1ΔABCAHN có AF vừa là đường cao vừa là trung tuyếnNên ΔABCAHN cân tại A AH AN.. Vậy GINK là hình vng.
Trang 1CHƯƠNG 4.
Bài 1 ĐỊNH LÍ THALÈS TRONG TAM GIÁC.
Bài 1:
Hình 1: B E mà B E, đồng vị nên DE∥ AB Ta có các hệ thức sau
CE CD BE AD CE CD
CB CA CB CA BE AD Hình 2 : BAM AMN mà BAM AMN , so le nên AB∥ MN. Ta có các hệ thức sau
CA CB AC BC NA MB Hình 3: QH AC AB, AC QH∥ AB Ta có các hệ thức sau
CH CQ HA QB CH CQ
CA CB CA CB HA QB
Bài 2: ( Hình 4)
ΔABCABC có
3 1
6 2
DA
AB và
3,5 1
EC
BC
DA EC
DE AC
AB BC ∥
Bài 3: ( Hình 5)
ΔABCABC có
10 5
MC
AC và
2 5
NB
AB
MC NB
BC MN
AC AB ∥
Bài 4: ( Hình 6)
Ta có ΔABCBC BO OC 4 4 8
ΔABCABC có
3 1
6 2
AI
AC và
4 1
8 2
OB
BC
AI OB
AB IO
AC BC ∥
Bài 5: ( Hình 7)
1
Q
H
B
Hình 3 Hình 2
N
A
B
Hình 1
E
D A
B
C
Hình 4 7
6
3,5 3
E
D
C
A
B
Hình 5
M
C
A
5
10
4
2
O I
Hình 6
C
6
4
4 3
I
B A
Trang 2a) ΔABCADC có .
AI AO
IO DC
ID OC
AO BK
OK AB
OC KC
∥
2
c) Từ 1 , 2 . . .
AI BK
AI KC ID BK
ID KC
Bài 6: ( Hình 8)
a) Xét ΔABCAMN và ΔABCADE có:
AM AD ( giả thiết)
MAN CAB ( đối đỉnh)
AN AE ( giả thiết) ΔABCAMN ΔABCADE c g c
( hai góc tương ứng) mà M ADE , so le trong nên MN∥ DE. 1
b) ΔABCABC có
2 1
4 2
AD
AC và
3 1
6 2
DE BC
Từ 1 , 2 MN∥ BC.
Bài 7: ( Hình 9)
Tứ giác BMCN có hai đường chéo BC MN, cắt nhau tại D
Là trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành
AF AM
AB AN
AE AM
ME NC
AC AN
AF AE
EF BC
AB AC
Bài 8: ( Hình 10)
OE OD
DE AB
OB OA
OF OD
DF AC
OC OA
c) Từ 1 , 2 .
OE OF
EF BC
OB OC
Bài 9: ( Hình 11)
BE MG
EG BM
AE AG
∥
2
Hình 8
C B
4
2
A
N M
3
6
Hình 9
D
N
M
E F
B
A
C
Hình 10
C
E D
B
A
Hình 11
M
F E
G
N
C D
B
A
B
2
A
N M
3
Trang 3b) ΔABCANC có .
CF GN
GF NC
AF AG
∥
Xét ΔABCBDM và ΔABCCDN có:
BD CD (giả thiết)
BDM CDN (đối đỉnh)
MBD NCD (so le trong) ΔABCBDM ΔABCCDN c g c
(hai cạnh tương ứng)
Khi đó
1.
Bài 10: ( Hình 12)
Xét ΔABCOBH và ΔABCOCK có:
BO CO (giả thiết)
BOH COK (đối đỉnh)
OBH OCK (so le trong) ΔABCOBH ΔABCOCK g c g
OH OK
(hai cạnh tương ứng)
ΔABCABH có
AB AH
∥
ΔABCAKC có
AC AK
GN KC
AN AG
∥
Khi đó
AG GH AG GH HO OK
3.
* ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ THAILES
Bài 1
Dùng hệ quả của định lý Ta-let, ta có
30
60
20 40
x
ABB C x m
Bài 2.
C
A
K
G M
N H
Hình 12
1,5m
4cm
Vật kính
?
6cm
E A
C B
D
Trang 46 m >
<
?
2 m
3 m
M
D
A
1,5m
4cm
Vật kính
?
6cm
E A
C
B
D
Đổi đơn vị : 1,5 m = 150 cm.
Ta có AB // CD (cùng vuông góc BD)
(Talet) AB.ED 150.6
(cm) Vậy người đứng cách vật kính máy ảnh là 225 cm
Bài 3.
Ta có : DE // MK
⇒ DE
MK=
AE AK
⇒ 3
MK=
2 6 Tính MK = 9 m
Bài 4.
Xét ∆ ABC có
AC // ED ( AC ⊥ AB , ED ⊥ AB)
EB ED
AB AC
(hệ quả của định lí Ta – lét)
1,5 2
4
Trang 5⇒ AC = 12 (m)
Vậy chiều cao AC của cột cờ là 12m
Bài 5
Ta có: ED//AB
AB AC
=
ED EC
6,5.2
2,5
Vậy ngôi nhà cao 5,2m
Bài 6.
MC = MA+AC = 4,8+2 = 6,8 (m)
Xét DCM có AB // CD nên :
Bài 7.
Xét tam giác EAB có CD//AB (do CD và AB cùng vuông góc với
CA)
Theo hệ quả định lí Ta-lét có
CD EC
AB EA (1)
Mà CA = 5m; EC = 2,5m
1 2
3
EC
EA
và CD = 3m Thay vào (1), ta được
3
AB AB9( )m Vậy bức tường cao 9 mét
Bài 8.
D
C
10m
4,8m 2m
M B
(Hệ quả của định lý Ta-let )
4 8
10 6 8 7
,
AB ( m )
Trang 62m 8m
D
B
Xét tam giác ABE cĩ CD // AB (cùng vuơng gĩc với mặt đất)
CD EC
AB EA
(hệ quả của định lí Ta-lét)
2 8
AB
7,5
AB
(m)
Vậy chiều cao của cây là 7,5 (m)
Bài 9:
*DE / /AB (
DE CE
(
AB CB
2 3
AB 63
AB 42m
cùng vuông góc BC)
Hệ quả Talet)
Vậy chiều cao của Tháp là 42m
Bài 10:
Xét tam giác ABC cĩ DE // BC
⇒ AD
AB=
DE
BC (HQ của đl Ta-lét)
⇒ BC=30 m
Vậy khoảng cách giữa hai điểm B và C là 30m
Bài 11:
Ta cĩ: AB // ED
=>
ED
AB =
CE AC
=>
3
AB =
2 6
=> AB =
6.3
2 =9m
6
10m
5m
2m
E
B
A
C D
Trang 7Vậy chiều rộng AB của khúc sông khoảng 9m
Trang 8Bài 2 ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC Bài 1: ( Hình 1)
a) ΔABCABC có
MA MB
MN
NB NC
là đường trung bình .
b) ΔABCADC có
QA QD
QP
PD PC
là đường trung binh
QP AC
Từ 1 , 2 MN∥ QP
Mặt khác
1 2
MN AC QP
nên tứ giác MNPQ là hình bình hành
Bài 2: ( Hình 2)
a) ΔABCABC có
MA MC
MN
NA NB
là đường trung bình
1
2
1
ΔABCGBC có
IG IB
IK
KG KC
là đường trung binh
1 ,
2
IK BC IK BC
Từ 1 , 2 MN IK.
b) Tứ giác MNIK có MN∥ IK MN, IK nên là hình bình hành
Bài 3: ( Hình 3)
a) ΔABCABD có
MA MD
IB ID
MI AB
Hay MI là đường trung bình
.6 3
b) ΔABCABC có
A
NB NC
KN AB
Hay KN là đường trung bình
1 2
Vậy
1 2
MI KN AB
Bài 4: ( Hình 4)
a) ABCD là hình bình hành nên O là trung điểm
của hai đường chéo AC BD, .
8
Hình 2
C
K I
N
B
A
M
Hình 3
C
B A
D
Hình 4
F
K E
O
B A
Hình 1
Q
P
N M
B A
Trang 9ΔABCABE có
OA OC
FC FE
OF AE
Hay OF là đường trung bình
b) Vì
DE DC EC DC
Mà
.
EC
EFFC EF FC DC DC DE
hay DE EF FC.
c) ΔABCDOF có
.
ED EF
KO KD
KE OF
Bài 5: ( Hình 5)
a) ΔABCAMH có AE vừa là đường cao vừa là trung tuyến
Nên ΔABCAMH cân tại A AM AH. 1
ΔABCAHN có AF vừa là đường cao vừa là trung tuyến
Nên ΔABCAHN cân tại A AH AN. 2
Từ 1 , 2 AM AN ΔABCAMN cân tại A.
b) ΔABCHMN có
EM EH
EF
FN FH
là đường trung binh Nên EF∥ MN.
c) ΔABCAMN cân tại A nên AI là trung tuyến cũng là đường cao
AI MN
mà MN∥ EF AI EF.
Bài 6: ( Hình 6)
a) ΔABCHDC có MN là đường trung bình
1 2
Mà
1
2
AB DC AB MN
b) Ta có AB∥ DC mà MN∥ DC AB∥ MN
Lại có AB MN ABMN là hình bình hành
c) Vì
DC AD
∥
ΔABCADM có hai đường cao DH MN, cắt nhau tại N nên N là trực tâm AN DM
Mà AN∥ BM BM DM hay BMD 90 0
Bài 7: ( Hình 7)
a) ΔABCBMC có E là trực tâm nên ME BC
Mà ABBC ME∥ AB.
9
Hình 5
A
I M
N
F E
D
I E
K N
M
C
B A
Hình 6
H
M N
B A
Trang 10ΔABCKAB có
MA MK
EB EK
ME AB
b) Ta có ME∥ AB AB, ∥ DC ME∥ NC.
Lại có
1 2
ME AB NC
Vậy MNCE là hình bình hành
c) Vì MNCE là hình bình hành nên MN∥ EC mà ECMB MN MB
Bài 8: ( Hình 8)
a) ΔABCABH có MN là đường trung bình
1
2
Mà
1 ,
2
AB∥ CP CP AB
nên MN∥ PC MN, PC. Khi đó MNCP là hình bình hành
b) Vì MN∥ AB mà ABBC nên MN BC.
ΔABCBMC có N là trực tâm nên CN MB mà CN∥ MP MPMB
c) MNCP là hình bình hành nen hai đường chéo MC PN, cắt nhau tại trung điểm J của mỗi đường JP JN .
ΔABCPBN có IJ là đường trung bình nên IJ∥ BN IJ∥ HN.
Bài 9: ( Hình 9)
a) Ta có
1 2
AM MB AB DN NC
Tứ giác AMND có AM∥ DN AM, DN
Nên là hình bình hành Lại có
1 2
AD AB AM Vậy AMND là hình thoi
b) Tứ giác AMCN có
AMCN
AM NC
∥
là hình bình hành AN∥ MC. c) Vì AMND là hình bình hành nên E là trung điểm của DM.
Tương tự F là trung điểm của MC
ΔABCMDC có EF là đường trung bình nên EF∥ DC.
d) Ta có
MB DN
MBND
MB DN
∥
là hình bình hành EM∥ NF Lại có EN∥ MF EMFN là hình bình hành
AMND là hình thoi nên MEEN EMFN là hình chữ nhật
10
I J H
N M
P
Hình 8
B A
Hình 9
N
M
F
D
E
C B A
Trang 11Để MENF là hình vuông thì EM EN DE EN AE hay ΔABCADN vuông tại D
Khi đó ABCD là hình chữ nhật
Bài 10: ( Hình 10)
a) ΔABCBEC có MK là đường trung bình nên
1 2
MK EC 1
ΔABCDEC có IN là đường trung bình nên
1 2
IN EC 2
Từ 1 , 2 INKN.
b) Tương tự
1 2
IM BD
và
NK BD IM NK BD
Mà BD EC nên IM IN KM KN hay IMKN là hình thoi IK MN.
Bài 11: ( Hình 11)
a) ΔABCDHC có IJ là đường trung bình IJ∥ HC
Mà AH HC IJ AH.
b) ΔABCCBD có HJ là đường trung bình HJ∥ BD. 1
ΔABCAHJ có I là trực tâm nên AI HJ 2
Từ 1 , 2 AI BD.
Bài 12: ( Hình 12)
a) Xét ΔABCEMA và ΔABCBMC có
EMA BMC
AM MC ( giả thiết)
EM BM ( giả thiết)
ΔABCEMA ΔABCBMC c g c
AE BC
( hai cạnh tương ứng)
Và AEC B1 ( hai góc tương ứng)
Gọi BC cắt AE tại H.
Khi đó C1 B1 900 HCE AEM 900 AEBC.
b) ΔABCABC có IG là đường trung bình nên
1
2
IG∥ BC IG BC
ΔABCEBC có NK là đường trung bình nên
1 ,
2
NK∥ BC NK BC
Như vậy NK∥ IG NK, IG. nên GINK là hình bình hành
Lại có IN là đường trung bình
1 2
ΔABCIAE IN AE
Nên NI NK GINK là hình thoi
11
Hình 10
M
I
N
K
E D
B
A
C
Hình 11
J I
D
B
A
Hình 12
I C
G M
N
K
B A
D
H
1
1
I C
G M
N
K
B A
D
Trang 12Mặt khác IG∥ BC mà BCAE IGAE
Lại có NI∥ AE IGIN Vậy GINK là hình vuông
12
Trang 13Bài 3 TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC Bài 1:
Hình 1.
ΔABCABC có BD là đường phân giác
Nên
4 3 5
CD DA
CB AB x
20
3
Hình 2.
ΔABCABC có CN là đường phân giác nên 6 7 7 6
AC BC
Bài 2: ( Hình 3)
a) ΔABCABC có AD là đường phân giác nên .
BA AC CD AC
b) ΔABCAME có AD là đường phân giác nên:
.
MA EA DE EA
Bài 3: ( Hình 4)
a) ΔABCABH có BI là đường phân giác nên
AI IH
AB BH 1
ΔABCABC có BD là đường phân giác nên .
AD DC
AB BC 2 b) Ta có D1 ABD 900 và I2 IBH 900
Mà ABD IBH ( giả thiết)
Vậy ΔABCAID cân tại A.
c) ΔABCABC cân tại A AI AD 3
Từ 1 , 2 , 3 .
IH DC
BH BC
Bài 4: ( Hình 5)
a) ΔABCABC có BD là đường phân giác nên
.
AB BC DC BC 1
b) ΔABCAHC có AH∥ DE vì cùng vuông góc với BC.
AD HE
DC EC
Hình 3
M
E
B
A
E
A
D
H
Hình 5
x
Hình 2
5
3 Hình 1
6
C
B A
4
B
3,5 7
2
1 1
Hình 4
I
H
D
C B
A
Trang 14Từ 1 , 2 .
AB HE
BC EC
Bài 5: ( Hình 6)
a) ΔABCABC có BD là đường phân giác nên
AD DC
AD BC DC AB
b) ΔABCABC có DE∥ AB vì cùng vuông góc với AC.
CE CD
EB DA
Từ 1
DC BC
AD AB
kết hợp với 2
CE BC
BE AB
Bài 6: ( Hình 7)
a) ΔABCABC có
AE AD
DE BC
CE BD
∥
1
ΔABCABM có MD là đường trung tuyến nên
AD AM
BD BM 2
Từ 1 , 2
AE AM
CE BM
b) Ta có
AE AM
CE BM mà
EA AM
BM MC
EC MC
ΔABCAMC có
EA AM
EC MC nên ME là phân giác AMC.
Bài 7: ( Hình 8)
ΔABCBMC có BH là đường phân giác nên
HC BC
ΔABCBCN có CK là đường phân giác nên
KN CN
KB BC
Mà BM CN nên .
HC KB
Bài 8: ( Hình 9)
a) ΔABCABC có AM là đường phân giác góc ngoài
MB AC AB MC
b) Từ 1
MB AB
MC AC
ΔABCACM có
MB AN
BN AM
MC AC
14
Hình 6
E D
C
B A
A
D
M E
Hình 7
Hình 9
N
M
A
B C
Hình 8
N M
C B
A
Trang 15Từ 2 , 3 .
AB AN
AC AC