Full chương 2 lời giải

CHƯƠNG II: DÃY SỐ CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN BÀI 1: DÃY SỐ A TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I Khái niệm Ta có khái niệm sau: -Mỗi hàm số k  k m  u :  1; 2;3;; m  R  m  N*  gọi dãy số hữu hạn Do số nguyên dương tương ứng với số uk nên ta viết dãy số dạng khai triển: u1 , u2 , u3 ,, um -Số u1 gọi số hạng đầu, số um gọi số hạng cuối dãy số Ta có khái niệm dãy số vơ hạn (gọi tắt dãy số) sau: * -Mỗi hàm số u : N  R gọi dãy số vô hạn Do số nguyên dương n tương ứng với số un nên ta viết dãy số dạng khai triển: u1 , u2 , u3 ,, un , u -Dãy số cịn viết tắt  n  -Số u1 gọi số hạng thứ (hay số hạng đầu), số u2 gọi số hạng thứ hai, , số un gọi số hạng thứ n số hạng tổng quát dãy số Chú ý: Dãy số khơng đổi dãy số có tất số hạng II CÁCH CHỌN MỘT DÃY SỐ Ta cho dãy số cách sau: - Liệt kê số hạng dãy số (với dãy số hữu hạn có số hạng) - Diễn đạt lời cách xác định số hạng dãy số - Cho cơng thức số hạng tổng quát dãy số - Cho phương pháp truy hồi III DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM  un  u - Dãy số  n  - Dãy số * gọi dãy số tăng un 1  un với n  N * gọi dãy số giảm un 1  un với n  N Chú ý: u u ( 1)n có Khơng phải dãy số dãy số tăng hay dãy số giảm Chẳng hạn, dãy số  n  với n dạng khai triển:  1,1,  1,1,  1,  không dãy số tăng, không dãy số giảm IV DÃY SỐ BỊ CHẶN  un  u - Dãy số  n  u - Dãy số  n  - Dãy số * gọi bị chặn tồn số M cho un M với n  N * gọi bị chặn duới tồn số m cho un m với n  N gọi bị chặn vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới; tức tồn số m M cho m un M với n  N* B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng Tìm số hạng dãy số Phương pháp Một dãy số cho bằng: - Liệt kê số hạng (chỉ dùng cho dãy hữu hạn có số hạng); - Công thức số hạng tồng quát; - Phương pháp mô tả; - Phương pháp truy hồi Các ví dụ Ví dụ Cho dãy số ( un ) xác định un  n  (  1) n 2n  Tìm số hạng dãy số Lời giải Ta có un  n  ( 1)n  u1 0; u2  ; u3  ; u4  ; u5  2n  11 Ví dụ Cho dãy số  un  , từ dự đốn un  u 5 a)  un  : u1  n 1  u 3 un  ; b)  un  :  u1   n 1 4un Lời giải a) Ta có: u1 5 u 5  1.3 u 5  2.3 u 5  3.3 u n 5   n  1  * b) Ta có u1 3 u 3.4 u 3.4 u 3.43 u n 3.4 n   * Ví dụ Cho dãy số  un  , từ dự đốn un  u 1  un  : u1 2u   n 1 n a) ;  u1 3  un  :  b)  u n 1   un Lời giải a) Ta có: u1 1 22  u 5 23  u 13 24  u 29 25  u n 2n 1   * b) Ta có u1 3  32  u  10  32  u  11  32  u  12  32  u n  33  n   * Dạng Tính tăng giảm dãy số Phương pháp  (un) dãy số tăng  un+1 > un,  n  N* un1  un+1 – un > ,  n  N*   (un) dãy số giảm un 1 ,n  N* ( un > 0)  un+1 < un với n  N* un1  un+1 – un< ,  n  N*  un 1 , n  N* (un > 0) Các ví dụ Ví dụ Xét tính đơn điệu dãy số sau: a) un 2n  b) un  n 2n Lời giải a) Ta có: un 2n  3; un1 2( n  1)  2n   un1  un (2n  5)  (2n  3)  Suy un 1  un  dãy số cho dãy tăng un  b) Ta có: n 2n ; un1  n 1 un 1 n  2n n  1 n       2n 1 un 2n 1 n n n un1 n  1 n 1  1    n   4n  3n   u n n n Giả sử: vô lý un 1   un 1  un  u Vậy n dãy số cho dãy số giảm Ví dụ Xét tính đơn điệu dãy số sau: a) un  n n 1 b) un  n 1  n n Lời giải a) Ta có: un  n n 1 n 1 ; un1   2 n 1 (n  1)  n  2n  2 (n  1)  n  1  n  n  2n   n 1 n  un1  un    n  2n  n   n2  1  n2  2n    b) n  n  n   n3  2n  2n  n2  n    0n 1   un   n2  1  n2  2n    n2  1  n2  2n   un  dãy số giảm n 1  n n 1 n2    un1  1 n n n 1  n    n 1  n2 un1  un   1    1   n 1 n n 1     Khi ta có: n  n n   (n  1) n   n n(n  1) Giả sử: un1  un   n n   (n  1) n    n n   (n  1) n   n (n  2)  ( n  1)3  n3  2n  n3  3n  3n   n  3n    vô lý Vậy un1  un    un  dãy số giảm Ví dụ Xét tính đơn điệu dãy số sau: un   n a) b) un  n n 1 Lời giải 1  un    un 1    un 1  un   n n 1 n 1  a) Vậy dãy số b) un   un   2   1    un 1  un     n  n  1 n  dãy số giảm n 1  n 1 n 1 un1 1  Khi đó: Vậy dãy số  un  2    un1  un    n2  n2     un1  un 1    n    n  1  n   dãy số tăng Ví dụ Xét tính đơn điệu dãy số sau: a) un  2n  5n  2 b) un 2n  Lời giải un  a) 2n  2    un 1   5n   5n   5  5n   2  un1  un     5 n      Khi đó: Vậy  un  2  1   un1  un     5 n  n  n          dãy số giảm b) un 2n   un 1 2  n  1  Khi un 1  un 2  n  1    2n  5 4n    un 1  un   un  dãy số tăng Ví dụ Xét tính đơn điệu dãy số sau: 2n  un  n 1 a) b) un  n   n Lời giải un  a) 2n  3 2   un 1 2  2 n 1 n 1  n  1  1 n  N *   n  1  n  Với   un  b)  n  1 1  3  2  2  un 1  un n 1 n 1  n  1  dãy số tăng un  n   Do n   * nên n n  n 1  un 1  n 1  n  n   n   n   n  un 1   un 1  un   un  1  un  n   n 1 n 1  n dãy số giảm Ví dụ Xét tính đơn điệu dãy số sau: 3n  2n  un  n 1 a) b) un  n 1  n Lời giải a) un  Khi đó: 3n  2n  6 3n    un 1 3n   n 1 n 1 n 1 un1  un 3n    n2    3n    3  n 1  (n  1)( n  2)  n 1 6  (n  1)(n  2) 6  1   2  un1  un  n  N ( n  1)( n  2) ( n  1)( n  2)  Với   un  dãy số tăng un  b) Ta có: n 1   n n n   n 1   n 1 1 Khi n tăng dễ thấy mẫu số tăng, phân số giảm nên dãy số cho dãy số giảm Ví dụ Xét tính tăng - giảm dãy số  un  với un  3n 2n1 Lời giải un 1 3n 1 2n1 3n 1 un1  n 2   n 2  n   u n Ta có: Do un  0, n  *  un 1  un , n  *   un  u Ví dụ Xét tính tăng - giảm dãy số  n  với tăng un  n 2n Lời giải un1  Ta có: un 1 n 1 n  2n n  1      1 n 1 n 1 un n n n n  *  n 1  Với Mà u 1  n1   n un un  0, n  *  un 1  un , n  *   un  Ví dụ Xét tính tăng - giảm dãy số  un  với giảm un  3n n2 Lời giải 3n 1 un 1 3n 1 n un    n  un1     n 3   1    2 ( n  1) u ( n  1) n  u 3 n    n n  Ta có: un 1 1  1      n  n n  mà n  *  n 1 Khi đó: un 1 un 1 1  1      n  un 1 n n  mà n  *  n 2 * Hơn un  0, n   nên un 1  un  n 1  un 1  un  n 2 u  u3    un  un1     un  Do u1  u2 không tăng không giảm  un  Ví dụ 10 Xét tính tăng - giảm dãy số với un  n  n Lời giải Ta có: un1  n   n  un 1  un  n   n  n   Lại có:    n 1  n   n   n  n   n 2   n   n  0, n  * n   n   n , n  *  un 1  un  0, n  *   un  u Ví dụ 11 Với giá trị a dãy số  n  , với un  giảm na  n 1 a) dãy số tăng b) dãy số giảm Lời giải un  Ta có: a) Để b) Để  un   un  na  2 a 2 a a a   un 1 2   un 1  un  n 1 n 1 n2  n  1  n   un1  un  dãy số tăng a 0 a 2  n  1  n   un1  un  dãy số giảm a 0 a2  n  1  n   Dạng Dãy số bị chặn Phương pháp  (un) dãy số bị chăn trên M  R: un  M, n  N*  (un) dãy số bị chặn  m  R: un  m, n  N*  (un) dãy số bị chặn  m, M  R: m  un  M, n  N* Chú ý: +) Trong điều kiện bị chặn khơng thiết phải xuất dấu ‘’ +) Nếu dãy số tăng ln bị chặn u1 ; cịn dãy số giảm bị chặn u1 Các ví dụ Ví dụ Xét tính bị chặn dãy số sau: a) un  n2  2n  b) un  7n  5n  Lời giải 5 un  2    2n   2n  3 2  n   n2  a) Viết lại un dạng:  n   u     un  n 1  u1   n 2  2n    un  Với  un1 (n  1)  2n    2 u 2( n  1)  n 1 Xét: n un 1    n  2n    2n  3   n  1  2n  n  1 Nhận thấy un  un  4n  3n  4n3  n  n   4n  n3  n  2n  4n   n  6n   n  4n    10n  n  * Do đó: un 1  un    u2 1 Vậy   un    un  bị chặn 24 (5n  7)  7n  5 24 7  un    n   un  5n  5n  5(5n  7) b) Viết lại un dạng  un    un  Do đó, bị chặn Ví dụ Xét tính bị chặn dãy số sau: a) un  2n  un  b) n  n  1 Lời giải  n 0  u0    n 1  u1   un   n 2  2n   0,  u  n  a) Với  un 1 2n     n  n 1 u 2( n  1)  n Xét Do đó, suy ra: un  un    u2  1  un    un  Vậy bị chặn b) Ta dễ dàng thấy:   un  bị chặn Vì n(n  1) 2  un  bị chặn Vậy ta  un  , bị chặn Ví dụ Xét tính bị chặn dãy số sau: a) un  un  2n  b) n n2 1 Lời giải * a) Với n 0  u0  1n  N : 2n  0 nên un  đó: un  n un 1 2n   1  n  n 1 u 2( n  1)  n Xét Do đó, suy un  un    u2  u1 1 Vậy   un    un  bị chặn * b) Với n 0  u0  n  N : n  0 n   nên un 0 un  n n Và n   , n2   ,  un 1   un  bị chặn Ví dụ Xét tính bị chặn dãy số sau: a) un  2n n2  b) un  2n  2n  n2  n  Lời giải  2n 0 n  N  un 0  n    a) Vì Mặt khác, un    n2   2 n 1 2   un    un  n 1 Vậy bị chặn  2n  2n  2  n  1   n  N  un   n  n   n ( n  1)     b) Vì   2n  n  n  n   7 un   2  2 n n4 n n4 n n4 Mặt khác, Vậy  un    un  Ví dụ Cho dãy số bị chặn  un  , với un  3n  ( 1) n 4n  (  1)n 1 a) Tính số hạng dầu tiên dãy, nêu nhận xét tính đơn điệu dãy số 3n   un  u u 4n  b) Tính 2n n 1 Chứng minh Lời giải 13 16 19 u1  ; u2 1; u3  ; u4  ; u5  ; u6  , 13 15 21 23 nhận xét thấy dãy số không tăng không a) Ta có: giảm 6n    u n  8n   6n  u n 1  8n  b) Ta có  Tổng quát, với n 2k (k 1, k  Z )  un  3n  3n    un  4n  4n  3n  n 2k  1( k 0, k  Z )  un   4n  Vói Vậy với n  un  un  3n    3n  3n  3n    un  4n  un  4n   4n   4n  3n  4n  Ví dụ Xét tính bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn dãy số ( un ) cho bởi: a) un  2n  n2 b) un  n( n  1) Lời giải a) un 1  un  Hơn 2n  n    0 n 3 n  (n  3)(n  2) nên dãy dãy tăng un  2n  2( n  2)  1  2    un u1  n2 n2 n2 bị chặn 2, chặn Vậy dãy cho bị chặn un 1 n(n  1) n   1 u1  u ( n  1)( n  2) n  2 b) n dãy dãy giảm bị chặn Ví dụ Xét tính bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn dãy số a) un  n  2n n2  n  b) un   un  cho bởi: n n  2n  n Lời giải 2 n  2n   n  n  2n n  4n  n  n un 1  un     0 n  2n   n   n  n  n  3n  n  n  a) un  n  2n n2  n   n n  1  1 2 n  n 1 n  n 1 n  n 1 10