CHUYÊN ĐỀ BÀI 1: ĐỊNH LÍ TA-LÉT Mục tiêu Kiến thức + Phát biểu định nghĩa tỉ số đoạn thẳng, đoạn thẳng tỉ lệ + Phát biểu định lí Ta-lét Kĩ + Vận dụng định lí Ta-lét tốn hình học Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Tỉ số hai đoạn thẳng Tỉ số hai đoạn thẳng tỉ số độ dài chúng Tỉ số hai đoạn thẳng AB CD kí hiệu theo đơn vị đo Đoạn thẳng tỉ lệ AB CD Hai đoạn thẳng AB CD gọi tỉ lệ với hai đoạn thẳng AB CD có tỉ lệ thức: AB AB CD CD Định lí Ta-lét Nếu đường thẳng song song với cạnh tam giác cắt hai cạnh lại định DE / /BC hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ AD AE AB AC II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Chứng minh đoạn thẳng tỉ lệ - tính độ dài đoạn thẳng tính tỉ số hai đoạn thẳng Bài toán Chứng minh đoạn thẳng tỉ lệ - tính độ dài đoạn thẳng tính tỉ số hai đoạn thẳng Phương pháp giải Ví dụ: Cho ABC nhọn có AB 12cm Trên AB lấy điểm D cho AD 3cm , AC lấy điểm E cho CE 12cm AE CE 16cm a) Tính AD AE , AB AC b) Chứng minh: AD AE AB AC Hướng dẫn giải AD a) Ta có: Bước Xác định giá trị đoạn thẳng AB 12 xác định tỉ lệ đoạn thẳng tương ứng AE CE 16 cm Ta có: CE 12 cm Bước Sử dụng tính chất tỉ số hai đoạn thẳng AE 16 12 4 cm tính chất đoạn thẳng tỉ lệ Trang AE AC 16 AD AB AE AE b) Ta có: AB AC AE AC Ví dụ mẫu Ví dụ Cho ABC Gọi K trung điểm BC, I trung điểm AC AK cắt BI G Trên AB lấy điểm N cho AN AB a) Chứng minh G trọng tâm ABC b) Chứng minh BN BG AN IG ; BA BI NB GB c) Từ G kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB H Giả sử NI 8cm , tính CH Hướng dẫn giải a) Xét ABC , ta có: AK đường trung tuyến (K trung điểm BC) BI đường trung tuyến (I trung điểm AC) BI cắt AK G (giả thiết) G trọng tâm ABC b) Ta có: G trọng tâm ABC BG BI Ta có: AN AB AB BN AB 3AB 3BN AB 3BN 2AB BN AB Trang BG BI BN BG Ta có: BN BA BI 3 AB Ta có: AN IG ; (G trọng tâm ABC ) NB GB AN IG NB GB c) Xét ABK , ta có GH / /BK (giả thiết) HB GK 1 (định lí Ta-lét) HB AB AB AK 3 1 Ta có: AB BH HN AN AB AB HN AB HN AB 3 Suy ra: BH HN AN AB Xét ACH , ta có: N trung điểm AH AN NH I trung điểm AC (giả thiết) Suy NI đường trung bình ABC HC 2NI 2.8 16 cm Bài toán Sử dụng Định lí Ta-lét để tính tỉ số đoạn thẳng – tính độ dài đoạn thẳng Phương pháp giải Bước Ví dụ: Cho ABC nhọn có AB AC Lấy D thuộc cạnh Xác định đoạn thẳng song song AB lấy E thuộc cạnh AC cho DE / /BC Biết Xác định vị trí đoạn thẳng cần tính tỉ lệ BD 2 cm , AB 3 cm , AE AC 10 cm Bước a) Chứng minh Sử dụng định lí Ta-lét thiết lập tỉ lệ AD AE BD CE ; AB AC AD AE b) Tính độ dài đoạn thẳng AC, EC, AE Hướng dẫn giải a) Xét ABK , ta có DE / /BC (giả thiết) Trang AD AE BD CE ; (định lí Ta-lét) AB AC AD AE b) Ta có: AD BD AB AD AB BD 3 1 cm Ta có: AD AE (chứng minh trên) AB AC AC AE AC AE 10 2,5 AB AD AB AD AC 2,5 AB AE 2,5 AD AC 2,5.AB 2,5.3 7,5 cm AE 2,5.AD 2,5.1 2,5 cm Ta có: EC AC AE 7,5 2,5 5cm Ví dụ mẫu Ví dụ Cho OBC có OB 2 cm , OC 3cm Trên tia đối tia BO, lấy điểm A cho BA 6 cm Đường thẳng qua A song song với BC cắt OC kéo dài D a) Chứng minh OB OC BA CD b) Tính CD OD c) Từ C kẻ đường thẳng song song với OA cắt AD M Biết BC 4 cm Tính AM, DM Hướng dẫn giải a) Xét OBC có BC / /AD (giả thiết) OB OC (định lí Ta-lét) BA CD b) Ta có: OB OC (chứng minh trên) BA CD CD CD 9 cm Ta có: OD OC CD 3 12 cm c) Xét tứ giác ABCM, ta có: BC / /AM (giả thiết) AB / /CM (giả thiết) Tứ giác ABCM hình bình hành có hai cặp cạnh đối song song AM BC 4 cm Xét DAO , ta có: CM / /OA (giả thiết) Trang DM DC (định lí Ta-lét) MA CO DM DM 12 cm Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho ADE nhọn, có AD 5cm , kéo dài AD thêm đoạn DB 3cm Từ B kẻ tia song song với DE cắt AE C Giả sử AE EC 4 cm AD DB a) Tính b) Tính độ dài AE, EC, AC Câu 2: Cho đoạn thẳng AB 6 cm điểm O thuộc đoạn AB, OA 4 cm Đường thẳng xy qua O, lấy C thuộc Ox, OC 3cm Lấy D tia Oy cho AD / /BC Tính OD, CD Câu 3: Cho ABC Điểm D cạnh AB cho 3AD 2DB Lấy điểm E cạnh AC cho DE / /BC Giả sử AC EC 16 cm Tính AE, EC, AC Câu 4: Cho hình thang ABCD ( AB / /CD ) Đường thẳng song song hai đáy cắt cạnh AD M, cắt cạnh BC N cho MD 3MA Tính tỉ số NB NC Dạng 2: Sử dụng định lí Ta-lét để chứng minh hệ thức cho trước Phương pháp giải Ví dụ: Cho hình thang ABCD có AB AC AB / /CD Trên cạnh AD lấy điểm I, cạnh BC lấy điểm K cho IK / /CD IK cắt đường chéo AC E a) Chứng minh: AI AE AD AC b) Chứng minh: AI BK AD BC Hướng dẫn giải Bước a) Xét ADC , ta có: IE / / DC (giả thiết) - Xác định đoạn thẳng song song Trang - Xác định vị trí đoạn thẳng có hệ thức cần chứng minh AI AE (định lí Ta-lét) AD AC Bước b) Xét ABC , ta có: EK / /AB (giả thiết) Sử dụng định lí Ta-lét thiết lập tỉ lệ Mà BK AE (định lí Ta-lét) BC AC AI BK AE AI AE (câu a) nên AD BC AC AD AC Ví dụ mẫu Ví dụ Cho xAy nhọn, tia Ax lấy điểm B, C cho B nằm A C Trên Ay lấy hai điểm D, E cho D nằm A E cho BD / /CE a) Chứng minh: AD AB AE AC b) Từ E vẽ đường thẳng song song với DC cắt tia Ax F Chứng minh: AD AC AE AF c) Chứng minh: AC2 AB.AF Hướng dẫn giải a) Xét AEC , ta có: BD / /CE (giả thiết) AD AB (định lí Ta-lét) AE AC (1) b) Xét AEF , ta có: DC / /EF (giả thiết) AD AC (định lí Ta-lét) AE AF c) Từ (1) (2) suy ra: (2) AB AC AD AC AF AE Hay AC2 AB.AF Bài tập tự luyện dạng Trang Câu 1: Cho ABC nhọn, đường thẳng song song với cạnh BC cắt cạnh AB D cắt cạnh AC E Trên tia đối tia CA lấy điểm F cho CF BD Gọi M giao điểm DF BC Chứng minh: MD AC MF AB Câu 2: Cho ABC , từ điểm D cạnh BC kẻ đường thẳng song song với cạnh AB AC, chúng cắt cạnh AB AC theo thứ tự E F Chứng minh AE AF 1 AB AC HƯỚNG DẪN GIẢI Dạng Chứng minh đoạn thẳng tỉ lệ - tính độ dài đoạn thẳng tính tỉ số hai đoạn thẳng Câu a) Ta có: AD DB b) Xét ABC , ta có: DE / /BC (giả thiết) AD AE (định lí Ta-lét) BD EC AE EC AD BD AE EC AE EC 2 5 AE 2 AE 5.2 10 cm EC 2 EC 3.2 6 cm Ta có: AC AE EC 10 16 cm Câu Ta có: BC / /AD (giả thiết) OD OA (định lí Ta-lét) CD AB CD OC CD CD 3 2CD 3CD 2CD CD 9 cm Ta có: CD OD OC OD OD 6 cm Câu Trang Ta có: 3AD 2DB (giả thiết) AD BD Xét ABC , ta có: DE / /BC (giả thiết) AD AE (định lí Ta-lét) DB EC AE 2 AE EC EC 3 Ta có: AC EC 16 (giả thiết) AE EC EC 16 EC 2EC 16 EC 16 EC 16 6cm Ta có: AC EC 16 (giả thiết) AC 16 AC 10cm 2 Ta có: AE EC (chứng minh trên) AE 4 cm 3 Câu Ta có: MD 3MA (giả thiết) MA MD Gọi O giao điểm MN AC Xét ADC , ta có: MO / /DC (giả thiết) OA MA (định lí Ta-lét) OC MD Xét ABC , ta có NO / /AB (giả thiết) Mà OA NB (định lí Ta-lét) OC NC OA NB (chứng minh trên) nên OC NC Dạng Sử dụng định lí Ta-lét để chứng minh hệ thức cho trước Câu Xét ABC , ta có DE / /BC (giả thiết) AC AB (định lí Ta-lét) EC DB AC EC AB DB (1) Xét DFE , ta có MC / /DE (giả thiết) Trang MD EC (định lí Ta-lét) MF CF Mà CF BD (giả thiết) nên Từ (1) (2) suy ra: MD EC MF BD (2) MD AC EC MF AB BD Câu Xét ABC , ta có: DE / /AC (giả thiết) AE CD (định lí Ta-lét) (1) AB CB Xét ABC , ta có: DF / /AB (giả thiết) AF BD (định lí Ta-lét) (2) AC CB Cộng (1) (2) theo vế ta được: AE AF CD BD CD BD BC 1 AB AC CB CB CB BC Trang 10