Bài 2 Định lí đảo và hệ quả của định lí Ta lét Bài 6 trang 84 sách bài tập Toán 8 Tập 2 Cho tam giác ABC có cạnh BC = a Trên cạnh AB lấy các điểm D và E sao cho AD = DE = EB Từ D, E kẻ các đường thẳng[.]
Bài 2: Định lí đảo hệ định lí Ta-lét Bài trang 84 sách tập Tốn Tập 2: Cho tam giác ABC có cạnh BC = a Trên cạnh AB lấy điểm D E cho AD = DE = EB Từ D, E kẻ đường thẳng song song với BC, cắt cạnh AC theo thứ tự M N Tính theo a độ dài đoạn thẳng DM EN Lời giải: Ta có: AD = DE = EB = AB (giả thiết) Suy ra: AE = AD + DE = AB (2) Trong ΔABC, ta có: DM // BC (gt) Nên AD DM = (Hệ định lí Ta-lét) AB BC Suy : AD DM = (3) AB a Từ (1) (3) suy ra: DM = a a Suy ra: DM = Trong ΔABC, ta có: EN // BC (gt) Suy ra: AE EN = ( hệ định lí Ta- let) AB BC (1) Suy ra: AE EN = (4) AB a Từ (2) (4) suy ra: EN 2a = hay EN = a 3 Bài trang 84 sách tập Toán Tập 2: Cho hình vẽ bên Cho biết MN // BC, AB = 25cm, BC = 45cm, AM = 16cm, AN = 10cm Tính độ dài x, y đoạn thẳng MN, AC Lời giải: Ta có: MN // BC (gt), áp dụng hệ định lý Ta – lét suy ra: Suy ra: AN AM MN = = (Hệ định lí Ta-lét) AB AC BC 10 16 x = = 25 y 45 10 25 x = 45 = 18; y = 16 = 40 25 10 Vậy x = 18; y = 40 Bài trang 84 sách tập Toán Tập 2: Hình vẽ cho biết tam giác ABC vng A, MN // BC, AB = 24cm, AM = 16cm, AN = 12cm Tính độ dài x, y đoạn thẳng NC, BC Lời giải: Trong ΔABC, ta có: MN // BC (gt) Suy ra: AM AN = (định lí Ta- let) AB AC Suy ra: AC = AB.AN 24.12 = = 18(cm) AM 16 Vậy NC = AC – AN = 18 – 12 = 6(cm) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vng AMN, ta có: MN2 = AM2 + AN2 = 162 + 122 = 400 MN = 20cm Trong ΔABC, ta có: MN // BC (gt) Suy ra: AM MN = (Hệ định lí Ta – lét) AB BC Vậy: BC = MN.AB 20.24 = = 30 (cm) AM 16 Vậy x = NC = cm, y = BC = 30 cm Bài trang 84 sách tập Toán Tập 2: Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo AC BD cắt O Chứng minh rằng: OA.OD = OB.OC Lời giải: Ta có: AB // CD (gt), áp dụng hệ định lý Ta – lét ta có: Suy OA OB = (hệ định lí ta-lét) OC OD Vậy OA.OD = OB.OC (điều phải chứng minh) Bài 10 trang 84 sách tập Tốn Tập 2: Cho hình thang ABCD (AB // CD) Đường thẳng song song với đáy AB cắt cạnh bên đường chéo AD, BD, AC, BC theo thứ tự điểm M, N, P, Q Chứng minh MN = PQ Lời giải: Trong ΔADB, ta có: MN // AB (gt) Suy ra: DN MN hệ định lí ta-lét) (1) = DB AB Trong ΔACB, ta có: PQ // AB (gt) Suy ra: CQ PQ = Hệ định lí Ta-lét) (2) CB AB Lại có: NQ // AB (gt) AB // CD (gt) Suy ra: NQ // CD Trong ΔBDC, ta có: NQ // CD (chứng minh trên) Suy ra: DN CQ = (Định lí Ta-lét) (3) DB CB Từ (1), (2) (3) suy MN PQ hay MN = PQ (điều phải chứng minh) = AB AB Bài 11 trang 85 sách tập Toán Tập 2: Cho hình thang ABCD (AB // CD) AE p Trên cạnh AD lấy điểm E cho = Qua E kẻ đường thẳng song song với ED q p.CD + q.AB đáy cắt BC F Chứng minh rằng: EF = p +q Lời giải: Kẻ đường chéo AC cắt EF I Trong ΔADC, ta có: EI // CD Suy ra: AE EI = AD CD Suy ra: EI = Lại có : AE CD (1) AD AE p (giả thiết) = ED q Suy ra: AE AE p = = (2) AD AE + ED q + p Từ (1) (2) suy ra: EI = p CD p +q Trong ΔABC, ta có: FI // AB Suy ra: BF AI = (định lí ta-lét) (3) FC IC Trong ΔADC, ta có : EI // CD Suy ra: AE AI = (định lí ta-lét) (4) ED IC Từ (3) (4) suy BF AE p = = FC ED q Trong ΔABC, ta có: IF // AB Suy ra: IF CF = (định lí ta-lét) AB CB Suy ra: IF = Ta có: Suy ra: CF AB ( 5) CB BF p = ( chứng minh trên) CF q CF q CF q CF q = = = ( 6) BF p CF + BF p + q BC p + q Từ (5) (6) suy ra: IF = Vậy: EF = EI + IF = q AB p +q p q p.CD +qAB CD + AB = p +q p +q p +q (điều phải chứng minh) Bài 12 trang 85 sách tập Toán Tập 2: Hình thang cân ABCD (AB // CD) có hai đường chéo AC BD cắt O Gọi M, N theo thứ tự trung điểm BD AC Cho biết MD = 3MO, đáy lớn CD = 5,6cm a) Tính độ dài đoạn thẳng MN đáy nhỏ AB b) So sánh độ dài đoạn thẳng MN với nửa hiệu CD AB Lời giải: a) Vì ABCD hình thang cân có AB // CD nên: AC = BD (1) Xét ΔADC ΔBCD, ta có: AC = BD (chứng minh trên) AD = BC (hình thang ABCD cân) CD cạnh chung Suy ra: ΔADC = ΔBCD (c.c.c) Suy : ACD = BDC Hay OCD = ODC Suy tam giác OCD cân O Suy ra: OD = OC (tính chất tam giác cân) (2) Từ (1) (2) suy ra: OA = OB 1 Ta có: AN = BM = AC = BD 2 Mà OA = OB ⇒ OM = ON Lại có: MD = 3MO (gt) ⇒ NC = 3NO Trong ΔOCD, ta có: MO NO = = MD NC Suy ra: MN // CD (Định lí đảo định lí Ta-lét) Ta có: OD = OM + MD = OM + 3OM = 4OM Trong ΔOCD, ta có: MN // CD Suy ra: Suy ra: OM MN = Hệ định lí Ta-lét) OD CD MN OM = = CD 4OM Suy ra: MN = 1 CD = 5,6 = 1,4 (cm) 4 Ta có: MB = MD (gt) Suy ra: MB = 3OM hay OB = 2OM Lại có: AB // CD (gt), MN //CD suy ra: MN // AB Ta có: MN // AB, áp dụng hệ định lý Ta – let ta được: OM MN = (Hệ định lí Ta-lét) OB AB Suy ra: MN OM = = AB 2OM Vậy: AB = 2MN = 2.1,4 = 2,8(cm) b) Ta có: CD− AB 5,6 − 2,8 = = 1,4cm 2 Mà MN = 1,4 cm Vậy MN= CD − AB Bài 13 trang 85 sách tập Toán Tập 2: Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD) Gọi trung điểm đường chéo AC, BD thứ tự N M Chứng minh rằng: a) MN // AB; b) MN = CD − AB Lời giải: a) Gọi P trung điểm AD, nối PM Trong ΔDAB ta có: Suy ra: PA BM = ; = AD BD PA BM = AD BD Suy ra: PM // AB (Định lí đảo định lí Ta-lét) (1) Trong ΔACD, ta có AP AN = ; = AD AC Suy ra: AP AN = AD AC Suy ra: PN // CD (định lí đảo định lí Ta-lét) (2) Lại có AB // CD (gt) (3) Từ (1), (2) (3) theo tiên đề Ơ-clít suy P, M, N thẳng hàng Vậy MN // CD hay MN // AB b) Vì PM đường trung bình tam giác DAB nên: PM = AB (tính chất đường trung bình tam giác) Vì PN đường trung bình tam giác ΔACD nên: PN = CD (tính chất đường trung hình tam giác) Mà PN = PM + MN Suy ra: MN = PN − PM = CD AB CD−AB (điều phải chứng minh) − = 2 Bài 14 trang 85 sách tập Tốn Tập 2: Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo AC BD cắt O Đường thẳng qua O song song với đáy AB cắt cạnh bên AD, BC theo thứ tự M, N Chứng minh OM = ON Lời giải: Trong ΔDAB, ta có: OM // AB (gt) OM DO (Hệ định lí Ta-lét) (1) = AB DB Trong ΔCAB, ta có: ON // AB (gt) ON CN = (Hệ định lí Ta-lét) (2) AB CB Trong ΔBCD, ta có: ON // CD (gt) Suy ra: DO CN = (định lí Ta-lét) (3) DB CB Từ (1), (2) (3) suy ra: OM ON = AB AB Vậy: OM = ON ( điều phải chứng minh) Bài 15 trang 86 sách tập Toán Tập 2: Cho trước ba đoạn thẳng có độ dài m p tương ứng m, n, p Hãy dựng đoạn thẳng thứ tư có độ dài q cho = n q Lời giải: * Cách dựng: - Dựng hai tia chung gốc Ox Oy phân biệt không đối - Trên tia Ox dựng đoạn OA = m dựng đoạn AB = n cho A nằm O B - Trên tia Oy dựng đoạn OC = p - Dựng đường thẳng AC - Từ B dựng đường thẳng song song với AC cắt tia Oy D Đoạn thẳng CD = q cần dựng * Chứng minh: Theo cách dựng, ta có: AC // BD Trong ΔOBD ta có: AC // BD Suy ra: Vậy OA OC = ( định lí Ta- let) AB CD m p = n q Bài 16 trang 86 sách tập Toán Tập 2: Cho đoạn thẳng AB = 3cm, CD = AB EF = 5cm, EF = 2cm Hãy đựng đoạn thẳng thứ tư có độ dài a cho hay CD a = Tính giá trị a a Lời giải: * Cách dựng: - Dựng hai tia chung gốc Ox Oy phân biệt không đối - Trên Ox dựng đoạn OM = AB = 3cm dựng đoạn MN = CD = 5cm cho M nằm O N - Trên tia Oy dựng đoạn OP = EF = 2cm - Dựng đường thẳng PM - Từ N dựng đường thẳng song song với PM cắt tia Oy Q Đoạn thẳng PQ = a cần dựng * Chứng minh: Theo cách dựng, ta có: PM // NQ Trong ΔONQ ta có: PM // NQ Suy ra: OM OP ( định lí Ta- let) = MN PQ Suy ra: AB EF = hay = CD a a Vậy a = 5.2 10 = cm 3 Bài tập bổ sung Bài 2.1 trang 86 sách tập Tốn Tập 2: Hình bs.1 cho biết AB // CD, O ∈ MN, MN = 5cm, OB = 1,5cm, OD = 4,5cm, MB = 1cm Hãy chọn kết Độ dài đoạn thẳng MO (tính theo đơn vị cm) : A 1,25; B 2,25; C 3,25; D 4,25 Độ dài đoạn thẳng NO (tính theo đơn vị cm) là: A 5,75; B 3,75; C 4,25; D 2,75 Lời giải: Chọn A Ta có: MB // DN, áp dụng định lí Ta -let ta có: OD ON = OB OM Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau: OD +OB ON +OM OD +OB MN = = OB OM OB OM 4,5 +1,5 1,5.5 = OM = =1,25 1,5 OM Chọn B Ta có: NO = MN – MO = – 1,25 = 3,75 cm Bài 2.2 trang 86 sách tập Tốn Tập 2: Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM CN cắt O Chứng minh OM.OC = ON.OB Lời giải: Vì M, N trung điểm cạnh AC AB nên đường thẳng MN song song với BC (đường trung bình) Do tứ giác BCMN hình thang có hai đường chéo BM CN cắt O Theo kết chứng minh tập số 9, ta có: OM.OC = ON.OB Bài 2.3 trang 86 sách tập Tốn Tập 2: Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo AC BD cắt O Gọi M, K, N, H chân đường vng góc hạ từ O xuống cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh rằng: a) OM AB = ; ON CD b) OH BC = OK AD Lời giải: a) Vì OM ⊥ AB ON ⊥ CD, mà AB // CD nên suy M, O, N thẳng hàng Mặt khác, AB // CD nên theo Định lí Ta-lét ta có: OM MA OM MB = = hay ON NC ON ND Theo tính chất dãy tỉ số ta có: MA MB MA+ MB AB = = = NC ND NC + ND CD OM AB = (điều phải chứng minh) ON CD b) Từ O kẻ đường thẳng song song với AB CD cắt AD E, cắt BC F Áp dụng kết chứng minh 14 ta có: OE = OF Từ đó, ta có: SAEO = SBFO (1) (hai tam giác có đường cao hai đáy nhau); SDEO = SCFO (2) Từ (1) (2) suy : SOAD = SOBC (3) Suy ra: OH.AD = OK.BC OH BC = (điều phải chứng minh) OK AD ... lí Ta- let) AB AC Suy ra: AC = AB.AN 24 . 12 = = 18( cm) AM 16 Vậy NC = AC – AN = 18 – 12 = 6(cm) Áp dụng định lí Pi -ta- go vào tam giác vng AMN, ta có: MN2 = AM2 + AN2 = 1 62 + 122 = 400 MN = 20 cm... (tính theo đơn vị cm) : A 1 ,25 ; B 2, 25; C 3 ,25 ; D 4 ,25 Độ dài đoạn thẳng NO (tính theo đơn vị cm) là: A 5,75; B 3,75; C 4 ,25 ; D 2, 75 Lời giải: Chọn A Ta có: MB // DN, áp dụng định lí Ta -let ta có:... 2OM Lại có: AB // CD (gt), MN //CD suy ra: MN // AB Ta có: MN // AB, áp dụng hệ định lý Ta – let ta được: OM MN = (Hệ định lí Ta- lét) OB AB Suy ra: MN OM = = AB 2OM Vậy: AB = 2MN = 2. 1,4 = 2 ,8( cm)