Bài 2 Định lí đảo và hệ quả của định lí Ta lét Câu hỏi 1 trang 59 SGK Toán lớp 8 Tập 2 Tam giác ABC có AB = 6cm; AC = 9cm Lấy trên cạnh AB điểm B'''', trên cạnh AC điểm C'''' sao cho AB'''' = 2cm; AC'''' = 3cm (h[.]
Bài 2: Định lí đảo hệ định lí Ta-lét Câu hỏi trang 59 SGK Tốn lớp Tập 2: Tam giác ABC có AB = 6cm; AC = 9cm Lấy cạnh AB điểm B', cạnh AC điểm C' cho AB' = 2cm; AC' = 3cm (h.8) 1) So sánh tỉ số AC' AB' ? AC AB 2) Vẽ đường thẳng a qua B' song song với BC, đường thẳng a cắt AC điểm C'' a) Tính độ dài đoạn thẳng AC'' b) Có nhận xét C' C'' hai đường thẳng BC B'C' ? Lời giải: 1) Ta có: AB' = AB AC' = AC = ; 3 = Suy ra: AB' AC' = AB AC 2) a) Vì B’C” // BC nên theo định lí Ta – let ta có: AB' AC'' = = AB AC 1 Suy ra: AC'' = AC = = 3cm 3 b) Trên đoạn thẳng AC ta có: AC’= AC’’= cm nên hai điểm C’ C” trùng Khi đó, hai đường thẳng BC B’C’ song song với Câu hỏi trang 60 SGK Toán lớp Tập 2: Quan sát hình a) Trong hình cho có cặp đường thẳng song song với ? b) Tứ giác BDEF hình ? AD AE DE ; ; cho nhận xét mối liên hệ cặp AB AC BC cạnh tương ứng hai tam giác ADE ABC c) So sánh tỉ số Lời giải: a) AD = = BD AE = = EC 10 Ta có: AD AE = = BD EC Nên theo định lí Ta - let đảo ta có: DE // BC Lại có: CF 14 = =2 BF CE 10 = =2 EA Do đó: CF CE = =2 BF EA Nên theo định lí Ta- let đảo ta có: EF // AB b) Vì DE // BC nên DE // BF Vì EF // AB nên EF // DB Tứ giác BDEF hình bình hành có cặp cạnh đối song song với c) Tứ giác BDEF hình bình hành ⇒ DE = BF = AD 3 = = = ; AB + AE 5 = = = AC + 10 15 DE 7 = = = BC +14 21 Suy ra: AD AE DE = = AB AC BC Vậy ba cạnh ΔADE tương ứng tỉ lệ với ba cạnh ΔABC Câu hỏi trang 62 SGK Toán lớp Tập 2: Tính độ dài x đoạn thẳng hình 12 Lời giải: Áp dụng hệ định lí Ta – lét ta có: - Hình a: AD DE = AB BC Thay số: x x 2.6,5 = = x= = 2,6 + 6,5 6,5 - Hình b: Ta có: Thay số: MN NO = PQ PO 2.5,2 52 = x= = 3,467 5,2 x 15 - Hình c: Ta có: AB CD vng góc với EF nên: AB // CD Do đó; BE EO = = CF FO 3,5 x 3.3,5 x= = 5,25 Bài tập Bài trang 62 SGK Tốn lớp tập 2: Tìm cặp đường thẳng song song hình 13 giải thích chúng song song Lời giải: a) Xét hình 13a) : MN // AB Chứng minh: Ta có: Suy ra: MC 15 NC 21 = = 3; = =3 AM BN MC NC = AM BN ⇒ MN // AB (Theo định lý Ta-let đảo) b) Xét hình 13b) Ta có: B"A"O = OA'B' ⇒ A’B’ // A”B” (Hai góc so le nhau) Lại có: Suy ra: OA' OB' = ; = = A'A B'B 4,5 OA' OB' = A'B / /AB A'A B'B Vậy AB// A’B’ // A”B” Bài trang 62 SGK Toán lớp tập 2: Tính độ dài x, y hình 14 Lời giải: + Hình 14a) Ta có: MN // EF ⇒ DM MN = (Hệ định lý Ta-let) DE EF Mà DM = 9,5 ; DE = DM + ME = 9,5 + 28 = 37,5 ; MN = ; EF = x Thay số: 9,5 37,5 600 = x = = 37,5 x 9,5 19 + Hình 14b) Ta có: A’B’ ⊥ AA’; AB ⊥ AA’ ⇒ A’B’ // AB ⇒ A 'B' OA ' = (Hệ định lý Ta-let) AB OA Mà OA’ = ; OA = ; A’B’ = 4,2 ; AB = x Thay số: 4,2 4,2 = x= = 8,4 x Áp dụng định lý Pytago tam giác OAB vuông A ta có: OA2 + AB2 = OB2 Mà OA = 6; AB = x = 8,4 nên OB2 = 62 + 8,42 = 106, 56 Do đó, OB = 106,56 Bài trang 63 SGK Toán lớp tập 2: a) Để chia đoạn thẳng AB thành ba đoạn thẳng nhau, người ta làm hình 15 Hãy mơ tả cách làm giải thích đoạn thẳng AC, CD, DB nhau? b) Bằng cách làm tương tự, chia đoạn thẳng AB cho trước thành đoạn Hỏi có cách khác với cách làm mà chia đoạn thẳng AB cho trước thành đoạn thẳng bẳng nhau? Lời giải: a) - Mô tả cách làm: + Vẽ đoạn thẳng PQ song song với AB, PQ có độ dài đơn vị + E, F nằm PQ cho PE = EF = FQ = Xác định giao điểm O hai đoạn thẳng PB QA + Vẽ đường thẳng EO, FO cắt AB C D Khi ta AC = CD = DB - Chứng minh AC = CD = DB: Theo hệ định lý Ta-let ta có: ΔOAC có FQ // AC (F ∈ OC, Q ∈ OA) ⇒ AC OA OC = = (1) FQ OQ OF ΔOCD có EF // CD (E ∈ OD, F ∈ OC) ⇒ CD OC OD = = (2) EF OF OE ΔODB có PE // BD (P ∈ OB, E ∈ OD) ⇒ BD OD OB = = (3) PE OE OP Từ (1); (2); (3) đẳng thức suy AC CD BD = = FQ EF PE Mà FQ = EF = PE ⇒ AC = CD = DB (đpcm) b) Tương tự chia đoạn thẳng AB thành đoạn thực hình vẽ sau Ngồi cách trên, ta chia đoạn thẳng thành đoạn cách vẽ thêm đoạn thẳng AC đơn vị, chia đoạn thẳng AC thành đoạn thẳng nhau, đoạn đơn vị: AD = DE = EF = FG = GC Từ điểm D, E, F, G ta kẻ đường thẳng song song với BC, cắt AB H, I, J, K Khi ta thu đoạn thẳng AH = HI = IJ = JK = KB Bài trang 63 SGK Toán lớp tập 2: Cho tam giác ABC điểm D cạnh AB cho AD = 13,5cm, DB = 4,5cm Tính tỉ số khoảng cách từ điểm D B đến cạnh AC Lời giải: Gọi DH BK khoảng cách từ D B đến cạnh AC Ta có AB = AD + DB ⇒ AB = 13,5 + 4,5 = 18 (cm) Vì DH // BK (cùng vng góc với AC) nên áp dụng hệ định lí Ta-lét ta có: DH AD 13,5 = = = BK AB 18 Vậy tỉ số khoảng cách từ D B đến cạnh AC Luyện tập (trang 63-64-65 sgk Toán Tập 2) Bài 10 trang 63 SGK Toán lớp tập 2: Tam giác ABC có đường cao AH Đường thẳng d song song với BC cắt cạnh AB, AC đường cao AH theo thứ tự điểm B', C' H' (h.16) a) Chứng minh rằng: AH ' B'C' = AH BC b) Áp dụng: Cho biết AH ' = AH diện tích tam giác ABC 67,5 cm2 Tính diện tích tam giác AB’C’ Lời giải: a) Xét ΔABC có B’C’ // BC (B’ ∈ AB; C’ ∈ AC) ⇒ B'C' AC' = (hệ định lý Ta – let) (1) BC AC Xét ΔAHC có H’C’ // HC (H’ ∈ AH, C’ ∈ AC) ⇒ AH ' AC' = (định lý Ta – lét)(2) AH AC Từ (1); (2) suy ra: AH ' B'C' = AH BC AH ' = b) Vì AH ' = AH AH Mà theo a) AH ' B'C' B'C' = = nên AH BC BC Ta có: 1 SABC = AH.BC; SAB'C' = AH' B'C' 2 SAB'C' SABC AH'.B'C' AH' B'C' 1 = = = = AH BC 3 AH.BC 1 SAB'C ' = SABC = 67,5 = 7,5 cm 9 Bài 11 trang 63 SGK Toán lớp tập 2: Tam giác ABC có BC = 15cm Trên đường cao AH lấy điểm I, K cho AK = KI = IH Qua I K vẽ đường EF // BC, MN // BC (h.17) a) Tính độ dài đoạn thẳng MN EF b) Tính diện tích tứ giác MNFE, biết diện tích tam giác ABC 270cm2 Hình 17 Lời giải: a) Áp dụng hệ định lý Ta-let ta có: ΔABC có MN // BC (M ∈ AB, N ∈ AC) ⇒ MN AN = (1) BC AC ΔAHC có KN // HC (K ∈ AH, N ∈ AC) ⇒ AK AN = (2) AH AC Từ (1) (2) suy ra: MN AK = BC AH Chứng minh tương tự ta có: EF AI = BC AH Mà ta có: AK = KI = IH nên AK = (do AH = AK + KI + IH) AH MN BC 15 = MN = = = 5cm BC 3 Và AI EF = = AH BC EF = BC =10cm Vậy MN = 5cm; EF = 10cm b) Ta có: 1 SAMN = MN.AK; SAEF = EF.AI; SABC = AH.BC 2 SAMN SABC MN.AK MN AK 1 = = = = BC AH 3 AH.BC SAMN = SABC SAEF SABC EF.AI EF AI 2 = = = = BC AH 3 AH BC SAEF = SABC SMNFE = SAEF − SAMN = SABC − SABC 9 1 = SABC = 270 = 90 cm 3 Bài 12 trang 64 SGK Toán lớp tập 2: Có thể đo chiều rộng khúc sơng mà không cần phải sang bờ bên hay không? Người ta tiến hành đo đạc yếu tố hình học cần thiết để tính chiều rộng khúc sơng mà khơng cần phải sang bờ bên Nhìn hình vẽ cho, mô tả công việc cần làm tính khoảng cách AB = x theo BC = a, B’C’ = a’; BB’ = h Lời giải: + Mô tả cách làm: - Chọn điểm A cố định bên mép bờ sông bên (chẳng hạn thân cây), đặt hai điểm B B' thẳng hàng với A, điểm B sát mép bờ cịn lại AB khoảng cách cần đo - Trên hai đường thẳng vng góc với AB' B B' lấy C C' thằng hàng với A - Đo độ dài đoạn BB' = h, BC = a, B'C' = a' ta tính đoạn AB + Cách tính AB Ta có: BC ⊥ AB’ B’C’ ⊥ AB’ ⇒ BC // B’C’ ΔAB’C’ có BC // B’C’ (B ∈ AB’, C ∈ AC’) ⇒ let) AB BC = (hệ định lý Ta AB' B'C' Thay số: x a h +x a ' = = h +x a' x a Suy ra: h a' h a' a '− a +1 = = − = x a x a a x= ah q a '− a Bài 13 trang 64 SGK Tốn lớp tập 2: Có thể đo gián tiếp chiều cao tường cao dụng cụ đơn giản khơng? Hình 19 thể cách đo chiều cao AB tường dụng cụ đơn giản gồm: Hai cọc thẳng đứng (cọc cố định; cọc di động được) sợi dây FC Cọc có chiều cao DK = h Các khoảng cách BC = a, DC = b đo thước dây thông dụng a) Em cho biết người ta tiến hành đo đạc b) Tính chiều cao AB theo h, a, b Lời giải: a) Cách tiến hành: - Đặt hai cọc thẳng đứng, di chuyển cọc cho điểm A, F, K nằm đường thẳng - Dùng sợi dây căng thẳng qua điểm F K để xác định điểm C mặt đất (3 điểm F, K, C thẳng hàng) Sử dụng định lý Ta – let để tính AB b) ΔABC có AB // KD (D ∈ BC, K ∈ AC) KD CD KD BC = AB = = AB BC CD b Vậy chiều cao tường b Bài 14 trang 64-65 SGK Toán lớp tập 2: Cho ba đoạn thẳng có độ dài m, n, p (cùng đơn vị đo) Dựng đoạn thẳng có độ dài x cho: a) x = 2; m b) x = ; n c) m n = x p Hướng dẫn: Câu b) – Vẽ hai tia Ox, Oy - Trên tia Ox đặt đoạn thẳng OA = đơn vị, OB = đơn vị - Trên tia Oy đặt đoạn thẳng OB’ = n xác định điểm A’ cho - Từ ta có OA’ = x Lời giải: a) OA OA ' = OB OB' - Cách dựng: + Vẽ hai tia Ox, Oy không đối + Trên tia Ox lấy A B cho OA = đơn vị, OB = đơn vị + Trên tia Oy lấy điểm M cho OM = m + Vẽ đường thẳng qua B song song với MA cắt Oy C Khi đoạn thẳng OC đoạn thẳng cần dựng - Chứng minh: Ta có: AM // BC nên theo định lí Ta – let: Mà OA OM = = OB OC Hay m x = = x m OM OA = OC OB b) - Cách dựng: + Vẽ hai tia Ox, Oy không đối + Trên tia Ox lấy A B cho OA = đơn vị, OB = đơn vị + Trên tia Oy lấy điểm N cho ON = n + Vẽ đường thẳng qua A song song với NB cắt Oy D Khi đoạn thẳng OD đoạn thẳng cần dựng - Chứng minh: Ta có: AD // BN nên theo định lí Ta – let ta có: Mà OD OA = ON OB OA OD x = = hay = OB ON n c) - Cách dựng: + Vẽ hai tia Ox, Oy không đối + Trên tia Ox lấy A B cho OA = n đơn vị, OB = p đơn vị + Trên tia Oy lấy điểm M cho OM = m + Vẽ đường thẳng qua B song song với MA cắt Oy E Khi đoạn thẳng OE đoạn thẳng cần dựng - Chứng minh: Ta có: AM// BE nên theo định lí Ta – let ta có: Hay n m = p x OA OM = OB OE ... A ta có: OA2 + AB2 = OB2 Mà OA = 6; AB = x = 8, 4 nên OB2 = 62 + 8, 42 = 106, 56 Do đó, OB = 106,56 Bài trang 63 SGK Toán lớp tập 2: a) Để chia đoạn thẳng AB thành ba đoạn thẳng nhau, người ta. .. Hình 14b) Ta có: A’B’ ⊥ AA’; AB ⊥ AA’ ⇒ A’B’ // AB ⇒ A ''B'' OA '' = (Hệ định lý Ta- let) AB OA Mà OA’ = ; OA = ; A’B’ = 4 ,2 ; AB = x Thay số: 4 ,2 4 ,2 = x= = 8, 4 x Áp dụng định lý Pytago tam giác... định lí Ta – lét ta có: - Hình a: AD DE = AB BC Thay số: x x 2. 6,5 = = x= = 2, 6 + 6,5 6,5 - Hình b: Ta có: Thay số: MN NO = PQ PO 2. 5 ,2 52 = x= = 3,467 5 ,2 x 15 - Hình c: Ta có: AB CD vng