CHUYÊN ĐỀ BÀI 2: ĐỊNH LÍ ĐẢO VÀ HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÍ TA-LÉT Mục tiêu Kiến thức + Phát biểu định lí Ta-lét đảo hệ Kĩ + Vận dụng định lí Ta-lét đảo hệ tốn hình học Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định lí Ta-lét đảo Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ đường thẳng song song với cạnh lại tam giác Hệ định lí Ta-lét AD AE DE / /BC AB AC Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác song Nếu song với cạnh cịn lại tạo thành tam giác có ba Nếu DE / /BC cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh tam giác cho AD AE DE AB AC BC II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Sử dụng định lí Ta-lét đảo để chứng minh đường thẳng song song Phương pháp giải Ví dụ: Cho ABC nhọn có AB AC Trên AB lấy điểm D cho AD 2 cm , BD 1cm , AC lấy điểm E cho AE 4 cm EC 2 cm a) Chứng minh AD AE BD CE b) Chứng minh DE / /BC Hướng dẫn giải Bước Xác định giá trị đoạn thẳng xác định tỉ lệ đoạn thẳng tương ứng Bước Lập tỉ lệ đoạn thẳng tỉ lệ tương ứng Sử dụng định lí Ta-lét đảo suy đường thẳng song song AD BD 2 a) Ta có: AE 2 EC AD AE (điều phải chứng minh) BD EC b) Xét ABC , ta có: AD AE (chứng minh trên) BD EC DE / /BC (định lí Ta-lét đảo) Ví dụ mẫu Trang Ví dụ Cho xBy nhọn, vẽ tia Bt nằm hai tia Bx, By Lấy điểm D thuộc tia Bt, từ D vẽ DA Bx A DC By C Lấy điểm M thuộc đoạn BD a) Kẻ tia ME AD E, tia MF DC F Chứng minh DE DM DF DM ; DA DB DC DB b) Chứng minh EF / /AC Hướng dẫn giải a) Xét ABD , ta có ME / /BA DA DE DM (định lí Ta-lét) DA DB Xét BCD , ta có MF / /BC DC DF DM (định lí Ta-lét) DC DB DE DM DA DB b) Ta có: (chứng minh trên) DF DM DC DB DE DF DM DA DC DB Xét DAC , ta có: DE DF (chứng minh trên) DA DC EF / /AC (định lí Ta-lét đảo) Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho hình thang ABCD có AB / /CD AB CD Gọi O giao điểm AC, BD Biết AB 2 cm , DC 8cm Trên cạnh AD lấy điểm K cho AK 1cm , AD 5cm Chứng minh KO / /DC Dạng 2: Sử dụng hệ định lí Ta-lét để tính độ dài đoạn thẳng, chứng minh hệ thức, đoạn thẳng Phương pháp giải Ví dụ: Cho ABC nhọn có AB AC Lấy D thuộc cạnh AB cho AD Qua D vẽ đường thẳng AB song song với cạnh BC cắt cạnh AC E a) Tính DE BC Trang b) Cho BC 8cm , AD 6 cm Tính độ dài đoạn thẳng DE, DB, AB Hướng dẫn giải Bước Xác định đoạn thẳng song song Xác định vị trí đoạn thẳng cần tính tỉ lệ Bước Sử dụng định lí Ta-lét đảo để thiết lập lên tỉ lệ Tính độ dài đoạn thẳng a) Xét ABC , ta có DE / /BC (giả thiết) AD DE (hệ định lí Ta-lét) AB BC Mà AD DE (giả thiết) nên AB BC b) Ta có: DE (chứng minh trên) BC 3 DE BC 6 cm 4 Ta có: AD (giả thiết) AB 4 AB AD 8cm 3 Ta có: AD DB AB DB AB AD 8 2 cm Ví dụ mẫu Ví dụ Cho tứ giác ABCD, O giao điểm AC BD Đường thẳng qua A song song với BC cắt BD E, đường thẳng qua B song song với AD cắt AC F a) Chứng minh OE OA OB OC b) Chứng minh OE.OC OD.OF c) Chứng minh EF//DC Hướng dẫn giải a) Xét OBC ta có: BC / /AE (giả thiết) OE OA (định lí Ta-lét) OB OC b) Xét OAD ta có: AD / /BF (giả thiết) Trang OD OA (định lí Ta-lét) OB OF OD.OF OA.OB (1) Ta có: OE OA (chứng minh trên) OB OC OE.OC OA.OB (2) Từ (1) (2) suy ra: OD.OF=OE.OC OA.OB c) Ta có: OD.OF OE.OC (chứng minh trên) Xét ODC , ta có OD OC OE OF OD OC (chứng minh trên) OE OF EF//DC (định lí Ta-lét đảo) Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho hình thang ABCD có AB / /CD AB CD Gọi O giao điểm hai đường chéo BD, AC Từ O kẻ đường thẳng song song với hai đáy cắt AD, BC M, N a) Chứng minh DM CN DC MA NB AB b) Chứng minh OM ON Câu 2: Cho ABC cân A Đường vng góc với BC B cắt đường vng góc với AC C D Vẽ BE CD E, gọi M giao điểm AD BE Vẽ EN BD N a) Chứng minh DE DM DC DA b) Chứng minh MN / /AB c) Chứng minh ME MB Dạng 3: Sử dụng định lí Ta-lét đảo để chứng minh đường thẳng song song Phương pháp giải Ví dụ: Cho ABC có AB AC ba đường cao AD, BE, CF cắt H Kẻ DM AB M, kẻ DQ AC Q a) Chứng minh AF AH AM AD b) Chứng minh EF / /MQ Hướng dẫn giải Bước Thiết lập đoạn thẳng tỉ lệ Bước Sử dụng định lí Ta-lét đảo suy đường thẳng song song Trang a) Xét ADM , ta có: HF / /DM AB AF AH (định lí Ta-lét) AM AD b) Xét ADQ , ta có: HE / /DQ AC AE AH (định lí Ta-lét) AQ AD Mà Nên AF AH (chứng minh trên) AM AD AE AF AH AQ AM AD Xét AMQ , ta có: AE AF (chứng minh trên) AQ AM EF / /MQ (định lí Ta-lét đảo) Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hình thang ABCD có AB / /CD AB CD Gọi M, N trung điểm hai đường chéo BD, AC Gọi O giao điểm hai đường chéo BD, AC a) Chứng minh MN / /AB b) Chứng minh OA NC OB MD c) Chứng minh MN CD AB Hướng dẫn giải a) Xét ABO , ta có: AB / /DC (giả thiết) AO BO (định lí Ta-lét) AC BD AO BO AO BO 2AN 2BM AN BM AB / /MN (định lý Ta-lét đảo) Trang b) Ta có AO BO (chứng minh trên) AN BM OA OB OA NC NC MD OB MD c) Xét ABO , ta có: AB / /MN (chứng minh trên) MN OM (hệ định lí Ta-lét) AB OB MN AB MN AB MN AB MN MN AB OM OB OM OB BM OM BM (1) Xét ODC , ta có DC / /MN / / AB MN OM (hệ định lí Ta-lét) DC OD MN DC DC MN DC MN MN DC MN OM OD OD OM DM OM DM Từ (1) (2) suy (2) MN AB DC MN BM DM MN AB DC MN BM DM 2MN DC AB MN DC AB Bài tập tự luyện dạng Câu Cho ABC nhọn, đường trung tuyến AM Điểm O đoạn AM F giao điểm BO AC, E giao điểm CO AB Từ M kẻ đường thẳng song song với CE, BF cắt AB, AC H, K a) Chứng minh EF / /HK b) Chứng minh EF / /BC c) Chứng minh N trung điểm FE Câu Cho ABC , kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB D cắt AC E Qua C kẻ tia Cx song song với AB cắt DE G Gọi H giao điểm AC BG a) Chứng minh DA.EG DB.DE b) Chứng minh HC HE.HA HƯỚNG DẪN GIẢI Dạng Sử dụng định lí Ta-lét đảo để chứng minh đường thẳng song song Câu Ta có: AD AK DK DK AD AK 5 4 cm Xét ABO , ta có: AB / /DC (ABCD hình thang) Trang AO AB (hệ định lí Ta-lét) OC DC AO OC Lại có AO AK AK suy OC KD KD KO / /DC (định lí Ta-lét đảo) Dạng Sử dụng hệ định lí Ta-lét để tính độ dài đoạn thẳng, chứng minh hệ thức, đoạn thẳng Câu a) Xét ABD , ta có AB / /MO (giả thiết) DM DO (định lí Ta-lét) MA OB (1) Xét ABC , ta có AB / /NO (giả thiết) CN CO (định lí Ta-lét) NB OA (2) Xét ABO , ta có AB / /DC (giả thiết) DO CO DC (hệ định lí Ta-lét) (3) OB OA AB Từ (1), (2) (3) suy DM CN DC MA NB AB b) Xét ABD , ta có AB / /MO (giả thiết) Xét ABC , ta có AB / /NO (giả thiết) Ta có: DM MO (hệ định lí Ta-lét) (4) DA AB CN NO (hệ định lí Ta-lét) CB AB DM CN DM CN DM CN (chứng minh câu a) MA NB MA DM NB CN AD BC Từ (4), (5) (6) suy (5) (6) MO NO AB AB Hay MO NO (điều phải chứng mình) Câu a) Xét DAC , ta có ME / /AC DC DE DM (định lí Ta-lét) DC DA b) Xét DBC , ta có NE / /BC DB DE DN (định lí Ta-lét) DC DB Trang Mà DN DM DE DE DM (chứng minh trên) nên DB DA DC DC DA Xét DAB , ta có DN DM (chứng minh trên) DB DA MN / /AB (định lí Ta-lét đảo) c) Xét DAB , ta có MN / /AB (chứng minh trên) DM MN (hệ định lí Ta-lét) DA AB (1) Xét DAC , ta có ME / /AC (chứng minh trên) DM ME (hệ định lí Ta-lét) DA AC Từ (1) (2) suy (2) MN ME DM AB AC DA Mà AB AC ( ABC cân A) nên MN ME (3) NME cân M MEN MNE Lại có: MEN MBN 90 ( BNE vuông N) MNE MNB 90 ( BNE vuông N) Suy ra: MBN MNB NMB cân M MB MN (4) Từ (3) (4) suy ra: ME MB MN Dạng Sử dụng định lí Ta-lét đảo để chứng minh đường thẳng song song Câu a) Xét AHM , ta có OE / /HM (giả thiết) AE AO (định lí Ta-lét) AH AM (1) Xét AKM , ta có OF/ /MK (giả thiết) AF AO (định lí Ta-lét) AK AM Từ (1) (2) suy ra: Xét AHK , ta có (2) AE AF AO AH AK AM AE AF (chứng minh trên) AH AK EF / /HK (định lí Ta-lét đảo) b) Xét CBF , ta có: MK / /BF (giả thiết) Trang CK CM (định lí Ta-lét) CF CB (3) Xét CBE , ta có MH / /CE (giả thiết) BH BM (định lí Ta-lét) BE BC (4) CK BH CF BE Từ (3) (4) suy ra: EF / /BC (định lí Ta-lét đảo) c) Xét ABM , ta có: EN / /BM EF / /BC Xét ACM , ta có: OF / /CM EF / /BC AN EN (hệ định lí Ta-lét) (5) AM BM AN FN (hệ định lí Ta-lét) AM CM (6) EN FN BM CM Từ (5) (6) suy ra; Mà BM CM (M trung điểm BC) nên EN FN Hay N trung điểm EF Câu a) Xét tứ giác BDGC, ta có: BD / /CG (giả thiết) BC / /DG (giả thiết) Tứ giác BDGC hình bình hành có hai cặp cạnh đối song song BD CG Xét ADE ta có: AD / /CG (giả thiết) AD DE (hệ định lí Ta-lét) CG EG AD.EG DE.CG AD.EG DE.DB DB CG b) Xét ABC , ta có DE / /BC (giả thiết) Xét ABH , ta có: AB / /CG (giải thiết) BD CH CG BD BA HA Từ (1) (2) suy BD CE (định lí Ta-lét) BA CA (1) CG CH (hệ định lí Ta-lét) AB HA (2) CE CH CE CH HE CH HE CA HA CA HA CH HA CH Hay CH HE.HA Trang 10