhauhoctoan.com) Tính √ giá trị sin góc SD √ √ (SBC) √ 6 A B C D 2 4 Lời giải Chọn đáp án D Kẻ đường thẳng d qua S song song với AD, d = (SBC) ∩ (SAC) Kẻ AF // SD (F ∈ d) Khi góc Hãy cố gắng cịn SD (SBC) góc AF (SBC) Mặt khác BC⊥AB mà (SAB)⊥(ABCD) theo giao tuyến AB nên BC⊥(SAB) Kẻ AE⊥SB ⇒ AE⊥(SBC) ⇒ góc d AF với√ (SBC) góc AFE √ a Mà AE = , AF = SD = a 2 √ AE d Vậy sin AFE = = AF √ Bài 30 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy SA = a Kẻ AP⊥SB, AQ⊥SD Gọi M trung điểm SD Tính giá trị cosin góc CM (APQ) B √ C √ D √ A √ 10 10 10 10 Lời giải Chọn đáp án A Ta có BC⊥(SAB) nên AP⊥BC AP⊥(SBC) ⇒ SC⊥AP Tương tự có SC⊥AP nên SC⊥(APQ) Kẻ AH⊥SC ⇒ H ∈ (APQ) ⇒ SC⊥(AMN) H Gọi I = CM ∩ HQ ⇒ I = CM ∩ (APQ) d ⇒ góc CM (APQ) góc CIH 2 [ = SC +CM − SM = √3 Xét ∆CSM, cos MCS 2SC.CM 10 d = sin MCS [=√ ∆CHI vuông H nên cos CIH 10 ĐÁP ÁN A D C 10 B 13 C 16 D 19 A 22 A 25 C 28 D B A C 11 B 14 B 17 D 20 C 23 D 26 C 29 D C D B 12 A 15 B 18 C 21 B 24 C 27 D 30 A Liên hệ: 0973 864 998 Xuân Trường - Nam Định ... CIH 2 [ = SC +CM − SM = √3 Xét ∆CSM, cos MCS 2SC.CM 10 d = sin MCS [=√ ∆CHI vuông H nên cos CIH 10 ĐÁP ÁN A D C 10 B 13 C 16 D 19 A 22 A 25 C 28 D B A C 11 B 14 B 17 D 20 C 23 D 26 C 29 D C... cố gắng cịn Câu D sai ≤ α ≤ 90o Bài Cho tứ diện ABCD có AB, BC BD đơi vng góc với (cungnhauhoctoan.com) Trong khẳng định sau khẳng định SAI? d A Góc AC (ABD) góc CAB d B Góc AC (BCD) góc BAC d... (SBC) SM Liên hệ: 0973 864 998 Xuân Trường - Nam Định Lê Minh An - Vũ Thị Duyên http://cungnhauhoctoan.com/ d Góc SA (SBC) góc SA SM góc ASM d = 45o Mà SA = AM = BC, SA⊥AM nên ∆SAM vuông cân A ⇒ ASM