Full chương 2 vở bài tập

CHƯƠNG II: DÃY SỐ CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN BÀI 1: DÃY SỐ A TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I Khái niệm Ta có khái niệm sau: -Mỗi hàm số k  k m  u :  1; 2;3;; m  R  m  N*  gọi dãy số hữu hạn Do số nguyên dương tương ứng với số uk nên ta viết dãy số dạng khai triển: u1 , u2 , u3 , , um -Số u1 gọi số hạng đầu, số um gọi số hạng cuối dãy số Ta có khái niệm dãy số vô hạn (gọi tắt dãy số) sau: * -Mỗi hàm số u : N  R gọi dãy số vô hạn Do số nguyên dương n tương ứng với số un nên ta viết dãy số dạng khai triển: u1 , u2 , u3 ,, un ,  u -Dãy số cịn viết tắt  n  -Số u1 gọi số hạng thứ (hay số hạng đầu), số u2 gọi số hạng thứ hai, , số un gọi số hạng thứ n số hạng tổng quát dãy số Chú ý: Dãy số khơng đổi dãy số có tất số hạng II CÁCH CHỌN MỘT DÃY SỐ Ta cho dãy số cách sau: - Liệt kê số hạng dãy số (với dãy số hữu hạn có số hạng) - Diễn đạt lời cách xác định số hạng dãy số - Cho cơng thức số hạng tổng quát dãy số - Cho phương pháp truy hồi III DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM  un  u - Dãy số  n  - Dãy số * gọi dãy số tăng un 1  un với n  N * gọi dãy số giảm un 1  un với n  N Chú ý: u u ( 1) n có Khơng phải dãy số dãy số tăng hay dãy số giảm Chẳng hạn, dãy số  n  với n dạng khai triển:  1,1,  1,1,  1,  không dãy số tăng, không dãy số giảm IV DÃY SỐ BỊ CHẶN  un  u - Dãy số  n  u - Dãy số  n  - Dãy số * gọi bị chặn tồn số M cho un M với n  N * gọi bị chặn duới tồn số m cho un m với n  N gọi bị chặn vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới; tức tồn số m M * cho m un M với n  N B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng Tìm số hạng dãy số Phương pháp Một dãy số cho bằng: - Liệt kê số hạng (chỉ dùng cho dãy hữu hạn có số hạng); - Cơng thức số hạng tồng quát; - Phương pháp mô tả; - Phương pháp truy hồi Các ví dụ Ví dụ Cho dãy số ( un ) xác định un  n  (  1) n 2n  Tìm số hạng dãy số  Lời giảiLời Lời giảigiải Ví dụ Cho dãy số  un  , từ dự đốn un  u 5 a)  un  : u1  n 1  u 3 un  ; b)  un  :  u1   n 1 4un  Lời giảiLời Lời giảigiải Ví dụ Cho dãy số  un  , từ dự đốn un  u 1  un  : u1 2u   n 1 n a) ;  u1 3  un  :  b)  u n 1   un  Lời giảiLời Lời giảigiải Dạng Tính tăng giảm dãy số Phương pháp  (un) dãy số tăng  un+1 > un,  n  N* un1 un 1  un+1 – un > ,  n  N*  ,n  N* ( un > 0)  (un) dãy số giảm  un+1 < un với n  N* un1 un 1  un+1 – un< ,  n  N*  , n  N* (un > 0) Các ví dụ Ví dụ Xét tính đơn điệu dãy số sau: a) un 2n  b) un  n 2n  Lời giảiLời Lời giảigiải Ví dụ Xét tính đơn điệu dãy số sau: a) un  n n 1 b) un  n 1  n n  Lời giảiLời Lời giảigiải Ví dụ Xét tính đơn điệu dãy số sau: un   n a) b) un  n n 1  Lời giảiLời Lời giảigiải Ví dụ Xét tính đơn điệu dãy số sau: a) un  2n  5n  2 b) un 2n   Lời giảiLời Lời giảigiải Ví dụ Xét tính đơn điệu dãy số sau: 2n  un  n 1 a) b) un  n   n  Lời giảiLời Lời giảigiải Ví dụ Xét tính đơn điệu dãy số sau: a) un  3n  2n  n 1 b) un  n 1  n  Lời giảiLời Lời giảigiải Ví dụ Xét tính tăng - giảm dãy số  un  với un  3n 2n1  Lời giảiLời Lời giảigiải Ví dụ Xét tính tăng - giảm dãy số  un  với un  n 2n  Lời giảiLời Lời giảigiải Ví dụ Xét tính tăng - giảm dãy số  un  3n un  n với  Lời giảiLời Lời giảigiải Ví dụ 10 Xét tính tăng - giảm dãy số  un  với un  n  n  Lời giảiLời Lời giảigiải Ví dụ 11 Với giá trị a dãy số  un  , với un  na  n 1 a) dãy số tăng b) dãy số giảm  Lời giảiLời Lời giảigiải Dạng Dãy số bị chặn Phương pháp  (un) dãy số bị chăn trên M  R: un  M, n  N*  (un) dãy số bị chặn  m  R: un  m, n  N*  (un) dãy số bị chặn  m, M  R: m  un  M, n  N* Chú ý: +) Trong i u kiện bị chặn khơng thiết phải xuất dấu n v bị chặn khơng thiết phải xuất dấu chặn khơng thiết phải xuất dấu n khơng thiết phải xuất dấu khơng thiết phải xuất dấu t thiết phải xuất dấu t phải xuất dấu i xuất thiết phải xuất dấu t bị chặn khơng thiết phải xuất dấu n dất thiết phải xuất dấu u ‘’ +) Nếu dãy số tăng ln bị chặn u1 ; cịn dãy số giảm bị chặn u1 Các ví dụ Ví dụ Xét tính bị chặn dãy số sau: a) un  n2  2n  b) un  7n  5n   Lời giảiLời Lời giảigiải Ví dụ Xét tính bị chặn dãy số sau: a) un  2n  un  b) n  n  1  Lời giảiLời Lời giảigiải Ví dụ Xét tính bị chặn dãy số sau: a) un  2n  un  b) n n2 1  Lời giảiLời Lời giảigiải Ví dụ Xét tính bị chặn dãy số sau: a) un  2n n2  b) un  2n  2n  n2  n   Lời giảiLời Lời giảigiải Ví dụ Cho dãy số  un  , với un  3n  ( 1) n 4n  (  1)n 1 a) Tính số hạng dầu tiên dãy, nêu nhận xét tính đơn điệu dãy số b) Tính u2n u2 n 1 Chứng minh  un  3n  4n   Lời giảiLời Lời giảigiải Ví dụ Xét tính bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn dãy số ( un ) cho bởi: a) un  2n  n2 b) un  n(n  1)  Lời giảiLời Lời giảigiải Ví dụ Xét tính bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn dãy số a) un  n  2n n2  n  b) un   un  cho bởi: n n  2n  n  Lời giảiLời Lời giảigiải Ví dụ Chứng minh dãy số un  n3 n  giảm bị chặn  Lời giảiLời Lời giảigiải 1 1 un      1.2 2.3 3.4 n( n  1) tăng bị chặn Ví dụ Chứng minh dãy số  Lời giảiLời Lời giảigiải Ví dụ 10 Chứng minh dãy số un  n2  2n  dãy số bị chặn  Lời giảiLời Lời giảigiải 10