Bài 2 4 ôn chương 2 lời giải

ÔN TẬP CHƯƠNG PHẦN 1: GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Bài 1: Cho dãy số dãy số A 27  un   un  xác định bởi: u1  un 3un  với n 2 Số hạng thứ năm là: B C 81 D 243 Lời giải Chọn A un 3 u1  u   u n cơng bội Ta có: n  Do dãy số cấp số nhân với số hạng đầu un  3n 3n * q 3 nên ta có số hạng tổng quát là: với n  N Do số hạng thứ năm dãy số Bài 2:  un  là: u5 35 27 Trong dãy số sau, dãy số cấp số cộng? 11 15 , , 2, , 4 B 1 1 , , , , D 20 30 40 50 60 A 21,  3,  27,  51,  75 C 1, 2, 3, 4, Lời giải Chọn A Dãy số 21;  3;  27;  51;  75 lập thành cấp số cộng có số hạng đầu u1 21 công sai d  24 Bài 3: Cho cấp số cộng quát un là:  un  có số hạng đầu u1  , công sai d 4 Công thức số hạng tổng A un   4n u   4n C n B un   4n D un   4n Lời giải Chọn D Công thức số hạng tổng quát cấp số cộng Bài 4: Tổng 100 số tự nhiên lẻ tính từ là: A 10000 B 10100 un    n  1 4n  C 20000 D 20200 Lời giải Chọn A Các số tự nhiên lẻ lập thành cấp số cộng với số hạng đầu u1 1 công sai d 2 Do tổng 100 số hạng cấp số cộng là: 100    99.2  S100  10000 Bài 5: u Trong dãy số  n  cho phương pháp truy hồi sau, dãy số cấp số nhân? u u un   n  1 A Dãy số  n  xác định bởi: u1 1 n với n 2 u B Dãy số  n  xác định bởi: u1 1 un 2un   với n 2 u u un2 với n 2 C Dãy số  n  xác định bởi: u1 1 n u  un  n u D Dãy số  n  xác định bởi: u1 3 với n 2 Lời giải Chọn D Dãy số  un  u  un  n xác định bởi: u1 3 với n 2 cấp số nhân với số hạng q u  3 đầu Bài 6: Cho cấp số nhân A 2016  un  có u1  , công bội B 2017 q  1 10 Khi 102017 số hạng thứ: C 2018 D 2019 Lời giải Chọn C   un   1     10  Số hạng tổng quát cấp số nhân là:  1 Xét un   1     10  n n  1  1        10   10   n  2017  n 2018 Bài 7: Trong dãy số A un sinn  un  n  2017 10 2017 sau đây, dãy số dãy số tăng? u  n n u n( 1) n B n C D un 2n 1 Lời giải Chọn D Ta có: un 1 2n 11 2n 2 Xét hiệu un 1  un 2n 2  2n 3.2n  với n  N* Vậy dãy số cho dãy số tăng Bài 8: Xét tính tăng, giảm bị chặn dãy số  un  sau, biết số hạng tổng quát: a) un  n2 un  n n c) un ( 1) n n  ; b) Lời giải un 1  a) Ta có: (n  1)2 (n  1)  n 1 1 n2 Xét hiệu (n  1)3  n  n   n  3n  3n   n3  2n (n  1) n2 u n 1  u n     n2 n 1  n    n 1  n    n 1  n  3n   n  N *  n    n  1   Vì dãy số cho dãy số tăng b) Ta có: Xét hiệu un 1  n 1 un 1  un  n 1    n  n 1  n 5 5 Vì dãy số cho dãy số giảm Bài 9: Cho cấp số cộng  un  Tìm số hạng đầu u1 , công sai d trường hợp sau: a) u2  u5 42 u4  u9 66 ; b) u2  u4 22 u1 u5 21 Lời giải a) Ta có: u2  u5 u1  d  u1  3d 42  2u1  d 42 Ta lại có: u  u u1  d  u1  d 2u1  11 d 66 Khi ta có hệ phương trình:  2u1  4d 42   2u1  11d 66  99  u1     d  24  Vậy số hạng đầu cấp số cộng là: u1  99 24 d cơng sai b) Ta có: u2  u4 u1  d  u1  3d 22  2u1  d 22  u1  d 11  u1 11  d Ta lại có: u1.u5 u1  u1  4d  21 Thay u1 11  2d vào biểu thức được:  11  2d   11  2d  4d  21   11  2d   11  2d  21  121  4d 21  d 5 d  Với d 5 u1 1 Với d  u1 21 Bài 10: Cho cấp số nhân  un  Tìm số hạng đầu u1 , công bội q trường hợp sau: a) u6 192 u7 384 b) u1  u2  u3 7 u5  u2 14 Lời giải u6 u1 q 192 u7 u1 q 384 a) Ta có u6 u1q 192     q 384 Xét: u7 u1 q  1 u1 192 :   6144  2 Suy ra: q u  6144 Vậy cấp số nhân có số hạng đầu u cơng bội b) Ta có: u1  u2  u3 u1  u1 q  u1 q 7    u1  q  q 7 Và u5  u2 u1 q  u1 q 14    u1q q  14 u1   q  q  Suy ra:  u1q  q  1  14 u1   q  q  u1q  q  1   q  q   14  q  q  1  q  q  0  q 2    q  q 2 u1 1 q  u1 7 Bài 11: Tứ giác ABCD có số đo bốn góc A, B, C , D theo thứ tự lập thành cấp số cộng Biết số đo góc C gấp lần số đo góc A Tính số đo góc tứ giác ABCD theo đơn vị độ Lời giải Do A, B, C, D theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên ta có: B  A  d ; C  A  2d ; D  A  3d Mặt khác: A  B  C  D 360  A  A  d  A  2d  A  3d 360  A  6d 360  A  3d 180 Ta lại có: A  2d 5 A  d 2 A  A 180  A 22,5 d 45  B 67,5 , C 112,5 , D 157,5 Bài 12: Người ta trồng theo hàng ngang với quy luật: hàng thứ có cây, hàng thứ hai có cây, hàng thứ ba có cây, hàng thứ n có n Biết người ta trồng hết 4950 Hỏi số hàng trồng theo cách bao nhiêu? Lời giải Giải sử người ta trồng n hàng Số hàng lập thành cấp số cộng với u1 1 , công sai d  Tổng số n hàng là: Sn  n 1 n  n  n  1 2  n  n  9900 0 4950  n 99 ( thảo mãn )   n  100 ( khơng thảo mãn ) Vậy có 99 hàng trồng theo cách Bài 13: Một tháp có 11 tầng Diện tích mặt sàn tầng nửa diện tích mặt đáy tháp diện tích mặt sàn tầng nửa diện tích mặt sàn tầng bên Biết mặt đáy tháp có diện tích 12288 m Tính diện tích mặt sàn tầng tháp theo đơn vị mét vuông Lời giải Diện tích mặt đáy tháp  u1 12288 m  6144 m u  12 Diện tích mặt sàn tầng là: 288  * Gọi diện tích mặt sàn tầng n un với n  N  q , có số hạng tổng quát là: Dãy un lập thành cấp số nhân u1 12288 công bội 1 un 12288    2 n Diện tích mặt tháp mặt tháp thứ 11 nên ta có:  1 u11 12 288    2 Bài 14: 11 12  m   Một khay nước có nhiệt độ 23 C đặt vào ngăn đá tủ lạnh Biết sau giờ, nhiệt độ nước giảm 20% Tính nhiệt độ khay nước sau theo đơn vị độ C Lời giải * Gọi un nhiệt độ khay nước sau n (đơn vị độ C ) với n  N Ta có: u1 23; u2 23  23.20% 23   20%  23.80%; u3 23.80%.80% 23.(80%)2 ; Suy dãy un lập thành cấp số nhân với số hạng đầu u1 23 công bội q 80% có số hạng tổng quát un 23.(80%) n  độ C Vậy sau nhiệt độ khay Bài 15: u6 23 (80%)5 7,5 C Cho hình vng C1 có cạnh Người ta chia cạnh hình vng thành bốn phần nối điểm chia cách thích hợp để có hình vng C2 (Hình 4) Từ hình vng C2 lại làm tiếp tục để có hình vng C3 Cứ tiếp tục q trình trên, ta nhận dãy hình vng C1 , C2 , C3 ,, Cn ,  Gọi an độ dài cạnh a hình vng Cn Chứng minh dãy số  n  cấp số nhân Lời giải Độ dài cạnh hình vng là: a1 4 Độ dài cạnh hình vuông thứ n là: a n  10  an 1   an   n  Độ dài cạnh hình vng thứ là: an 1 10  Suy ra: an Vậy Bài 16:  an  cấp số nhân với số hạng đầu a1 4 công bội q 10 Ông An vay ngân hàng tỉ đồng với lãi suất 12% / năm Ông trả nợ theo cách: Bắt đầu từ tháng thứ sau vay, cuối tháng ông trả ngân hàng số tiền a (đồng) trả hết nợ sau năm kể từ ngày vay Hỏi số tiền tháng mà ông An phải trả đồng (làm trịn kết đến hàng nghìn)? Lời giải Gọi un số tiền sau tháng ông An nợ ngân hàng Lãi suất tháng 1% Ta có: u1 1000000000 đồng u u1  u1 1%  a u1   1%   a (đồng) u3 u1   1%   a   u1   1%   a  1%  a u1 (1  1%)2  a   1%   a  un u1 (1  1%) n   a(1  1%) n   a (1  1%) n   a(1  1%) n    a n n n Ta thấy dãy a (1  1%) ; a (1  1%) ; a(1  1%) ;; a lập thành cấp số nhân với số hạng đầu a1 a cơng bội q 1  1% 99% có tổng n  số hạng đầu là: Sn  a  (%) n    100a 1  (99%) n   99% Suy u n u1 (1  1%) n   100a 1  (99%) n    Vì sau năm = 24 tháng ơng An trả xong số tiền nên n 24 u 24 0 Do ta có: u24 u1 (1  1%) 23  100a 1  (99%) 22  0  1000000000.(99%) 23  100a 1  (99%) 22  0  a 40006888, 25 Vậy tháng ông An phải trả 40006888,25 đồng PHẦN 2: BÀI TẬP TỔNG ÔN CHƯƠNG PHẦN 1: TRẮC NGHIỆM Câu 1: Khẳng định sau sai? n 1 A Dãy số có un1 a.3 C Với a  dãy số tăng u  u 3.a B Hiệu số n 1 n D Với a  dãy số giảm Lời giải Chọn B u  u a.3n 1  a.3n a.3n   1 2a.3n Ta có n 1 n Câu 2: u  u  Cho dãy số n với un 2n  Dãy số n dãy số A Bị chặn B Giảm C Bị chặn D Tăng Lời giải Chọn D n  * ta có: un 1  un 2  n  1    2n  1 2  nên un 1  un dãy số  un  tăng Câu 3: Cho cấp số cộng hạng A 287  un   un  có u1 3 cơng sai d 7 Hỏi kể từ số hạng thứ trở số lớn 2018 ? B 289 C 288 Lời giải D 286 Chọn B u u1   n  1 d 3   n  1 7 n  un  2018  n   2018  n  Ta có: n ; Vậy n 289 Câu 4: 2022 u Xác định số hàng đầu u1 công sai d cấp số cộng  n  có u9 5u2 u13 2u6  A u1 3 d 4 B u1 3 d 5 C u1 4 d 5 D u1 4 d 3 Lời giải Chọn A u1  8d 5  u1  d   u  12d 2  u1  5d   un u1   n  1 d Ta có: Theo đầu ta có hpt:   4u1  3d 0 u 3   d 4 u1  2d  Câu 5: Cho cấp số cộng A S16  24 Chọn D  un  có u4  12 , u14 18 Tính tổng 16 số hạng cấp số cộng B S16 26 C S16  25 Lời giải D S16 24 Câu 6: u1  3d  12 u  21   u  13d 18 d 3 Gọi d công sai cấp số cộng Theo giả thiết, ta có   2u  15d  16 S16  8   42  45  24 Khi đó, u Cho cấp số cộng  n  biết u5 18 4Sn S2 n Tìm số hạng u1 công sai d cấp số cộng A u1 2 ; d 4 B u1 2 ; d 3 C u1 2 ; d 2 D u1 3 ; d 2 Lời giải Chọn A Ta có: u5 18  u1  4d 18    n  n  1 d   2n  2n  1 d    nu1    2nu1   2 4Sn S n      4u1  2nd  2d 2u1  2nd  d  2u1  d 0   Từ Câu 7:  1   suy u1 2 ; d 4 Bốn số tạo thành cấp số cộng có tổng 28 tổng bình phương chúng 276 Tích bốn số : A 585 B 161 C 404 D 276 Lời giải Chọn A Gọi số cần tìm a  3r , a  r , a  r , a  3r  a  3r  a  r  a  r  a  3r 28  a 7 a 7   2 2   a  3r    a  r    a  r    a  3r  276 r 4 r 2 Ta có:  Bốn số cần tìm , , , 13 có tích 585 Câu 8: Cho cấp số cộng A  244  un  thỏa u5  3u3  u2  21  3u7  2u4  34 B  274 Tổng 15 số hạng đầu cấp số cộng C  253 D  285 Lời giải Chọn D Giả sử cấp số cộng có số hạng đầu u1 cơng sai d Khi đó, u5  3u3  u2  21   u  u  34  u 2   d  u1  4d   u1  2d    u1  d   21   3  u1  6d    u1  3d   34 3u1  9d  21  u1  12d  34 15 S15   2.2   15  1   3   285 Từ suy Câu 9: u1 3  u 3un n  * u  u n Cho dãy số biết  n 1 , Tìm số hạng tổng quát dãy số n n n 1 n n 1 A un 3 B un 3 C un 3 D un n Lời giải Chọn A un 1 3 u n Ta có Do dãy số  un  cấp số nhân với u1 3 , công bội q 3 n n n Vậy số hạng tổng quát cấp số nhân là: un u1 q 3.3 3 Câu 10: Cho cấp số nhân A S8 3280  un  thỏa mãn: u1  u2  u3 13  u4  u1 26 B S8 9841 u  Tổng số hạng đầu cấp số nhân n C S8 3820 Lời giải D S8 1093 Chọn A u   q  q  13 q  1  26 u1  u2  u3 13      u1  q  1 26 u  u 26   q  q  13  q  2  q 3 Ta có :   u1 1 1  38  S8  3280 1 PHẦN : TỰ LUẬN Câu 11: Tìm giá trị x dương nhỏ thỏa mãn ba số sin x,sin x, cos x lập thành cấp số cộng Lời giải Theo ra, ba số sin x,sin x, cos x lập thành cấp số cộng nên suy sin x  cos x 2sin x    sin x  cos x sin x.cos  sin cos x sin x 2 3     x  x   k 2 x   k 2     3  sin  x   sin x    kZ 3   x   x    k 2  x  2  k 2   Nghiệm dương x nhỏ ứng với k 0 Vậy x  2 x Câu 12: Chứng minh ba số dương a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng số 1 , , b  c c  a a  b theo thứ tự lập thành cấp số cộng Lời giải Ba số 1 , , b  c c  a a  b lập thành cấp số cộng  c a    1   b c a b b a c a b c b  a b c b a b c a c  b c b    a   b c    b  a c  b  a, b, c lập thành cấp số cộng Câu 13: Chu vi đa giác 45 cm, số đo cạnh lập thành cấp số cộng với công sai d 3cm Biết cạnh lớn 15 cm, tính số cạnh đa giác Lời giải Gọi cạnh nhỏ đa giác u1 số cạnh đa giác n Ta có 15 u1   n  1 hay u1 18  3n   n  Tổng cạnh 45 cm, ta có 45  n  15  18  3n  2 hay 3n  33n  90 0 * Giải phương trình với n  N ; n  , ta n 5 Câu 14: Tìm ba số hạng liên tiếp cấp số cộng, biết rằng: a) Tổng chúng 15 tích chúng 105 b) Tổng chúng 21 tổng bình phương chúng 155 Lời giải Gọi ba số hạng liên tiếp cấp số cộng a, b, c  a  c 2b  * a  b  c 15  * a) Theo ra, ta có abc 105 , kết hợp với   , ta 3b 15   a  c 2b  abc 105  b 5   c 10  a 5a 10  a 105    a 3  b 5 c 7  a  b  c 15  a  c 2b abc 105  a 7  b 5 c 3   a  b  c 21  2 * b) Theo ra, ta có  a  b  c 155 , kết hợp với   , ta 3b 21   a  c 2b  a  b  c 155  b 7   c 14  a  2 a   14  a   155 a 5  b 7 c 9   a  b  c 21   a  c 2b  a  b  c 155  a 9  b 7 c 5  Câu 15: Cho ba số a,b,c theo thứ tự ba số hạng liên tiếp cấp số cộng Chứng minh 2 a  2bc c  2ab a  8bc  2b  c  Lời giải Vì a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng suy a  c 2b Ta có a  2bc  c  2ab  a  c   a  c   2b  c  a   a  c   a  c  2b  0 2 2 Suy a  2bc  c  2ab 0  a  2bc c  2ab  điều phải chứng minh 2 Lại có a  8bc   2b  c  a   a  c  c   a  2c  a  4ac  4c  a  4ac  4c Suy a  8bc   2b  c  0  a  8bc  2b  c   2 điều phải chứng minh u1 2  un   un 1 4un  9,  n 1 Câu 16: Cho dãy số xác định  v a) Chứng minh dãy số  n  với un  , n 1 cấp số nhân b) Tìm cơng thức tổng quát dãy số  un  Lời giải v un 1   4un    a) Ta có un  , suy n 1 Do 1  4un     un     4 un  un  Vậy   b) Do cấp số nhân với số hạng đầu v1 u1  2  5 công bội q 4   v1 5  n n q 4 cấp số nhân với  nên số hạng tổng quát v1.q 5.4 Suy công thức tổng quát dãy số  un  n un vn  5.4  u1  u5 51  u2  u6 102 Câu 17: Cho cấp số nhân có a) Tìm số hạng cơng bội b) Tính tổng 10 số hạng c) Tổng số hạng đầu 765 d) Số 12288 số hạng thứ mấy? Lời giải Ta có u1  u5 51   u2  u6 102 u1  u1q 51   u1q  u1q 102 u1 3 u1   q  51    q 2 u1q   q  102 a) Vậy số hạng đầu u1 3 công bội q 2  q10  210 S10 u1 3 3069 1 q 1 b) Tổng 10 số hạng c) Ta có S n u1  qn  2n 3 765  n 8 1 q 1 Vậy tổng số hạng 765 d) Giả sử un 12288 Theo công thức tổng quát cấp số nhân, ta có un u1.q n   12288 3.2 n   n 13 Vậy 12288 số hạng thứ 13 cấp số nhân u Câu 18: Tìm số hạng đầu cơng bội cấp sống nhân ( n ) , biết a) ìï u5 - u1 = 15 ïí ïï u4 - u2 = ỵ c) ìï u1 - u3 + u5 = 65 ï í ïï u1 + u7 = 325 ỵ b) ìï u20 = 8u17 ïí ïï u3 + u5 = 240 ỵ d) ìï u2 - u4 + u5 = 10 ï í ïï u3 - u5 + u6 = 20 ỵ Lời giải a) Ta có ìï u5 - u1 = 15 ïí Û ïï u4 - u2 = ỵ ïìï u q - u = 15 1 Û í ïï u q - u q = ïỵ 1 Lấy ( ) chia ( ) , ta ìï u1 = - 16 ïï í ïï q = ïïỵ ( ) ìï u q - = 15 ïï í ïï u q q - = ïïỵ ( ) ( 1) ( 2) q + 15 = Û q - 5q + = Û q = q q= Vậy ìï u1 = ïí ïïỵ q = b) Ta có c) Ta có ìï u20 = 8u17 ï Û í ïï u3 + u5 = 240 ỵ ïìï u q19 = 8u q16 1 Û í ïï u q + u q = 240 ỵï ìï u1 - u3 + u5 = 65 ïí Û ïï u1 + u7 = 325 ỵ ïìï u - u q + u q = 65 1 Û í ïï u + u q = 325 ïỵ 1 + q6 Lấy ( 2) d) Ta có chia ( 1) ïìï q = Û í ïï u q + u q = 240 ỵï , ta - q + q ìï u2 - u4 + u5 = 10 ïí Û ïï u3 - u5 + u6 = 20 ỵ = ) ìï u - q + q = 65 ïï í ïï u + q6 = 325 ïïỵ ) 325 Û + q = Û q = ±2 65 ïìï u q - u q + u q = 10 1 Û í ïï u q - u q + u q = 20 1 ïỵ Lấy ( ) chia ( ) , ta q = Vậy ( ( ì ïï u1 = 12 í ïïỵ q = Vậy ( ( 1) ( 2) ìï u1 = ïí ïï q = ỵ ) ìï u q - q + q = 10 ïï í ïï u q - q + q = 20 ïïỵ ( ) ìï u1 = ïí ïï q = - î ( 1) ( 2) ìï u1 = ïí ïïỵ q = u Câu 19: Tìm số hạng đầu cơng bội cấp sống nhân ( n ) , biết ìï u1 = ïï ïí ïï S = - b) a) ïïỵ ìï S4 = 40 ïí ïï S8 = 680 ỵ Lời giải a) Ta có ìï u1 = ïï ïí Û ïï S = - ïïỵ ïìï u1 = ïíï 8 Û ïï u q - = - 1 ïï q- ỵ ìï ïï u q - = 40 ï ìï S4 = 40 ï q- ïí Û ïí ïï S8 = 680 ïï î ïï u q - = 680 ïï q- ỵ b) Ta có ì ïíï u1 = ïïỵ q = ( 1) ( 2) Lấy ( ) chia cho ( ) , ta q + = 17 Û q = 16 Û q = ±2 Vậy 4 ìï ïï u = í ïï ïïỵ q = ìï u1 = - ïí ïï q = - ỵ Câu 20: Tìm ba số khác tạo thành cấp số cộng có tổng 6, biết hốn đổi vị trí số hạng thứ số hạng thứ hai đồng thời giữ nguyên số hạng thứ ba ta cấp số nhân Lời giải Gọi ba số cần tìm ● u1 , u2 , u3 Hơn nữa, u1 , u2 , u3 với u1 ¹ u2 ¹ u3 ¹ u1 tạo thành cấp số cộng với công sai d ¹ nên u1 , u2 = u1 + d, u3 = u1 + 2d u1 + u2 + u3 = Û u1 +( u1 + d) +( u1 + 2d) = Û u1 + d = ● u2 , u1 , u3 tạo thành cấp số nhân hay u1 + d , u1 , u1 + 2d tạo thành cấp số nhân Û ( u1 + d) ( u1 + 2d) = u12 éu1 = Û ( u1 + d) ( u1 + d + d) = u12 Û ( + - u1 ) = u12 Û u12 + 2u1 - = Û ê = - ë1 Với u1 = , suy d = : không thỏa mãn Với u1 =- , suy d = Vậy ba số cần tìm - 4, 2, Tài liệu chia sẻ Website VnTeach.Com https://www.vnteach.com Một sản phẩm cộng đồng facebook Thư Viện VnTeach.Com https://www.facebook.com/groups/vnteach/ https://www.facebook.com/groups/thuvienvnteach/