Full chương 3 lời giải

CHƯƠNG : GIỚI HẠN HÀM SỐ LIÊN TỤC BÀI 1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ Định nghĩa -Ta có định nghĩa dãy số có giới hạn sau: u có giới hạn n dần tới dương vô cực n nhỏ số dương bé tuỳ ý, kể lim un 0 từ số hạng trở đi, kí hiệu n   lim un 0 Chú ý: Ngồi kí hiệu n   , ta sử dụng kí hiệu sau: limun 0 hay un  n   Dãy số  un  0 n Ta có: Nhận xét: Nếu un ngày gần tới n ngày lớn limun 0 lim -Ta có định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn sau: lim  un  a  0 u  Dãy số n có giới hạn hữu hạn a n dần tới dương vô cực n  , kí hiệu lim un a n   Chú ý: Ngồi kí hiệu lim un a n   , ta sử dụng kí hiệu sau: limun a hay un  a n   Chú ý: -Một dãy số có giới hạn giới hạn -Khơng phải dãy số có giới hạn, chẳng hạn dãy số  un  n với un ( 1) Một số giới hạn Ta chứng tỏ giới hạn sau: 1 lim 0; lim k 0 n n a) với k số nguyên dương cho trước; b) lim c) Nếu c c 0; lim k 0 n n với c số, k số nguyên dương cho trước; q 1 n limq 0 ; n  1  1 un    e lim    un   n  có giới hạn số vơ tỉ gọi giới hạn e ,   n d) Dãy số với Một giá trị gần e 2,718281828459045 n II ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN Ta có định lí giới hạn hữu hạn tổng, hiệu, tích, thương thức sau: a) Nếu limun a, limvn b thì: lim  un   a  b; lim  un   a  b lim  un  a.b; lim un a   0, b 0  b lim un  a b) Nếu un 0 với n limun a a 0 III TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN Trong trường hợp tổng quát, ta có: n q 1 Cấp số nhân vô hạn u1 , u1q, , u1q ,  có cơng bội q thoả mãn gọi cấp số nhân lùi vô hạn u S u1  u1q  u1q   1 q Tổng cấp số nhân lùi vô hạn cho là: IV GIỚI HẠN VƠ CỰC -Ta có định nghĩa dãy số có giới hạn vơ cực sau: u  Ta nói dãy số n có giới hạn  n   , un lớn số dương bất kì, kể từ số hạng trở lim un  Kí hiệu : n   hay limun  hay un   n   lim   un   u  -Ta nói dãy số n có giới hạn   n   n  lim un   Kí hiệu n   hay limun   hay un    n   Nhận xét limn k  với k số nguyên dương cho trước limq n  với q  số thực cho trước limvn    Nếu limun a limvn  (hoặc lim Nếu limun a, a  limvn 0,  với n limun   lim   un    un 0 lim un  B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng Giới hạn hữu tỉ Phương pháp k Để tính giới hạn dãy số dạng phân thức, ta chia cà tử thức mẫu thức cho luỹ cao n , với k bậc cao mẫu, áp dụng quy tắc tinh giới hạn Chú ý : Cho P ( n) , Q ( n) đa thức bậc m, k theo biến n: P ( x) = am n m + am- 1n m- +L + a1n + a0 ( am = / 0) Q ( n) = bk n k + bk - 1n k - +L + b1n + b0 ( bk = / 0) lim Khi P ( n) = lim Q ( n) am n m bk n k P ( n) , viết tắt Q ( n) : am n m bk n k Nếu « bậc tử » < « bậc mẫu ( m < k ) Nếu « bậc tử » = « bậc mẫu ( m = k ) Nếu « bậc tử » > « bậc mẫu ( m > k ) Để ý m P ( n) , Q ( n ) k n k tì có bậc n Ví dụ , ta có trường hợp sau : lim lim lim P ( n) Q ( n) P ( n) Q ( n) = = am bk P ( n) ìï +¥ am bk > = ïí Q ( n) ïïỵ - ¥ am bk < có chứa « » ta tính bậc Cụ thể 4 , , n n có bậc có bậc Trong sau ta dùng dấu hiệu để kết cách nhanh chóng ! Các ví dụ rèn luyện kĩ Ví dụ Tính lim 3n3  5n  2n3  6n2  4n  Giải  3n  5n  n n3 lim lim  2n  6n  4n  2   n n n3 3 Ví dụ 2: Tính n + 2n2 n + 3n- lim Lời giải Ta có + n + 2n n = = lim = lim n 1 n + 3n - 1+ - n n Giải nhanh : Dạng « bậc tử » < « bậc mẫu » nên kết Ví dụ 3: Tính lim n7 + n n + 3n - Lời giải lim n +n n » = n = +¥ n + 3n - n 2n + b un = u 5n + Ví dụ 4: Cho dãy số ( n ) với giá trị b bào nhiêu b u tham số thực Để dãy số ( n ) có giới hạn hữu hạn, Lời giải Ta có b 2+ 2n + b n = ( "b Ỵ ¡ ) lim un = lim = lim 5n + 5+ n Giải nhanh : 2n + b 2n : = 5n + 5n un = u Ví dụ 5: Cho dãy số ( n ) với với bỴ ¡ 4n2 + n + an2 + Để dãy số cho có giới hạn , giá trị a Lời giải 4n + n + 2 = lim un = lim = lim an + Giải nhanh : 2: 4+ + n n = (a= / 0) Û a = a a+ n 4n + n + 4n : = Û a = an + an a L = lim Ví dụ 6: Tính giới hạn ( n2 + 2n) ( 2n3 +1) ( 4n+ 5) ( n4 - 3n- 1)( 3n2 - 7) Li gii ổ 2ử ữổ ỗ ỗ 1ử ữổ ỗ 5ữ 1+ ữ 2+ ữ 4+ ữ ỗ ữỗ ữỗ ỗ ỗ ỗ ( n2 + 2n)( 2n3 +1) ( 4n + 5) è nø è n3 ø è n÷ ø 1.2.4 L = lim = lim = = ỉ ỉ 1.3 n n n ( )( ) ữ ữ ỗ ỗ ỗ1- - ữỗ3 - ữ ỗ ố ( n2 + 2n)( 2n3 +1) ( 4n + 5) : n - 3n - 1) ( 3n - 7) ( Gii nhanh: n ữỗ ố n ứ ữ n ứ n 2n3 4n = n 3n Dạng Dãy số chứa thức Phương pháp Nếu biểu thức chứa thức cần nhân lượng liên hiệp để đưa dạng  A B A B A B A B A B lượng liên hiệp là: A  B lượng liên hiệp là: A  B Các ví dụ rèn luyện kĩ lượng liên hiệp là: A  B lượng liên hiệp là:  A  B A  B2    dụ Tính   Ví lượng liên hiệp là:  A  B A  B    lim  n2   n2     Giải lim  n2    Ví dụ Tính n2   n2  n   lim lim 0 2 2  n 7  n 5 n 7  n 5 ( lim ) n2 - n +1- n Lời giải n - n +1 - n : n - n = ắắ đ nhõn lng liờn hp : lim 1 n n - n +1 - n = lim = lim =2 1 n - n +1 + n - + +1 n n ( - n +1 n - n +1 - n = n - n +1 + n Giải nhanh : Ví dụ Tính lim  - 1+ - n +1 ) n2  n3  n : - n n +n =-  Lời giải 3 n - n3 + n : lim ( - n + n = ắắ đ ) n2 n - n3 + n = lim 3 ( n2 - lim é n ê ë ( n ) = lim - n n - n3 + n n2 n - n3 + n = Giải nhanh : Ví dụ Tính nhân lượng liên hợp : (n - n ) ổ ỗ ỗ ỗ ốn : - n n - n3 + n 2 ÷1÷ ÷ ø - +1 n = n2 = n - n - n +n 3 ) nù ú û n +1- Lời giải n ( n +1 - lim n ( ) n : n +1 - n n- ) n = lim n Giải nhanh : ( ( n +1 - ) n = ắắ đ n n +1 + n ) n = nhân lượng liên hợp : = lim 1 + +1 n n n +1 + n : = n = n+ n Dạng Tính giới hạn dãy số chứa hàm mũ Phương pháp un mà un ; hàm số mũ chia tử mẫu cho a n với a số lớn Sau Trong tính giới hạn q  lim q n 0 lim sử dụng công thức: với Các ví dụ rèn luyện kĩ Ví dụ 1: Tính lim 3n  2.5n 1 2n 1  5n Lời giải 3n  2.5n 1  2.5n 1 ~  10 n 1 n 5n Giải nhanh :  5 n lim 3n  2.5n 1 n 1  5n Cụ thể : lim Ví dụ 2: Tính  3    10 lim   n  10  2     5 3n  4.2n 1  3.2n  4n Lời giải n 3n  4.2n 1  3n   ~ n      n n 3.2  4   Giải nhanh : n n n  3 1  1       n n 1    4.2   2    0 lim lim   n n n 3.2  1     2 Cụ thể : Ví dụ 3: Tính   1 lim n 25n 1 35n 2 Hướng dẫn giải Cách 1: Giải tự luận   1 lim n 25n 1 35n 2 Ta có: n 2 2 lim   1   0 9 3 n Cách 2: Mẹo giải nhanh   1 n 25n 1 n 2   1    3 35n 2 Ví dụ 4: Tính lim 5n 0 3n  4.2n 1  3.2 n  n Hướng dẫn giải Cách 1: Giải tự luận n n  3  2    4.2    n n 1  4.2    n  4  n n n 3.2   2     4 Ta có: (chia tử mẫu cho n ) Suy lim 3n  4.2n 1  3.2 n  n  0 Cách 2: Mẹo giải nhanh 3n  4.2n 1  3.2n  4n 3n n  3    0 n  4 Ví dụ 5: Có giá trị nguyên a 0;20) thuộc ( cho lim 3+ an2 - 1 3+ n2 2n số ngun Lời giải Ta có ìï ïï a- 2 ïï lim an - = lim n =a ïï 3+ n2 an2 - 1 ïí +1 Þ lim + = 3+ a n ïï 3+ n2 2n n ïï 1÷ ïï lim = limổử ỗ ữ ỗ n ữ=0 ùù ỗ ố 2ứ ợ ỡù a ẻ ( 0;20) , a ẻ Â ùớ ắắ đ a ẻ {1;6;13} ùù a + ẻ Â ợ Ta cú Dng Tổng cấp số nhân lùi vô hạn Phương pháp Cấp số nhân lùi vô hạn cấp số nhân vơ hạn có cơng bội q   Tổng số hạng cấp số nhân lùi vô hạn (un) u S u1  u2   u n   1 q  Mọi số thập phân biểu diễn dạng luỹ thừa 10 X N,a1a2a3 an N  a1  a2 10 102  a3 103   an 10n  Các ví dụ rèn luyện kĩ  1 1 1,  , ,  , ,     2 Ví dụ 1: Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn n , Lời giải Theo đề cho ta có: u1 1, q  u S   1 q 1 Ví dụ 2: Cho số thập phân vơ hạn tuần hồn a 0,212121 (chu kỳ 21) Tìm a dạng phân số Lời giải Cách 1: Giải tự luận Ta có: a 0,212121 0,21  0,0021  0,000021    1 21     10 10  10  1 1 S    u1  ,q 10 10 10 10 102 Tổng tổng cấp số nhân lùi vơ hạn có u S   10  1 q 99 1 A 21  10 99 33 Do Cách 3: Giải nhanh máy tính Nhập vào hình 0,  21  ấn phím ta kết 33 Ví dụ 3: Tổng Sn 1  0,9   0,9    0,9     0,9  n  có kết bao nhiêu? Hướng dẫn giải S 1  0,9   0,9    0,9     0,9  n  Đây tổng cấp số nhân lùi vô hạng có u1 1, q 0,9 u S  10  q  0,9 Ví dụ 4: Cho S 1  q  q  q  , q  T 1  Q  Q  Q  , Q  E 1  qQ  q Q  q 3Q  Biểu thị biểu thức E theo S, T Hướng dẫn giải  S 1  q  q  q3  , q  tổng cấp số nhân lùi vô hạn, có u S S   q  q  q S Khi đó:   ) T T  Q 1 Q T Tương tự: u1 1, q q (1) (2) E 1  q.Q  q2 Q2  q3 Q3  tổng cấp số nhân lùi vơ hạng cơng bội qQ (vì qQ  , u1 1 u E 1  qQ (3) u1 ST E  E T  S S T  1 T S Thay (1), (2) vào (3): Ví dụ 5: Tìm số hạng U1 S 4; q  cấp số nhân lùi vô hạn, biết Hướng dẫn giải u u S  q     u1 2 1 q 1 Ta có:   Ví dụ 6: Tìm cơng bội cấp số nhân lùi vô hạn, biết S  6; U1  Hướng dẫn giải u 3 S  q 1     q 1 q 1 q Ta có:   Dạng 5: Phương pháp sai phân quy nạp tính giới hạn Phương pháp 1) Dạng tồng phân số A Ví Dụ: 1   , n 2, n  N 2.3 3.4 n(n 1) 1   Ta phân tích : k (k  1) k k  (1) Để tính A ta thay k từ 2, 3,, n vào biểu thức (1) ta tính dễ dàng 2) Dạng tích phân số: Ví dụ: B 22  32   , n 2, n  N 22 k2  k  k  : (2) k k 1 Ta phân tích: k Để tính B ta thay k từ 2,3,, n vào biểu thức (2) ta tính dễ dàng 3) Dang đa thức: a) Mỗi đơn thức dạng tích: Ví dụ: C 1.2.3  2.3.4 99.100.101 Ta tách: 4k (k  1)(k  2) : k ( k  1)(k  2)[( k  3)  (k  1)] , k 1, k  N ( ( k  1) k ( k  1)( k  2)  k (k  1)( k  2)( k  3)) : (3) Để tính C ta thay k từ : 1,2,3,…, 99 vào biểu thức (3) ta tính dễ dàng Ví dụ: D 3.5.7  5.7.9  (2n  1)(2n  3)(2n  5), n 1, n  N Ta tách: (2k  1)(2k  3)(2k  5) (2k 1)(2k  3)(2k  5)[(2k  7)  (2k 1)] : ((2k  1)(2k  3)(2k  5)(2k  7)  (2k  1)(2k 1)(2k  3) (2k  5)) : (4) Đề tính D ta thay k từ : 1, 2,3,, n vào biều thức (4) ta tính dễ dàng ) Đơn thức dạng lũy thừa 3 Ví Dụ: Tính E 1   n , n  N n 1 3 Ta dùng hẳng đẳng thức : ( x  1) x  x  3x  x 1 23 13  3.12  3.1  x 2 33 23 3 22  2  … x n (n  1)3 n3  n  n  Cộng vế theo vế (n  1)3  13 3 12  22  n  3(1    n)  n   3n( n  1) n  n(n  1)  3E n  3n  3n    n   2n  3n  n   n(n  1)(2n  1) E  n  3n  3n 3E  Ngồi ta dự đốn số hạng tổng quát, kết hợp quy nạp để khẳng đinh Có thể ùng vịng lặp MTCT để giải tốn Các ví dụ rèn luyện kĩ Ví dụ 1: Cho 1 un     1.2 2.3 n  n  1 Tính lim un Lời giải Ta ln có:  1   k k 1 k  k  1 áp dụng vào un : 1 1 un      1.2 2.3 3.4 n  n  1 1 1  1  1 1                  1  n 1 1 2  3  4  n n 1    lim u n lim    1 n    Do đó: un  Ví dụ 2: Cho 1 1     3.5 5.7 7.9  2n  1  2n  1 Tính lim un Lời giải Ta ln có: un  1 1      2k  1  2k  1  2k  2k   1 1     3.5 5.7 7.9  2n  1  2n  1 1 1 1 1 1 1 1 1                   2 5 2 7 2 9  2n  2n   1 1       2n   1 1  lim u n lim    2n    Do Ví dụ 3: lim     n 2n2 bao nhiêu? Lời giải 10