Chuyên đề các bài toán về định lí ta lét

Nhóm Tốn Học Sơ Đồ /Tài Liệu Tốn THCS Word /Chất -Đẹp -Tiện Toán THCS CHUYÊN ĐỀ - CÁC BÀI TỐN VỀ ĐỊNH LÍ TA-LÉT (Lời Giải Chi Tiết) A.KIẾN THỨC: A Định lí Ta-lét: * Định lí Ta-lét: M ABC  AM AN  MN // BC   AB = AC N C B AM AN MN =  AC BC * Hệ quả: MN // BC  AB B BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: Cho tứ giác ABCD, đường thẳng qua A song song với BC cắt BD E, đường thẳng qua B song song với AD cắt AC G B a) chứng minh: EG // CD A O b) Giả sử AB // CD, chứng minh AB2 = CD EG E Giải G Gọi O giao điểm AC BD OE OA = OC (1) a) Vì AE // BC  OB D OB OG = OA (2) BG // AC  OD OE OG = OC  EG // CD Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có: OD b) Khi AB // CD EG // AB // CD, BG // AD nên Nhóm tài liệu word THCS chất đẹp https://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu Word Toán THCS / ĐT- Zalo 0945943199 C Nhóm Tốn Học Sơ Đồ /Tài Liệu Tốn THCS Word /Chất -Đẹp -Tiện Toán THCS AB OA OD CD AB CD =  =    AB2 CD EG EG OG OB AB EG AB Bài 2: Cho ABC vng A, Vẽ phía ngồi tam giác tam giác ABD vng cân B, ACF vuông cân C Gọi H giao điểm AB CD, K giao điểm Ac BF Chứng minh rằng: D A a) AH = AK H K b) AH = BH CK Giải B C Đặt AB = c, AC = b BD // AC (cùng vng góc với AB) AH AC b AH b AH b       HB c HB + AH b + c nên HB BD c AH b AH b b.c     AH  c b+c b + c (1) Hay AB b + c AK AB c AK c AK c       KC b KC + AK b + c AB // CF (cùng vng góc với AC) nên KC CF b AK b AK c b.c     AK  b b+c b + c (2) Hay AC b + c Từ (1) (2) suy ra: AH = AK AH AC b AK AB c AH KC AH KC        HB AH (Vì AH = AK) b) Từ HB BD c KC CF b suy HB AK  AH2 = BH KC Bài 3: Cho hình bình hành ABCD, đường thẳng a qua A cắt BD, BC, DC theo thứ tự E, K, G Chứng minh rằng: a) AE2 = EK EG Nhóm tài liệu word THCS chất đẹp https://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu Word Toán THCS / ĐT- Zalo 0945943199 F Nhóm Tốn Học Sơ Đồ /Tài Liệu Toán THCS Word /Chất -Đẹp -Tiện Toán THCS 1   b) AE AK AG c) Khi đường thẳng a thay đổi vị trí qua A tích BK DG có giá trị khơng đổi Giải A a) Vì ABCD hình bình hành K  BC nên a b B K E AD // BK, theo hệ định lí Ta-lét ta có: EK EB AE EK AE = =    AE EK.EG AE ED EG AE EG C D G AE DE AE BE = = DB ; AG BD nên b) Ta có: AK AE AE BE DE BD   1 1  =   1  AE      1 AK AG BD DB BD  AK AG   AE AK AG (đpcm) BK AB BK a KC CG KC CG =  = =  = CG KC CG (1); AD DG b DG (2) c) Ta có: KC BK a =  BK DG = ab DG Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có: b khơng đổi (Vì a = AB; b = AD độ dài hai cạnh hình bình hành ABCD khơng đổi) Bài 4: Cho tứ giác ABCD, điểm E, F, G, H theo thứ tự chia cạnh AB, BC, CD, DA theo tỉ số 1:2 Chứng minh rằng: B E A a) EG = FH P H b) EG vng góc với FH Giải Gọi M, N theo thứ tự trung điểm CF, DG 1 BM BE BM = = =  BA BC Ta có CM = CF = BC  BC F O Q D M N G C Nhóm tài liệu word THCS chất đẹp https://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu Word Tốn THCS / ĐT- Zalo 0945943199 Nhóm Toán Học Sơ Đồ /Tài Liệu Toán THCS Word /Chất -Đẹp -Tiện Toán THCS EM BM 2  =  EM = AC  EM // AC  AC BE 3 (1) NF CF 2  =  NF = BD 3 Tương tự, ta có: NF // BD  BD CB (2) mà AC = BD (3) Từ (1), (2), (3) suy : EM = NF (a) Tương tự ta có: MG // BD, NH // AC MG = NH = AC (b)  Mặt khác EM // AC; MG // BD Và AC  BD  EM  MG  EMG = 90 (4)  Tương tự, ta có: FNH = 90 (5)   Từ (4) (5) suy EMG = FNH = 90 (c) Từ (a), (b), (c) suy  EMG =  FNH (c.g.c)  EG = FH b) Gọi giao điểm EG FH O; EM FH P; EM FN Q        PQF = 900  QPF + QFP = 90 mà QPF = OPE (đối đỉnh), OEP = QFP (  EMG =  FNH)   Suy EOP = PQF = 90  EO  OP  EG  FH Bài 5: Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ CD Từ D vẽ đường thẳng song song với BC, cắt AC M AB K, Từ C vẽ đường thẳng song song với AD, cắt AB F, qua F ta lại vẽ đường thẳng song song với AC, cắt BC P Chứng minh a) MP // AB b) Ba đường thẳng MP, CF, DB đồng quy Giải Nhóm tài liệu word THCS chất đẹp https://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu Word Toán THCS / ĐT- Zalo 0945943199 Nhóm Tốn Học Sơ Đồ /Tài Liệu Toán THCS Word /Chất -Đẹp -Tiện Toán THCS CP AF = FB (1) a) EP // AC  PB CM DC = AK (2) AK // CD  AM D C tứ giác AFCD, DCBK la hình bình hành nên AF = DC, FB = AK (3) CP CM  Kết hợp (1), (2) (3) ta có PB AM  MP // AB (Định lí P I M K A B F Ta-lét đảo) (4) CP CM DC DC   b) Gọi I giao điểm BD CF, ta có: PB AM = AK FB DC DI CP DI   Mà FB IB (Do FB // DC)  PB IB  IP // DC // AB (5) Từ (4) (5) suy : qua P có hai đường thẳng IP, PM song song với AB // DC nên theo tiên đề Ơclít ba điểm P, I, M thẳng hang hay MP qua giao điểm CF DB hay ba đường thẳng MP, CF, DB đồng quy Bài 6:  Cho  ABC có BC < BA Qua C kẻ đường thẳng vng gốc với tia phân giác BE ABC ; đường thẳng cắt BE F cắt trung tuyến BD G Chứng minh đoạn thẳng EG bị đoạn thẳng DF chia làm hai phần B Giải M Gọi K giao điểm CF AB; M giao điểm DF BC K G F  KBC có BF vừa phân giác vừa đường cao nên  KBC cân A D E B  BK = BC FC = FK Mặt khác D trung điểm AC nên DF đường trung bình  AKC  DF // AK hay DM // AB Nhóm tài liệu word THCS chất đẹp https://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu Word Toán THCS / ĐT- Zalo 0945943199 C Nhóm Tốn Học Sơ Đồ /Tài Liệu Toán THCS Word /Chất -Đẹp -Tiện Toán THCS Suy M trung điểm BC DF = AK (DF đường trung bình  AKC), ta có BG BK BG BK 2BK = =  GD DF ( DF // BK)  GD DF AK (1) CE DC - DE DC AD CE AE - DE DC AD    1 1    1 1 DE DE DE DE DE DE Mổt khác DE (Vì AD = DC)  DE CE AE - DE AE AB AE AB   1  2  DE DE DF Hay DE (vì DE = DF : Do DF // AB) CE AK + BK 2(AK + BK) CE 2(AK + BK) 2BK   2 2   2 DE AK AK AK Suy DE (Do DF = AK)  DE (2) BG CE Từ (1) (2) suy GD = DE  EG // BC OG OE  FO  = =  MB  FM   OG = OE Gọi giao điểm EG DF O ta có MC Bài tập nhà Bài 1: Cho tứ giác ABCD, AC BD cắt O Đường thẳng qua O song song với BC cắt AB E; đường thẳng song song với CD qua O cắt AD F a) Chứng minh FE // BD b) Từ O kẻ đường thẳng song song với AB, AD cắt BD, CD G H Chứng minh: CG DH = BG CH Bài 2: Cho hình bình hành ABCD, điểm M thuộc cạnh BC, điểm N thuộc tia đối tia BC cho BN = CM; đường thẳng DN, DM cắt AB theo thứ tự E, F Chứng minh: a) AE2 = EB FE Nhóm tài liệu word THCS chất đẹp https://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu Word Tốn THCS / ĐT- Zalo 0945943199 Nhóm Tốn Học Sơ Đồ /Tài Liệu Toán THCS Word /Chất -Đẹp -Tiện Toán THCS  AN    b) EB =  DF  EF CHUYÊN ĐỀ – CÁC BÀI TỐN SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ TALÉT VÀ TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC A KIẾN THỨC: A Tính chất đường phân giác: BD AB = AC  ABC ,AD phân giác góc A  CD B D C A D' B C BD' AB = AC AD’là phân giác góc ngồi A: CD' B BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Cho  ABC có BC = a, AB = b, AC = c, phân giác AD A a) Tính độ dài BD, CD AI b) Tia phân giác BI góc B cắt AD I; tính tỉ số: ID c b I Giải BD AB c   BAC a) AD phân giác nên CD AC b B D C a BD c BD c ac     BD =  CD + BD b + c a b+c b+c Nhóm tài liệu word THCS chất đẹp https://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu Word Tốn THCS / ĐT- Zalo 0945943199 Nhóm Toán Học Sơ Đồ /Tài Liệu Toán THCS Word /Chất -Đẹp -Tiện Tốn THCS ac ab Do CD = a - b + c = b + c AI AB ac b+c  c :  ABC b+c a b) BI phân giác nên ID BD Bài 2:  Cho  ABC, có B < 600 phân giác AD a) Chứng minh AD < AB b) Gọi AM phân giác  ADC Chứng minh BC > DM A Giải   +C   A 1800 - B   + A ADB =C 600 > = a)Ta có    ADB > B  AD < AB C M D b) Gọi BC = a, AC = b, AB = c, AD = d Trong  ADC, AM phân giác ta có DM AD DM AD DM AD =  = = CM AC  CM + DM AD + AC CD AD + AC abd CD.AD CD d ab   DM = AD + AC b + d ; CD = b + c ( Vận dụng 1)  DM = (b + c)(b + d) 4abd Để c/m BC > DM ta c/m a > (b + c)(b + d) hay (b + d)(b + c) > 4bd (1) Thật : c > d  (b + d)(b + c) > (b + d)2  4bd Bất đẳng thức (1) c/m Bài 3:Cho  ABC, trung tuyến AM, tia phân giác góc AMB , AMC cắt AB, AC theo thứ tự D E a) Chứng minh DE // BC Nhóm tài liệu word THCS chất đẹp https://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu Word Tốn THCS / ĐT- Zalo 0945943199 B Nhóm Toán Học Sơ Đồ /Tài Liệu Toán THCS Word /Chất -Đẹp -Tiện Toán THCS b) Cho BC = a, AM = m Tính độ dài DE A c) Tìm tập hợp giao diểm I AM DE  ABC có BC cố định, AM = m khơng đổi I D d)  ABC có điều kiện DE đường trung bình E Giải B C M DA MB  AMB a) MD phân giác nên DB MA (1) EA MC  AMC ME phân giác nên EC MA (2) DA EA  Từ (1), (2) giả thiết MB = MC ta suy DB EC  DE // BC x DE AD AI    b) DE // BC  BC AB AM Đặt DE = x  a x  x = 2a.m m a + 2m m- a.m c) Ta có: MI = DE = a + 2m không đổi  I cách M đoạn không đổi nên tập hợp a.m điểm I đường tròn tâm M, bán kính MI = a + 2m (Trừ giao điểm với BC d) DE đường trung bình  ABC  DA = DB  MA = MB   ABC vuông A Bài 4: Cho  ABC ( AB < AC) phân giác BD, CE a) Đường thẳng qua D song song với BC cắt AB K, chứng minh E nằm B K b) Chứng minh: CD > DE > BE A Giải K a) BD phân giác nên AD AB AC AE AD AE = < =   DC BC BC EB DC EB (1) D E M B Nhóm tài liệu word THCS chất đẹp https://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu Word Toán THCS / ĐT- Zalo 0945943199 C Nhóm Tốn Học Sơ Đồ /Tài Liệu Toán THCS Word /Chất -Đẹp -Tiện Toán THCS AD AK  Mặt khác KD // BC nên DC KB (2) AK AE AK + KB AE + EB    KB EB Từ (1) (2) suy KB EB AB AB   KB > EB  KB EB  E nằm K B     b) Gọi M giao điểm DE CB Ta có CBD = KDB (Góc so le trong)  KBD = KDB       mà E nằm K B nên KDB > EDB  KBD > EDB  EBD > EDB  EB < DE           Ta lại có CBD + ECB = EDB + DEC  DEC > ECB  DEC > DCE (Vì DCE = ECB ) Suy CD > ED  CD > ED > BE Bài 5:Cho  ABC với ba đường phân giác AD, BE, CF Chứng minh DB EC FA =1 a DC EA FB 1 1 1 + + > + + AD BE CF BC CA AB b H Giải DB AB = BAC AC (1) a)AD đường phân giác nên ta có: DC A F E EC BC FA CA = = BA (2) ; FB CB Tương tự: với phân giác BE, CF ta có: EA (3) B D DB EC FA AB BC CA = AC BA CB = Tửứ (1); (2); (3) suy ra: DC EA FB b) Đặt AB = c , AC = b , BC = a , AD = da Qua C kẻ đường thẳng song song với AD , cắt tia BA H 10 Nhóm tài liệu word THCS chất đẹp https://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu Word Toán THCS / ĐT- Zalo 0945943199 C Nhóm Tốn Học Sơ Đồ /Tài Liệu Tốn THCS Word /Chất -Đẹp -Tiện Toán THCS BA.CH c.CH c AD BA AD    CH  BH BA + AH b + c Theo ĐL Talét ta có: CH BH  Do CH < AC + AH = 2b nên: da  2bc   b  c              d a 2bc  b c  da  b c  bc 1 1 1 1         d a c d  a b  Nên:   c Chứng minh tương tự ta có : b Và 1 1  1 1 1 1  1   1   1                      da db dc  a b c  d a db dc   b c   a c   a b    1 1 1      d a db d c a b c ( đpcm ) Bài tập nhà Cho  ABC có BC = a, AC = b, AB = c (b > c), phân giác BD, CE a) Tính độ dài CD, BE suy CD > BE b) Vẽ hình bình hành BEKD Chứng minh: CE > EK c) Chứng minh CE > BD 11 Nhóm tài liệu word THCS chất đẹp https://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu Word Toán THCS / ĐT- Zalo 0945943199