Full chương 4 cd đề bài

CHƯƠNG IV ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG BÀI 1: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHƠNG GIAN A TĨM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU Mặt phẳng Người ta thường biểu diễn mặt phẳng hình bình hành dùng chữ đặt dấu ngoặc đơn () để đặt tên cho mặt phẳng P Q  Ví dụ: mặt phẳng   (Hình 3) mặt phẳng   , mặt phẳng   , mặt  phẳng   ,… Trong thực tiễn có nhiều ví dụ minh hoạ cho mặt phẳng Chẳng hạn: gương phẳng, mặt bàn, bảng treo tường , Cho ta hình ảnh phần mặt phẳng không gian Điểm thuộc mặt phẳng P Nhận xét: Với điểm A mặt phẳng   , xảy hai khả sau: P A  P - Điểm A thuộc mặt phẳng   , ta kí hiệu (Hình 5a) P P - Điểm A không thuộc mặt phẳng   hay A nằm   , ta A  P kí hiệu (Hình 5b) 1) 2) 3) 4) Hình biểu diễn hình khơng gian a) Khái niệm Một cách tổng quát, ta quy ước: Hình vẽ mặt phẳng để giúp ta hình dung hình khơng gian gọi hình biểu diễn hình khơng gian b) Quy tắc vẽ hình biểu diễn hình khơng gian Để việc vẽ hình biểu diễn hình không gian thuận lợi thống nhất, ta quy ước sau: Đường thẳng biểu diễn đường thẳng Đoạn thẳng biểu diễn đoạn thẳng; Hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau) biểu diễn hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau); Hình biểu diễn giữ ngun tính liên thuộc điểm với đường thẳng vởi đoạn thẳng; Những đường nhìn thấy vẽ nét liền, đường khơng nhìn thấy vẽ nét đứt Chú ý: Các quy tắc khác đề cập sau II CÁC TÍNH CHẤT THỪA NHẬN CỦA HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Tính chất Có đường thẳng qua hai điểm phân biệt cho trước Tính chất Có mặt phẳng qua ba điểm khơng thẳng hàng cho trước Như vậy, mặt phẳng hồn toàn xác định biết ba điểm A, B, C khơng thẳng hàng Mặt phẳng kí hiệu ABC  đơn giản  (Hình 11) Tính chất mp  ABC  hay Nếu đường thẳng qua hai điểm phân biệt mặt phẳng điểm đường thẳng nằm mặt phẳng P Như vậy, đường thẳng d qua hai điểm phân biệt A, B mặt phẳng   điểm P P P đường thẳng d nằm mặt phẳng   Khi đó, ta nói d nằm   ,   chứa d , P   qua d , kí hiệu: d   P P d hay   (Hình 12 ) Tính chất Tồn bốn điểm khơng nằm mặt phẳng Tính chất Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng có đường thẳng chung chứa tất điểm chung hai mặt phẳng P Q Nếu hai mặt phẳng phân biệt     có điểm chung chúng có đường thẳng chung d chứa tất điểm chung hai mặt phẳng Đường P Q thẳng d gọi giao tuyến hai mặt phẳng     , kí hiệu d  P    Q  (Hình 16) Nhận xét: - Có thể xác định giao tuyến hai mặt phẳng cách tìm hai điểm chung chúng Đường thẳng qua hai điểm chung giao tuyến cần tìm P P - Để tìm giao điểm đường thẳng a mặt phẳng   (với giả thiết a cắt   ), ta làm sau: P - Chọn đường thẳng b thích hợp mặt phẳng   tìm giao điểm M hai đường thẳng a b Khi đó, M giao điểm cần tìm Tính chất Trên mặt phẳng không gian, kết biết hình học phẳng III MỘT SỐ CÁCH XÁC ĐỊNH MẶT PHẲNG Định lí Cho điểm A khơng thuộc đường thẳng d Khi đó, qua điểm A đường thẳng d có mặt mp  A, d  A, d  phẳng, kí hiệu  Định lí Cho hai đường thẳng a b cắt Khi đó, qua a b có mặt phẳng, kí hiệu mp  a, b  Nhận xét: Từ Tính chất hai định lí trên, ta thấy mặt phẳng hoàn toàn xác định theo ba cách sau: Đi qua ba điểm không thẳng hàng Đi qua đường thẳng điểm nằm ngồi đường thẳng Đi qua hai đường thẳng cắt IV HÌNH CHĨP VÀ HÌNH TỨ DIỆN Hình chóp P A A  An  n 3 P Trong mặt phẳng   , cho đa giác Lấy điểm S nằm   Nối S với đỉnh A1 , A2 , , An ta n tam giác: SA1 A2 , SA2 A3 ,, SAn A1 Hình gồm đa giác A1 A2  An n tam giác SA1 A2 , SA2 A3 , , SAn A1 gọi hình chóp, kí hiệu S A1 A2  An Chú ý - S.A1A …A n Trong hình chóp Điểm S gọi đỉnh; - Đa giác  A1 A2  An gọi mặt đáy; SA , SA ,, SAn Các cạnh mặt đáy gọi cạnh đáy, đoạn thẳng gọi cạnh bên; SA A , SA2 A3 ,, SAn A1 gọi mặt bên Các tam giác  Nếu đáy hình chóp tam giác, tứ giác, ngũ giác, hình chóp tương ứng gọi hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ S A1 A2 A3 A4 A5 giác, Hình 23 minh hoạ cho hình chóp ngũ giác - Hình tứ diện Cho bốn điểm A, B, C , D không nằm mặt phẳng Hình gồm bốn tam giác ABC , ACD, ABD BCD gọi hình tứ diện (hay ngắn gọn tứ diện), kí hiệu ABCD Chú ý  - Trong hình tứ diện ABCD (Hình 26) Các điểm A, B, C , D gọi đỉnh Các đoạn thẳng AB, BC , CD, DA, CA, BD gọi cạnh Hai cạnh khơng có điểm chung gọi hai cạnh đối diện Các tam giác ABC , ACD, ABD, BCD gọi mặt - - Đỉnh không nằm mặt gọi đỉnh đối diện với mặt  Hình tứ diện có mặt tam giác hình tứ diện  Mỗi hình chóp tam giác hình tứ diện Ngược lại, ta quy định rõ đỉnh mặt đáy hình tứ diện hình tứ diện trở thành hình chóp tam giác Nhận xét: Để chứng minh ba điểm thẳng hàng, ta ba điểm thuộc hai mặt phẳng phân biệt B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng Tìm giao tuyến hai mặt phẳng Phương pháp Để xác định giao tuyến hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm chung chúng Đường thẳng qua hai điểm chung giao tuyến Chú ý: Điểm chung hai mặt phẳng  P  Q thường tìm sau: - Tìm hai đường thẳng a b thuộc mặt phẳng  P  Q nằm mặt phẳng  R P Q - Giao điểm M a  b điểm chung mặt phẳng     Các ví dụ rèn luyện kĩ Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD, đáy tứ giác lồi ABCD có cạnh đối khơng song song với Gọi M điểm cạnh SA Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng: a (SAC) (SBD) b (SAB) (SCD) c (SBC) (SAD) d (BCM) (SAD) e (CDM) (SAB) f (BDM) (SAC) Ví dụ Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P ba điểm nằm ba cạnh AB, CD, AD Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng: a (ABN) (CDM); b (ABN) (BCP) Ví dụ Cho tứ diện ABCD Điểm M nằm bên tam giác ABD, điểm N nằm bên tam giác ACD Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng sau: a)  AMN   BCD  b)  DMN   ABC  Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình bình hành tâm O, gọi M, N, P trung điểm BC, CD SO Tìm giao tuyến a) Mặt phẳng  MNP   SAB  b) Mặt phẳng  MNP   SBC  Bài tập trắc nghiệm Dạng Tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng Phương pháp Muốn tìm giao điểm đường thẳng a mặt phẳng β    , ta tìm giao điểm a đường thẳng b nằm a   b a  b M    M a     b      M α Phương pháp: - Bước 1: Xác định mp   - Bước 2: Tìm giao tuyến - Bước 3: Trong chứa a b           : a  b M , mà b     , suy M a     Các ví dụ rèn luyện kĩ Ví dụ Cho tứ giác ABCD (khơng có cặp cạnh đối song song) nằm mặt phẳng không nằm    S điểm   a Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng: (SAC) (SBD), (SAB) (SCD) b Gọi M N trung điểm cạnh SC SD Tìm giao điểm P đường thẳng BN với mặt phẳng (SAC) c Gọi Q R trung điểm SA SB Chứng minh bốn điểm M, N, Q, R đồng phẳng Ví dụ Trong mặt phẳng tam giác SCD    , cho tứ giác ABCD Gọi S điểm không thuộc    , M điểm nằm a Xác định giao tuyến hai mặt phẳng (SAM) (SBD) b Xác định giao điểm AM mặt phẳng (SBD) Ví dụ Cho tứ diện SABC Trên cạnh SA lấy điểm M, cạnh SC lấy điểm N, cho MN khơng song song vói AC Cho điểm O nằm tam giác ABC Tìm giao điểm mặt phẳng (OMN) với đường thẳng AC, BC AB Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang ABCD Gọi E F hai điểm nằm hai cạnh SB CD a Tìm giao điểm EF với mặt phẳng (SAC) b Tìm giao điểm mặt phẳng (AEF) với đường thẳng BC SC Dạng Thiết diện Phương pháp Tìm đoạn giao tuyến nối tiếp mặt cắt với hình chóp khép kín thành đa giác phẳng Đa giác thiết diện cần tìm Mỗi đoạn giao tuyến cạnh thiết diện Các ví dụ rèn luyện kĩ Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD, M điểm cạnh SC, N P trung điểm AB MNP  AD Tìm thiết diện hình chóp với mặt phẳng  Ví dụ Cho tứ diện ABCD, cạnh a Kéo dài BC đoạn CE a Kéo dài BD đoạn DF a Gọi M trung điểm AB a) Tìm thiết diện tứ diện với mặt phẳng  MEF  b) Tính diện tích thiết diện Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang với đáy lớn AD Gọi M điểm cạnh SB Tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (AMD) Dạng Ba điểm thẳng hàng ba đường thẳng đồng quy Phương pháp - Muốn chứng minh ba đường thẳng đồng quy ta chứng minh có hai đường thẳng cắt giao điểm nằm đường thẳng thứ (Hình a) - Muốn chứng minh ba điểm thẳng hàng ta chứng minh chúng thuộc hai mặt phẳng phân biệt (Hình b) a A B b K C c Hình a β α Hình b Các ví dụ rèn luyện kĩ Ví dụ Cho tứ diện S.ABC Trên cạnh SA, SB, SC lấy điểm D, E F cho DE cắt AB I, EF cắt BC J, FD cắt CA K Chứng minh I, J, K thẳng hàng Ví dụ Cho hình bình hành ABCD, S điểm không thuộc (ABCD), M N trung điểm đoạn AB SC a) Xác định giao điểm I  AN   SBD  b) Xác định giao điểm J MN   SBD  c) Chứng minh I, J, B thẳng hàng Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có AB  CD E , AD  BC F Gọi M, N, P theo thứ tự trung điểm SA, SB, SC a) Tìm giao điểm Q SD   MNP  b) Giả sử MN  PQ H Chứng minh S, H, E thẳng hàng c) Chứng minh SF, MQ, NP đồng qui Ví dụ Cho tứ diện SABC Gọi I, J K điểm nằm cạnh SB, SC AB, cho IJ không song song với BC, IK khơng song song với SA a Tìm giao điểm D (IJK) BC b Gọi E giao điểm DK AC Chứng minh ba đường thẳng SA, KI, EJ đồng quy Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD khơng hình thang Gọi O giao điểm AC BD, K điểm cạnh SD a Tìm giao điểm E mặt phẳng (ABK) với CD b Tìm giao điểm F mặt phẳng (ABK) với SC c Chứng minh đường thẳng AF, BK SO đồng quy Dạng Tìm tập hợp giao điểm hai đường thẳng Phương pháp   a   P  ,b   Q    I  c  P    Q  c   Áp dụng kết quả: I a  b Các ví dụ Ví dụ Cho tứ diện ABCD Gọi K trung điểm cạnh BC, H điểm cố định cạnh AC Mặt phẳng (P) di động chứa HK, cắt cạnh BD AD M N a Giả sử cho trước điểm M không trung điểm BD, xác định điểm N b Tìm tập hợp giao điểm I hai đường HM KN M di động canh BD Ví dụ Cho tứ diện ABCD Gọi M N hai điểm hai cạnh AB AC, cho MN không song song với BC Mặt phẳng (P) thay đổi chứa MN, cắt cạnh CD BD E F a Chứng minh EF qua điểm cố định b Tìm tập hợp giao điểm ME NF c Tìm tập hợp giao điểm MF NE C GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Bài Khi trát tường, dụng cụ thiếu người thợ thước dẹt dài (Hình 28) Cơng dụng thước dẹt gì? Giải thích Bài Hình 29 hình ảnh chặn giấy gỗ có bốn mặt phân biệt tam giác Vẽ hình biểu diễn chặn giấy gỗ Bài Cho ba đường thẳng a, b, c không nằm mặt phẳng đôi cắt Chứng minh ba đường thẳng a, b, c qua điểm, hay gọi ba đường thẳng đồng quy Bài Cho hình chóp S ABCD có AC cắt BD O AB cắt CD P Điểm M thuộc cạnh SA( M khác S , M khác A ) Gọi N giao điểm MP SB, I giao điểm MC DN Chứng minh S , O, I thẳng hàng Bài Cho hình chóp S ABC Các điểm M , N thuộc cạnh SA, SC cho MA 2 MS , NS 2 NC ABC  a) Xác định giao điểm MN với mặt phẳng  BMN  ABC  b) Xác định giao tuyến mặt phẳng  với mặt phẳng  Bài Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy khơng hình thang Gọi M trung điểm SA SAB  a) Xác định giao điểm CD với mặt phẳng  SAB  SCD  b) Xác định giao tuyến hai mặt phẳng   MCD  SBC  c) Xác định giao tuyến hai mặt phẳng   Bài Cho hình tứ diện ABCD Gọi I trung điểm cạnh CD Gọi M , N trọng tâm tam giác BCD, CDA ABI  a) Chứng minh điểm M , N thuộc mặt phẳng  GM GN   b) Gọi G giao điểm AM BN Chứng minh rằng: GA GB c) Gọi P, Q trọng tâm tam giác DAB, ABC Chứng minh đường thẳng CP, DQ GP GQ   qua điểm G GC GD D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? A Qua điểm phân biệt có mặt phẳng B Qua điểm phân biệt có mặt phẳng C Qua điểm không thẳng hàng có mặt phẳng D Qua điểm phân biệt có mặt phẳng Câu 2: Trong không gian, cho điểm khơng đồng phẳng Có thể xác định mặt phẳng phân biệt từ điểm cho? A B C D Câu 3: Các yếu tố sau xác định mặt phẳng nhất? A Ba điểm phân biệt B Một điểm đường thẳng C Hai đường thẳng cắt D Bốn điểm phân biệt Câu 4: Cho tứ giác ABCD Có thể xác định mặt phẳng chứa tất định tứ giác ABCD? A B C D Câu 5: Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? P Q A Nếu điểm A, B, C điểm chung mặt phẳng     A, B, C thẳng hàng P Q B Nếu A, B, C thẳng hàng   ,   có điểm chung A B, C điểm chung  P  Q P Q C Nếu điểm A, B, C điểm chung mặt phẳng     phân biệt A, B, C khơng thẳng hàng P Q D Nếu A, B, C thẳng hàng A, B điểm chung     C điểm chung Câu 6:  P   Q  Trong mặt phẳng    , cho điểm A, B, C , D khơng có điểm thẳng hàng Điểm S không thuộc mặt phẳng    Có mặt phẳng tạo S điểm nói trên? A B C D Câu 7: Cho điểm A, B, C, D, E khơng có điểm đồng phẳng Hỏi có mặt phẳng tạo điểm cho? A 10 B 12 C D 14 Câu 8: Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề sai? A Hai mặt phẳng có điểm chung chúng có vơ số điểm chung khác B Hai mặt phẳng có điểm chung chúng có đường thẳng chung C Hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng có đường thẳng chung D Hai mặt phẳng qua điểm A, B, C không thẳng hàng hai mặt phẳng trùng Câu 9: Cho đường thẳng d1 , d , d không thuộc mặt phẳng cắt đôi Khẳng định sau đúng? A đường thẳng đồng quy B đường thẳng trùng C đường thẳng chứa cạnh tam giác D Các khẳng định A, B, C sai Câu 10: Thiết diện tứ diện là: A Tam giác B Tứ giác C Ngũ giác D Tam giác tứ giác Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang A Hình chóp S.ABCD có mặt bên ABCD  AB CD  Khẳng định sau sai? B Giao tuyến hai mặt phẳng  SAC   SBD  SO (O giao điểm AC BD ) C Giao tuyến hai mặt phẳng  SAD   SBC  SI (I giao điểm AD BC ) D Giao tuyến hai mặt phẳng  SAB   SAD  đường trung bình ABCD ACD) Câu 12: Cho tứ diện ABCD Gọi G trọng tâm tam giác BCD Giao tuyến mặt phẳng ( ( GAB) là: A AM (M trung điểm AB) B AN (N trung điểm CD) C AH (H hình chiếu B CD) D AK (K hình chiếu C BD) a Câu 13: Cho điểm A không nằm mặt phẳng ( ) chứa tam giác BCD Lấy E , F điểm nằm cạnh AB, AC Khi EF BC cắt I , I khơng phải điểm chung hai mặt phẳng sau đây? BCD ) DEF ) BCD ) ABC ) BCD ) AEF ) BCD ) ABD ) A ( ( B ( ( C ( ( D ( ( Câu 14: Cho tứ diện ABCD Gọi M , N trung điểm AC, CD Giao tuyến hai mặt MBD ) ABN ) phẳng ( ( là: MN A đường thẳng B đường thẳng AH (H trực tâm tam giác ACD) C đường thẳng BG (G trọng tâm tam giác ACD) D đường thẳng AM Câu 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M , N trung điểm AD SMN ) SAC ) BC Giao tuyến hai mặt phẳng ( ( là: A SD B SO (O tâm hình bình hành ABCD) C SG (G trung điểm AB) D SF (F trung điểm CD) Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi I , J trung điểm SA, SB Khẳng định sau sai? SAB) Ç ( IBC ) = IB A IJ CD hình thang B ( SBD ) Ç ( J CD ) = J D C ( IAC ) Ç ( J BD ) = AO (O D ( tâm ABCD) ABCD ( AD  BC ) Câu 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang Gọi M trung điểm CD Giao MSB) SAC ) tuyến hai mặt phẳng ( ( là: A SI (I giao điểm AC BM ) B SJ (J giao điểm AM BD) C SO (O giao điểm AC BD) D SP (P giao điểm AB CD) Câu 18: Cho điểm không đồng phẳng A, B, C, D Gọi I , K trung điểm AD BC Giao IBC ) KAD ) tuyến ( ( là: 10