Goc giua duong thang va mat phang

GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG I Phương pháp giải Định nghĩa Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng 90 (hình 1) Nếu đường thẳng[.]

GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG I Phương pháp giải Định nghĩa: Nếu đường thẳng a vng góc với mặt phẳng (P) ta nói góc đường thẳng a mặt phẳng (P) 90 (hình 1) Nếu đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng (P) góc a hình chiếu a  (P) gọi góc đường thẳng a mặt phẳng (P) (hình 2) Chú ý: Góc đường thẳng mặt phẳng khơng vượt q 90 ■ Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa góc đường thẳng mặt phẳng Cách tìm hình chiếu a  a mặt phẳng (P) ta làm sau: Tìm giao điểm M  a   P  Tìm điểm A tùy ý đường thẳng a  A  M  xác định hình chiếu vng góc H A mặt phẳng (P) Khi · đó, a  đường thẳng qua hai điểm A M Ta có:   ·a;  P    AMH  HM cos   AM  AH  Xét tam giác vng AMH ta có:  tan   (trong d  A;  P   khoảng cách từ MH   AH d  A;  P    sin    AM AM điểm A đến mặt phẳng (P)) II Ví dụ minh họa  Dạng 1: Góc cạnh bên mặt đáy Tìm góc cạnh bên SA mặt đáy (ABC) Gọi H hình chiếu vng góc S mặt phẳng đáy (ABC) Như HA hình chiếu vng góc SA (ABC)   ·  ABC   · · H SA; HA   SA Vậy SA; Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B, có AB  a;BC  a Biết SA   ABC , SB tạo với đáy góc 60 M trung điểm BC a) Tính cosin góc SC mặt phẳng (ABC) b) Tính cosin góc SM mặt phẳng (ABC) Lời giải   ·  ABC   SBA ·  60 a) Do SA   ABC   SB; · Do SA  ABtanSBA  a tan 60  a · Ta có: AC  AB2  BC2  2a; · SC;  ABC   SCA · Khi đó: cosSCA  AC AC 2a    SC SA2  AC2 3a  4a · b) Do SA   ABC  · SM;  ABC   SMA   a 3 a Ta có: AM  AB  BM  a       Khi cos   2 AM AM 133   2 SM 19 SA  AM Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình chữ nhật có AB  a; AD  a Tam giác (SAB) thuộc mặt phẳng vng góc với đáy a) Tính góc SB, SC mặt phẳng (ABCD) b) Gọi I trung điểm BC Tính tan góc SI mặt phẳng (ABCD) Lời giải a) Gọi H trung điểm AB ta có: SH  AB  SAB    ABCD  Mặt khác   AB   SAB    ABCD   SH   ABCD  Tam giác SAB cạnh 2a nên SH  a 3, HC  HB2  BC2  a   ·  ABCD   SBH ·  60 Do SH   ABCD   SB; SH ·  ABCD   SCH ·    · tan SCH SC; HC 2 a a b) Ta có: HI  HB  BI  a     2 2   · ABCD   SIH · ·  SH  a : a  15 Mặt khác SI; SIH SI Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy nửa lục giác cạnh a, AD  2a Biết SA   ABCD  đường thẳng SB tạo với đáy góc 45 a) Tính cosin góc tạo cạnh SC, SD mặt đáy (ABCD) b) Gọi I trung điểm CD, tính tan góc tạo SI mặt phẳng (ABCD) Lời giải a) Gọi O trung điểm AD  OABC hình thoi cạnh a  CO  a  AD  ACD vuông C · Do SA   ABCD  · SB;  ABCD   SBA  45 Do SA  ABtan 45  a · AC  AD2  CD2  a  cos · SC;  ABC    cosSCA  AC AC a 3    2 2 SC SA  AC a  3a   ·  ABCD   cosSDA · cos SD;  AD SA2  AD2  a a 13 b) Ta có: AI  AC  CI  3a     2 2 ·  SI;  ABCD    tan SIA Do tan · SA  AI 13  Dạng 2: Góc cạnh bên mặt phẳng chứa đường cao Tìm góc cạnh bên SB mặt phẳng (SHA) với SHA    ABH  Dựng BK  AH , có BK  SH  BK  SHA  Suy K hình chiếu vng góc B mặt phẳng (SAH) · Vậy · SB; SAH    · SB;SK   BSK Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật có AB  a, AD  a 3,SA   ABCD  Biết SC tạo với đáy góc 60 Tính cosin góc tạo bởi: a) SC mặt phẳng (SAB); SC mặt phẳng (SAD) b) SD mặt phẳng (SAC) Lời giải · Do SA   ABCD  · SC;  ABCD   SCA  60 Lại có: AC  AB2  AD2  2a  SA  AC tan 60  2a SB  SA  AB2  a 13  Khi SD  SA  AD2  a 15  2 SC  SA  AC  4a CB  SA ·  CB  SAB  · SC; SAB   CSB CB  AB Do  ·  Mặt khác cos CSB SB 13  SC · ·  Tương tự CD  SAD  · cosSCD SC; SAD    CSD SD 15  SC Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O cạnh a, BD  a 3,SA   ABCD  Biết SC tạo với đáy góc 60 Tính tan góc tạo bởi: a) SC mặt phẳng (SAB) b) SD mặt phẳng (SAC) Lời giải a) Ta có: AC  BD O Khi OA  OC, OB  OD · Xét tam giác vng OAB ta có: sin OAB  OB  AB ·  OAB  60  ABC cạnh a · Mặt khác SA   ABCD  · SC;  ABCD   SCA  60 Suy SA  AC tan 60  a · Dựng CH  AB  CH  SAB  · SC; SAB   CSH Do ABC cạnh a nên H trung điểm AB Ta có: CH  a CH a 13 · SH  SA2  AH2   tan CSH  SH · Do tan CSH  39  13 13   OD DO  AC · SAC   DSO · ·  tan DSO  SD; SO DO  SA b) Ta có:  Trong OD  a a 13 39 · ;SO  SA2  OA2   tan DSO  2 13 Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD, hình chiếu vng góc uuur uuur đỉnh S lên mặt đáy điểm H thuộc cạnh AB cho HB  2HA Biết AB  3, AD  SH  Tính tan góc tạo bởi: a) SA mặt phẳng (SHD) b) SB mặt phẳng (SHC) Lời giải 2  SA  SH  AH  a) Ta có: AH  1, HB    2  SB  SH  HB  2 · Dựng AE  DH  AE  SHD  · SA; SHD  =ASE Mặt khác AE  ·  Suy tan ASE AH.AD AH2  AD2  37 AE  SA 185 b) Dựng BF  HC  BF  SHC  · , BF  Khi · SB; SHC =BSF ·  Ta có: tan · SB; SHC    tan BSF BH.BC BH  BC2  10 BF  SB 10 Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ ABCD.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có AB  2a, AD  2a , hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng (ABCD) trùng với tâm O hình chữ nhật ABCD, biết cạnh bên AA tạo với đáy góc 60 Tính cosin góc tạo với AC mặt phẳng  ABD  Lời giải Ta có: AC  AB2  BC2  4a  OA  2a  OC · AO  60 Do AO   ABCD  · AO;  ABCD   A  AO  OA tan 60  2a Dựng CH  BD  CH   ABD  · H  · AC;  ABD    CA Ta có: CH  BC.CD BC2  CD2  a AC  OA2  OC2  12a  4a  4a · H  Suy cos CA AH AC2  HC2 16a  3a 13    AC AC 4a Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy tam giác cạnh a Tính góc tạo AC mặt phẳng  ABBA  biết AA  a Lời giải Dựng CH  AB  CH  a CH  AB · H  CH   ABBA   · AC;  ABBA    CA CH  AA Do  Lại có: AH  AA2  AH  · H  Do tan CA a2  a  a    2 CH · H  45   CA AH · H  45 AC;  ABBA   CA Vậy ·  Dạng 3: Góc đường cao mặt bên Tìm góc đường cao SH mặt phẳng (SAB) Dựng HE  AB, HF  SE Ta có: AB  SH  AB  SHE   AB  HF Mặt khác HF  SE  HF  SAB  F hình chiếu vng góc H mặt phẳng (SAB) · SH;SAB   · HF;SF   HSF Vậy · Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC, có đáy ABC tam giác cạnh 2a Cạnh bên SA  a vng góc với đáy Tính góc SA mặt phẳng (SBC) Lời giải Từ A kẻ AK vuông góc với BC K Ta có : SA  BC AK  BC  BC  SAK  Kẻ AH  SK, H  SK Mà BC  AH · · Suy AH  SBC  · SA; SBC   ASH  ASK Tam giác SAK vng A, có SA  AK  a  tam giác SAK vuông cân A nên ASK  45 Vậy · SA; SBC   45 Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật có AB  a, AD  2a,SA  2a SA   ABCD  Tính tan góc SA mặt phẳng (SBC), (SBD) (SCD) Lời giải BC  AB  BC  SAB BC  SA Do  Dựng AM  SB  AM  SBC   M hình chiếu vng góc A (SBC) · · Khi đó: · SA; SBC   ASM  ASB   Do tan   AB  SA AD ·  Tương tự ta có: · SA; SCD    ASD   tan   SA BD  AE  BD  SAE   BD  AF BD  SA Dựng AE  BD, AF  SE ta có:  ·  ASE · Mặt khác AF  SE  AF  SBD   · SA; SBD    ASF ·  Khi tan ASE AE AB.AD 2a AE · , AE    tan ASE   SA SA 5 AB2  AD2 Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A B có AD  2AB  2CD  2a SA   ABCD  Biết SC tạo với đáy góc 60 Tính tan góc SA mặt phẳng (SBC), (SCD) (SBD) Lời giải Ta có: AC  AB2  BC2  a · Do SA   ABCD  · SC;  ABCD   SCA  60 Suy SA  AC tan 60  a BC  SA  BC  AM BC  AB Dựng AM  SB có  Do AM  SBC   M hình chiếu A mặt phẳng (SBC) · · Suy · SA; SBC   ASM  ASB ·  Ta có: tan ASB AB a   SA a 6 Gọi I trung điểm AD  ABCI hình vng cạnh a  CI  AD  a  ACD vuông CD  SA  CD  SAC  CD  AC C Khi  · · · Dựng AN  SC  · Ta có: tan ASC SA; SCD    ASN  ASC  AC a   SA a AE  BD · ·  ASE ·  SA; SBD    ASF AF  SE  Dựng  Mặt khác AE  AB.AD AB  AD 2  2a AE 30 ·  tan ASE   SA 15 Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy nửa lục giác cạnh a, AD  2a Biết SA   ABCD  đường thẳng SB tạo với đáy góc 60° a) Tính tan góc tạo SA (SBC) b) Tính góc tạo SA (SCD) Lời giải a) Gọi O trung điểm AD  OABC hình thoi cạnh a  CO  a  AD  ACD vuông C · Do SA   ABCD  · SB;  ABCD   SBA  60  SA  AB tan 60  a , AC  AD2  CD2  a ·  ASE · Dựng AE  BC , AF  SE  · SA; SBC   ASF · ·  120  ABE  60 Do ABE · Mặt khác AE  ABsin ABE  ABsin 60  · SA;  SBC    tan ASE  Suy tan · a AE  SA CD  SA  CD  SAC  Dựng AK  SC  AK   SCD  CD  AC b) Do  · · Khi · SA; SCD    ASK  ASC   Ta có: tan   AC a      45 Vậy · SA; SCD    45 SA a Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ ABC.ABC có đáy tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc B lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H cạnh AB, đường cao BH  cosin góc đường thẳng BH mặt phẳng  BCCB  Lời giải BC  BH suy BC  HE BC  HF  HF   BBCC  · BH;  BCCB   Dựng HE  BC, HF  BE ta có:  · F  HB · E  HB a ·  sin 60  Ta có: HE  HBsin HBE · E  Do cos HB a BH BH   BE BH  HE 3a Tính  Dạng 4: Góc cạnh bên mặt bên Tính góc cạnh bên SC mặt phẳng (SAB) Đặt · SC; SAB     0    90 Ta có cơng thức: sin   d  C;  SAB   SC Từ suy giá trị cos  tan  đề u cầu Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có AD  2a, AB  a Tam giác SAD cân S thuộc mặt phẳng vng góc với đáy Đường thẳng SB tạo với đáy góc 30 Tính sin góc tạo bởi: a) SA mặt phẳng (SBC) b) SD mặt phẳng (SAC) Lời giải Gọi H trung điểm AD ta có: SH  AD Lại có: SAD    ABCD   SH   ABCD  Ta có: HA  a; HB  HA  AB2  a · Do SH   ABCD  · SB;  ABCD    SBH  30 Suy SH  HBtan30  a a) Do AD / /BC  AD / / SBC Do d  A; SBC    d  H; SBC   HE  BC tacó: BC  HF từ suy HF  SBC  HF  SE Dựng   d  H; SBC    HF  d  A; SBC   Ta có: SA  SH2  SA2  a  SD Mặt khác: d  A;  SBC   1 a ·    HF   sin SA; SBC       2 HF SH HE SA b) Dựng HN  AC  AC  SHN  , dựng HI  SN  HI  SAC  Do d  D; SAC   DA 2  d  D; SAC    2d  H; SAC    2HI HA d  H;  SAC   Dựng DM  AC  DM  SD; SAC    Ta có: sin · 2a a HN.SH a  HN   HI    d  D; SAC    a HN  SH 2 d  D; SAC   SD  a a  Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD có AB  a 3;AD  a , tam giác SBD tam giác vuông cân đỉnh S nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính sin góc tạo SA mặt phẳng (SBC) Lời giải Gọi O trung điểm BD ta có: SO  BC mặt khác SBD    ABC  SO   ABC Ta có: BD  AB2  AD  2a  SO  BD  a Dựng OE  BC, OF  SE  OF  SBC  d  D; SBC    2d  O; SBC    2HF Ta có: HE  AB  SH.OE  OF  SH  OE 2 a a Suy d  A; SBC    a 21  7 2a 21 Mặt khác SA  SO2  OA2  a Do sin · SA;  SBC    d  A;  SBC   SA  42 Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ ABC.ABC có đáy tam giác vng A với AB  a;AC  a , hình chiếu vng góc A lên mặt đáy trùng với trung điểm H BC Biết AH  a Tính cosin góc tạo AB với mặt phẳng  ACCA  Lời giải Dựng HE  AC HF  AE AC  AH  AC  HF  HF   AAC  AC  HE Ta có:  Khi d  H;  AAC    HF Lại có BC  2HC nên d  B;  AAC    2d  H;  AAC   Mặt khác ME đường trung bình tam giác ABC nên ME  AB a HE.AM a  Khi đó: HF   2 2 HE  AM Suy d  B;  AAC    2a ; BC  AB2  AC2  2a Lại có AB  AH2  HB2  a Suy sin · AB;  AAC    sin   d  B;  AAC   BA  57  cos    sin   9 ... AB.AD 2a AE · , AE    tan ASE   SA SA 5 AB2  AD2 Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A B có AD  2AB  2CD  2a SA   ABCD  Biết SC tạo với đáy góc 60 Tính tan góc SA