Full chương 4 lời giải

CHƯƠNG IV ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG BÀI 1: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHƠNG GIAN A TĨM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU Mặt phẳng Người ta thường biểu diễn mặt phẳng hình bình hành dùng chữ đặt dấu ngoặc đơn () để đặt tên cho mặt phẳng P Q  Ví dụ: mặt phẳng   (Hình 3) mặt phẳng   , mặt phẳng   , mặt  phẳng   ,… Trong thực tiễn có nhiều ví dụ minh hoạ cho mặt phẳng Chẳng hạn: gương phẳng, mặt bàn, bảng treo tường , Cho ta hình ảnh phần mặt phẳng không gian Điểm thuộc mặt phẳng P Nhận xét: Với điểm A mặt phẳng   , xảy hai khả sau: P A  P - Điểm A thuộc mặt phẳng   , ta kí hiệu (Hình 5a) P P - Điểm A không thuộc mặt phẳng   hay A nằm   , ta A  P kí hiệu (Hình 5b) 1) 2) 3) 4) Hình biểu diễn hình khơng gian a) Khái niệm Một cách tổng quát, ta quy ước: Hình vẽ mặt phẳng để giúp ta hình dung hình khơng gian gọi hình biểu diễn hình khơng gian b) Quy tắc vẽ hình biểu diễn hình khơng gian Để việc vẽ hình biểu diễn hình không gian thuận lợi thống nhất, ta quy ước sau: Đường thẳng biểu diễn đường thẳng Đoạn thẳng biểu diễn đoạn thẳng; Hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau) biểu diễn hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau); Hình biểu diễn giữ ngun tính liên thuộc điểm với đường thẳng vởi đoạn thẳng; Những đường nhìn thấy vẽ nét liền, đường khơng nhìn thấy vẽ nét đứt Chú ý: Các quy tắc khác đề cập sau II CÁC TÍNH CHẤT THỪA NHẬN CỦA HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Tính chất Có đường thẳng qua hai điểm phân biệt cho trước Tính chất Có mặt phẳng qua ba điểm khơng thẳng hàng cho trước Như vậy, mặt phẳng hồn toàn xác định biết ba điểm A, B, C khơng thẳng hàng Mặt phẳng kí hiệu ABC  đơn giản  (Hình 11) Tính chất mp  ABC  hay Nếu đường thẳng qua hai điểm phân biệt mặt phẳng điểm đường thẳng nằm mặt phẳng P Như vậy, đường thẳng d qua hai điểm phân biệt A, B mặt phẳng   điểm P P P đường thẳng d nằm mặt phẳng   Khi đó, ta nói d nằm   ,   chứa d , P   qua d , kí hiệu: d   P P d hay   (Hình 12 ) Tính chất Tồn bốn điểm khơng nằm mặt phẳng Tính chất Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng có đường thẳng chung chứa tất điểm chung hai mặt phẳng P Q Nếu hai mặt phẳng phân biệt     có điểm chung chúng có đường thẳng chung d chứa tất điểm chung hai mặt phẳng Đường P Q thẳng d gọi giao tuyến hai mặt phẳng     , kí hiệu d  P    Q  (Hình 16) Nhận xét: - Có thể xác định giao tuyến hai mặt phẳng cách tìm hai điểm chung chúng Đường thẳng qua hai điểm chung giao tuyến cần tìm P P - Để tìm giao điểm đường thẳng a mặt phẳng   (với giả thiết a cắt   ), ta làm sau: P - Chọn đường thẳng b thích hợp mặt phẳng   tìm giao điểm M hai đường thẳng a b Khi đó, M giao điểm cần tìm Tính chất Trên mặt phẳng không gian, kết biết hình học phẳng III MỘT SỐ CÁCH XÁC ĐỊNH MẶT PHẲNG Định lí Cho điểm A khơng thuộc đường thẳng d Khi đó, qua điểm A đường thẳng d có mặt mp  A, d  A, d  phẳng, kí hiệu  Định lí Cho hai đường thẳng a b cắt Khi đó, qua a b có mặt phẳng, kí hiệu mp  a, b  Nhận xét: Từ Tính chất hai định lí trên, ta thấy mặt phẳng hoàn toàn xác định theo ba cách sau: Đi qua ba điểm không thẳng hàng Đi qua đường thẳng điểm nằm ngồi đường thẳng Đi qua hai đường thẳng cắt IV HÌNH CHĨP VÀ HÌNH TỨ DIỆN Hình chóp P A A  An  n 3 P Trong mặt phẳng   , cho đa giác Lấy điểm S nằm   Nối S với đỉnh A1 , A2 , , An ta n tam giác: SA1 A2 , SA2 A3 ,, SAn A1 Hình gồm đa giác A1 A2  An n tam giác SA1 A2 , SA2 A3 , , SAn A1 gọi hình chóp, kí hiệu S A1 A2  An Chú ý - S.A1A …A n Trong hình chóp Điểm S gọi đỉnh; - Đa giác  A1 A2  An gọi mặt đáy; SA , SA ,, SAn Các cạnh mặt đáy gọi cạnh đáy, đoạn thẳng gọi cạnh bên; SA A , SA2 A3 ,, SAn A1 gọi mặt bên Các tam giác  Nếu đáy hình chóp tam giác, tứ giác, ngũ giác, hình chóp tương ứng gọi hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ S A1 A2 A3 A4 A5 giác, Hình 23 minh hoạ cho hình chóp ngũ giác - Hình tứ diện Cho bốn điểm A, B, C , D không nằm mặt phẳng Hình gồm bốn tam giác ABC , ACD, ABD BCD gọi hình tứ diện (hay ngắn gọn tứ diện), kí hiệu ABCD Chú ý  - Trong hình tứ diện ABCD (Hình 26) Các điểm A, B, C , D gọi đỉnh Các đoạn thẳng AB, BC , CD, DA, CA, BD gọi cạnh Hai cạnh khơng có điểm chung gọi hai cạnh đối diện Các tam giác ABC , ACD, ABD, BCD gọi mặt - - Đỉnh không nằm mặt gọi đỉnh đối diện với mặt  Hình tứ diện có mặt tam giác hình tứ diện  Mỗi hình chóp tam giác hình tứ diện Ngược lại, ta quy định rõ đỉnh mặt đáy hình tứ diện hình tứ diện trở thành hình chóp tam giác Nhận xét: Để chứng minh ba điểm thẳng hàng, ta ba điểm thuộc hai mặt phẳng phân biệt B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng Tìm giao tuyến hai mặt phẳng Phương pháp Để xác định giao tuyến hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm chung chúng Đường thẳng qua hai điểm chung giao tuyến Chú ý: Điểm chung hai mặt phẳng  P  Q thường tìm sau: - Tìm hai đường thẳng a b thuộc mặt phẳng  P  Q nằm mặt phẳng  R P Q - Giao điểm M a  b điểm chung mặt phẳng     Các ví dụ rèn luyện kĩ Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD, đáy tứ giác lồi ABCD có cạnh đối khơng song song với Gọi M điểm cạnh SA Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng: a (SAC) (SBD) b (SAB) (SCD) c (SBC) (SAD) d (BCM) (SAD) e (CDM) (SAB) f (BDM) (SAC) Giải a Trong mp (ABCD): S AC  BD  O    AC   SAC    O   SAC    SBD   BD   SBD    Mà S   SAC    SBD  nên M D A SO  SAC    SBD  O b Trong (ABCD) ta có: S   SAB    SCD  nên SF  SAB    SCD  C B AB  CD  F    AB   SAB    F   SAB    SCD   CD   SCD    Mà E F c Trong (ABCD) ta có: BC  AD  E    BC   SBC    E   SAD    SBC   AD   SAD    S   SAD    SBC  Mà d Ta có: nên SE  SAD    SBC  M   MBC    SAD  E  BC  AD  E   MBC    SAD  Nên ME  MBC    SAD  e Ta có: M   MCD    SAB  F AB  CD  F   MCD    SAB  Vậy MF  MCD    SAB  f Ta có: M   BDM    SAC  O   BDM    SAC  Do MO  BDM    SAC  Ví dụ Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P ba điểm nằm ba cạnh AB, CD, AD Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng: a (ABN) (CDM); b (ABN) (BCP) Giải a Ta có M N hai điểm chung hai mặt phẳng (ABN) (CDM), nên giao tuyến hai mặt phẳng đường thẳng MN b Trong mặt phẳng (ACD): AN cắt CP K Do K điểm chung hai mặt phẳng (BCP) (ABN) Mà B điểm chung hai mặt phẳng nên giao tuyến chúng đường thẳng BK A P M K B D N C Ví dụ Cho tứ diện ABCD Gọi I, J trung điểm AD BC a) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng  IBC   JAD  b) Điểm M nằm cạnh AB, điểm N nằm cạnh AC Tìm giao tuyến hai mặt phẳng  IBC   DMN  Lời giải a) Ta có: I  AD  I   JAD    IBC  J  BC  J   JAD    IBC  Do IJ  IBC    JAD  b) Trong mặt phẳng Trong mặt phẳng Do  ABC   ACD  E   DMN    IBC  gọi E DM  IB suy F   DMN    IBC  gọi F DN  IC suy EF  DMN    IBC  Ví dụ Cho tứ diện ABCD Điểm M nằm bên tam giác ABD, điểm N nằm bên tam giác ACD Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng sau: a)  AMN   BCD  b)  DMN   ABC  Lời giải a) Trong mặt phẳng  ABD  gọi Q  AM  BD Q   AMN    BCD  Khi Tương tự gọi Do P  AN  CD  P  AMN    BCD  PQ  AMN    BCD  b) Trong mặt phẳng  ABD  gọi E DM  AB suy E   DMN    ABC  mặt phẳng  ACD  gọi F DN  AC suy F   DMN    ABC  Do EF  DMN    ABC  Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình bình hành tâm O, gọi M, N, P trung điểm BC, CD SO Tìm giao tuyến a) Mặt phẳng  MNP   SAB  b) Mặt phẳng  MNP   SBC  Lời giải SHN  Q  Q   MNP    SAB  a) Gọi H  NO  AB , mặt phẳng  dựng NP cắt SH Gọi F  NM  AB  F   MNP    SAB  Do QF  SAB    MNP  b) Trong mặt phẳng Do  SAB  , gọi E QF  SB  E  SBC    MNP  ME  MNP    SBC  Bài tập trắc nghiệm Dạng Tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng Phương pháp Muốn tìm giao điểm đường thẳng a mặt phẳng β    , ta tìm giao điểm a đường thẳng b nằm a   b a  b M    M a     b      M α Phương pháp: - Bước 1: Xác định mp   - Bước 2: Tìm giao tuyến - Bước 3: Trong chứa a b           : a  b M , mà b     , suy M a     Các ví dụ rèn luyện kĩ Ví dụ Cho tứ giác ABCD (khơng có cặp cạnh đối song song) nằm mặt phẳng không nằm    S điểm   a Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng: (SAC) (SBD), (SAB) (SCD) b Gọi M N trung điểm cạnh SC SD Tìm giao điểm P đường thẳng BN với mặt phẳng (SAC) c Gọi Q R trung điểm SA SB Chứng minh bốn điểm M, N, Q, R đồng phẳng Giải a * Giao tuyến mặt mp(SAC) mp(SBD): Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD Ta có: S   SAC     S   SAC    SBD  S   SBD   S (1) Q Từ (1) suy S điểm chung thứ mp(SAC) mp(SBD)     O   SAC   AC   SAC      O   SAC    SBD  O  BD     O   SBD   BD   SBD    (2) O  AC N R M P A T B C Từ (2) suy O điểm chung thứ hai mp(SAC) mp(SBD) Vậy SO  SAC    SBD  D O J * Giao tuyến mp(SAB) mp(SCD): Gọi E giao điểm AB CD Ta có: S   SAB     S   SAB    SCD  S   SCD   (3) Từ (3) suy S điểm chung thứ mp(SAB) mp(SCD)    E  SAB     AB   SAB      E   SAB    SCD  E  CD     E   SCD   CD   SCD    E  AB (4) Từ (4) suy E điểm chung thứ hai mp(SAB) mp(SCD) Vậy: SE  SAB    SCD  b Trong mp(SBD), hai đường thẳng SO, BN cắt P, ta có: P  BN   P  SO   SAC   P   SAC  P giao điểm BN (SAC) Vậy P giao điểm cần tìm c Chứng minh bốn điểm M, N, Q, R đồng phẳng:  Trong mp(SCD), gọi T giao điểm MN SE Ta có MN đường trung bình tam giác SCD nên MN∥ CD Xét tam giác SDE, ta có:  MN∥ CD  N trung điểm cuûa SD   T trung điểm SE Tương tự, QR đường trung bình tam giác SAB nên QR∥ AB Xét tam giác SAE, ta có:  QR∥ AB  Q trung điểm SA  QR qua trung điểm T SE Như vậy, bốn điểm M, N, Q, R nằm mặt phẳng tạo hai đường thẳng cắt TN TQ nên chúng đồng phẳng Ví dụ Trong mặt phẳng tam giác SCD    , cho tứ giác ABCD Gọi S điểm không thuộc    , M điểm nằm a Xác định giao tuyến hai mặt phẳng (SAM) (SBD) b Xác định giao điểm AM mặt phẳng (SBD) Giải a Xác định giao tuyến hai mặt phẳng (SAM) (SBD): Gọi N giao điểm SM CD, gọi E giao điểm aN BD Rõ ràng mp  SAM  mp  SAN  Ta có: E  AN  E   SAM     E   SAM    SBD  E  BD  E   SBD   Mặt khác: S   SAM    SBD  Từ (1) (2) suy ra: S  1 M A  2 SE  SAM    SBD  F D E b Xác định giao điểm AM mặt phẳng (SBD) Ta có: N B C   SAM   AM   SAM    SBD  SE   F AM   SBD   F  AM  SE   SAM   Ví dụ Cho tứ diện SABC Trên cạnh SA lấy điểm M, cạnh SC lấy điểm N, cho MN khơng song song vói AC Cho điểm O nằm tam giác ABC Tìm giao điểm mặt phẳng (OMN) với đường thẳng AC, BC AB Giải Trong mp(SAC): MN  AC  K , mà MN   OMN  S nên  K AC   OMN  Trong mp(ABC): M N OK  BC  H , mà OK   OMN  nên C A  H BC   OMN  Ta OK  AB  G có: , OK   OMN  mà H O G K B nên  G AB   OMN  Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang ABCD Gọi E F hai điểm nằm hai cạnh SB CD a Tìm giao điểm EF với mặt phẳng (SAC) b Tìm giao điểm mặt phẳng (AEF) với đường thẳng BC SC Giải a Ta có Trong EF   SBF  mp(ABCD): S BF  AC  O , suy E  SAC    SBF  SO Trong mp(SBF): suy EF  SO  K , mà SO   SAC  , D A  K EF   SAC  b Trong mp(ABCD): AF   AEF  , suy Khi đó: H K F O AF  BC  G B , C G mà  G BC   AEF   AEF   AEG  Trong mp(SBC): EG  SC  H , mà EG   AEF  , suy  H SC   AEF  Dạng Thiết diện Phương pháp Tìm đoạn giao tuyến nối tiếp mặt cắt với hình chóp khép kín thành đa giác phẳng Đa giác thiết diện cần tìm Mỗi đoạn giao tuyến cạnh thiết diện Các ví dụ rèn luyện kĩ Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD, M điểm cạnh SC, N P trung điểm AB MNP  AD Tìm thiết diện hình chóp với mặt phẳng  Lời giải 10