Chương 4 định lí ta lét lgdocx

CHƯƠNG Bài ĐỊNH LÍ THALÈS TRONG TAM GIÁC Bài 1: B A B E N Q A D C B M C C H A Hình Hình Hình Hình 1: B E mà B , E đồng vị nên DE ∥ AB Ta có hệ thức sau CE CD ; BE  AD ; CE CD CB CA CB CA BE AD Hình : B AM AMN mà B AM , AMN so le nên AB∥ MN Ta có hệ thức sau CN CM ; AN BM ; CN CM CA CB AC BC NA MB Hình 3: QH  AC, AB  AC  QH ∥ AB Ta có hệ thức sau CH CQ ; HA QB ; CH CQ A CA CB CA CB HA QB Bài 2: ( Hình 4) 6D DA 3 1 EC 3,5 1 3,5 ΔABCABC có AB BC B E C DA EC  DE ∥ AC Nên AB BC Hình Bài 3: ( Hình 5) C MC  2 NB 2 10 M ΔABCABC có AC 10 AB MC  NB  BC ∥ MN A B Nên AC AB N B O Bài 4: ( Hình 6) A 6I Hình Ta có ΔABCBC BO  OC 4  8 C Hình AI 3 1 OB 4 1 ΔABCABC có AC BC AI OB  AB∥ IO Nên AC BC Bài 5: ( Hình 7) A B I OK D C Hình a) ΔABCADC có IO∥ DC  AIID  AO OC 1 b) ΔABCABC có OK ∥ AB  AO OC BK KC  2 c) Từ 1 ,  2  AIID BK KC  AI KC ID.BK M N M N Bài 6: ( Hình 8) A A a) Xét ΔABCAMN ΔABCADE có: E D AM AD ( giả thiết) B C B C M AN C AB ( đối đỉnh) Hình Hình AN AE ( giả thiết)  ΔABCAMN ΔABCADE  c  g  c  M ADE ( hai góc tương ứng) mà M , ADE so le nên MN ∥ DE 1 AD b) ΔABCABC có AC 24 1 AE AB 36 12  AD AC  AE AB  DE ∥ BC  2 Từ 1 ,  2  MN ∥ BC Bài 7: ( Hình 9) A Tứ giác BMCN có hai đường chéo BC, MN cắt D F E Là trung điểm đường nên hình bình hành  BM ∥ NC, BN ∥ CM M ΔABCABN có FM ∥ BN  AF AB  AM AN 1 B D C ΔABCACN có ME ∥ NC  AE AC  AM AN  2 N Hình Từ 1 ,  2  AF AB  AE AC  EF ∥ BC Bài 8: ( Hình 10) A D a) ΔABCOAB có DE ∥ AB  OE OB OD OA 1 b) ΔABCOAC có DF ∥ AC  OF OC OD OA  2 EO F c) Từ 1 ,  2  OE OB OF OC  EF ∥ BC B C Hình 10 Bài 9: ( Hình 11) A EG ∥ BM  BE MG a) ΔABCABM có AE AG GF E M B D C N Hình 11 b) ΔABCANC có GF ∥ NC  CF GN AF AG Xét ΔABCBDM ΔABCCDN có: BD CD (giả thiết) B DM C DN (đối đỉnh) M BD N CD (so le trong)  ΔABCBDM ΔABCCDN  c  g  c  DM DN (hai cạnh tương ứng) BE  CF MG  GN MG   GM  MD  DN  2 MG  MD 2GD 1 Khi AE AF AG AG AG AG AG Bài 10: ( Hình 12) Xét ΔABCOBH ΔABCOCK có: A BO CO (giả thiết) B OH C OK (đối đỉnh) GN H O BH O CK (so le trong)  ΔABCOBH ΔABCOCK  g  c  g  M  OH OK (hai cạnh tương ứng) CB O C MG ∥ BH  AB  AH K ΔABCABH có AM AG Hình 12 ΔABCAKC có GN ∥ KC  AC  AK AN AG AB  AC  AH  AK  AH  AK  AG  GH    AG  GH  HO  OK  Khi AM AN AG AG AG AG 2AG  2 GH  OH  3AG 3 AG AG * ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ THAILES Bài Dùng hệ định lý Ta-let, ta có AB  BC  x 30  x 60 AB BC x  20 40 m Bài Vật kính A 1,5m B ? 6cm D E 4cm C A Vật kính 1,5m 6cm D B ? E 4cm C Đổi đơn vị : 1,5 m = 150 cm  EB AB Ta có AB // CD (cùng vng góc BD) ED DC (Talet)  EB AB.ED 150.6 225 DC (cm) Vậy người đứng cách vật kính máy ảnh 225 cm Bài M Ta có : DE // MK ? ⇒ DE MK = AE AK ⇒ 3MK = 26 D Tính MK = m m A 2m E K Bài < m > Xét ∆ ABC có AC // ED ( AC ⊥ AB , ED ⊥ AB)  EB  ED AB AC (hệ định lí Ta – lét)  1,5  AC ⇒ AC = 12 (m) Vậy chiều cao AC cột cờ 12m Bài Ta có: ED//AB  AB = AC ED EC  AB 4  2, 2,  AB 6, 2,  AB = 6,5.2 = 5,2m 2,5 Vậy nhà cao 5,2m Bài DB 10m C 2m 4,8m M MC = MA+AC = 4,8+2 = 6,8 (m) (Hệ định lý Ta-let ) AB MA Xét DCM có AB // CD nên : CD MC  AB 4,8 10 6,8 Bài  AB 7 ( m ) Xét tam giác EAB có CD//AB (do CD AB vng góc với CA) CD  EC Theo hệ định lí Ta-lét có AB EA (1)  CA 2EC  EC 1 Mà CA = 5m; EC = 2,5m EA CD = 3m Thay vào (1), ta AB 13  AB 9(m) Vậy tường cao mét Bài B D 1,5m A 8m C 2m E Xét tam giác ABE có CD // AB (cùng vng góc với mặt đất)  CD EC AB EA (hệ định lí Ta-lét)  1,5  AB   AB 7,5 (m) Vậy chiều cao 7,5 (m) Bài 9: *DE / /AB (cùng vuông góc BC) A C  DE CE ( Hệ Talet) 2m E D 5m AB CB  3 10m AB 63 B  AB 42m Vậy chiều cao Tháp 42m Bài 10: Xét tam giác ABC có DE // BC ⇒ AD AB = DE BC (HQ đl Ta-lét) ⇒ BC=30 m Vậy khoảng cách hai điểm B C 30m Bài 11: Ta có: AB // ED ED CE => AB = AC 32 => AB = 6 => AB = =9 m Vậy chiều rộng AB khúc sông khoảng 9m Bài ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC Bài 1: ( Hình 1) MA MB  MN A M B a) ΔABCABC có NB NC đường trung bình  MN ∥ AC 1 Q N QA QD  QP  D C b) ΔABCADC có PD PC P đường trung binh Hình  QP∥ AC  2 Từ 1 ,  2  MN ∥ QP Mặt khác MN 12 AC QP nên tứ giác MNPQ hình bình hành Bài 2: ( Hình 2) MA MC  MN A a) ΔABCABC có NA NB đường trung bình  MN ∥ BC, MN 12 BC 1 N M G IG IB  IK I K  ΔABCGBC có KG KC đường trung binh B C Hình  IK ∥ BC, IK 12 BC  2 Từ 1 ,  2  MN IK b) Tứ giác MNIK có MN ∥ IK, MN IK nên hình bình hành Bài 3: ( Hình 3) MA MD A B   IB ID a) ΔABCABD có MI ∥ AB M IK N  MI 1 AB 1 3cm Hình C Hay MI đường trung bình 2 D NB NC   KA KC b) ΔABCABC có KN ∥ AB 1   KN  AB MI KN   AB  Hay KN đường trung bình Vậy 2  Bài 4: ( Hình 4) A B a) ABCD hình bình hành nên O trung điểm O hai đường chéo AC, BD K C D E F Hình OA OC  FC FE  ΔABCABE có OF ∥ AE Hay OF đường trung bình DE 1 DC  EC 2 DC b) Vì Mà EF FC EC2  EF FC 12 23 DC 13 DC DE hay DE EF FC ED EF  KO KD  c) ΔABCDOF có KE ∥ OF Bài 5: ( Hình 5) A a) ΔABCAMH có AE vừa đường cao vừa trung tuyến Nên ΔABCAMH cân A  AM AH 1 N I ΔABCAHN có AF vừa đường cao vừa trung tuyến M F C Nên ΔABCAHN cân A  AH AN  2 E Từ 1 ,  2  AM AN  ΔABCAMN cân A B H Hình EM EH  EF  b) ΔABCHMN có FN FH đường trung binh Nên EF ∥ MN c) ΔABCAMN cân A nên AI trung tuyến đường cao  AI  MN mà MN ∥ EF  AI  EF Bài 6: ( Hình 6) a) ΔABCHDC có MN đường trung bình  MN 12 DC A B 1H Mà AB 2 DC  AB MN N M b) Ta có AB∥ DC mà MN ∥ DC  AB∥ MN D C Lại có AB MN  ABMN hình bình hành Hình MN ∥ DC  MN  AD  c) Vì DC  AD ΔABCADM có hai đường cao DH , MN cắt N nên N trực tâm  AN  DM Mà AN ∥ BM  BM  DM hay B MD 900 A IB M E Bài 7: ( Hình 7) a) ΔABCBMC có E trực tâm nên ME  BC Mà AB  BC  ME ∥ AB K D N C Hình MA MK  EB EK  ΔABCKAB có ME ∥ AB b) Ta có ME ∥ AB, AB∥ DC  ME ∥ NC ME 1 AB NC Vậy MNCE hình bình hành Lại có c) Vì MNCE hình bình hành nên MN ∥ EC mà EC  MB  MN  MB Bài 8: ( Hình 8) A B a) ΔABCABH có MN đường trung bình  MN ∥ AB, MN 1 AB M IN JH Mà AB∥ CP, CP 12 AB D nên MN ∥ PC, MN PC C P Khi MNCP hình bình hành Hình b) Vì MN ∥ AB mà AB  BC nên MN  BC ΔABCBMC có N trực tâm nên CN  MB mà CN ∥ MP  MP  MB c) MNCP hình bình hành nen hai đường chéo MC, PN cắt trung điểm J đường JP JN ΔABCPBN có IJ đường trung bình nên IJ ∥ BN  IJ ∥ HN Bài 9: ( Hình 9) A M B F AM MB 1 AB DN NC a) Ta có C E Tứ giác AMND có AM ∥ DN , AM DN AD 1 AB AM D N Nên hình bình hành Lại có Hình Vậy AMND hình thoi  AM ∥ NC  AMCN  b) Tứ giác AMCN có  AM NC hình bình hành  AN ∥ MC c) Vì AMND hình bình hành nên E trung điểm DM Tương tự F trung điểm MC ΔABCMDC có EF đường trung bình nên EF ∥ DC MB∥ DN  MBND  d) Ta có MB DN hình bình hành  EM ∥ NF Lại có EN ∥ MF  EMFN hình bình hành AMND hình thoi nên ME  EN  EMFN hình chữ nhật 10 Để MENF hình vng EM EN  DE EN AE hay ΔABCADN vng D Khi ABCD hình chữ nhật Bài 10: ( Hình 10) A a) ΔABCBEC có MK đường trung bình nên MK 12 EC 1 DIE ΔABCDEC có IN đường trung bình nên IN 12 EC  2 M N Từ 1 ,  2  IN KN B K C IM 1 BD NK 1 BD  IM NK 1 BD Hình 10 b) Tương tự Mà BD EC nên IM IN KM KN hay IMKN hình thoi  IK  MN Bài 11: ( Hình 11) A a) ΔABCDHC có IJ đường trung bình  IJ ∥ HC Mà AH  HC  IJ  AH b) ΔABCCBD có HJ đường trung bình HJ ∥ BD 1 I D J ΔABCAHJ có I trực tâm nên AI  HJ  2 H Từ 1 ,  2  AI  BD B Hình 11 C Bài 12: ( Hình 12) a) Xét ΔABCEMA ΔABCBMC có E MA B MC 900 E F AM MC ( giả thiết) N EM BM ( giả thiết) D C K  ΔABCEMA ΔABCBMC  c  g  c I  AE BC ( hai cạnh tương ứng) A MG B Và AEC B ( hai góc tương ứng) Hình 12 Gọi BC cắt AE H Khi C  B 900 H CE  AEM 900  AE  BC b) ΔABCABC có IG đường trung bình nên IG ∥ BC, IG 1 BC ΔABCEBC có NK đường trung bình nên NK ∥ BC, NK 1 BC E F Như NK ∥ IG, NK IG nên GINK hình bình hành N ΔABCIAE  IN 1 AE D H C K Lại có IN đường trung bình Nên NI NK  GINK hình thoi I A MG B 11 Hình 12 Mặt khác IG∥ BC mà BC  AE  IG  AE Lại có NI ∥ AE  IG  IN Vậy GINK hình vng 12 Bài TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC Bài 1: Hình B ΔABCABC có BD đường phân giác A N B CD DA  3 x Nên CB AB x x5 3,5  3.x 4.5  x 20 C D3 A C Hình Hình Hình AN NB  x 6  x  x 7  x ΔABCABC có CN đường phân giác nên AC BC 3,5  x 42  7x  21 x 42  x 4 Bài 2: ( Hình 3) A BD DC  BD  AB a) ΔABCABC có AD đường phân giác nên BA AC CD AC M b) ΔABCAME có AD đường phân giác nên: B DC DM DE  DM MA Hình MA EA DE EA Bài 3: ( Hình 4) AI IH E a) ΔABCABH có BI đường phân giác nên AB BH 1 AD DC A 1D ΔABCABC có BD đường phân giác nên AB  BC  2 I1 b) Ta có D  A BD 900 I2  IBH 900 Mà ABD IBH ( giả thiết)  I2 D I1 Vậy ΔABCAID cân A B H C Hình c) ΔABCABC cân A  AI AD  3 Từ 1 ,  2 ,  3  IH BH DC BC Bài 4: ( Hình 5) a) ΔABCABC có BD đường phân giác nên A AD AB DC BC  AD DC  AB BC 1 D b) ΔABCAHC có AH ∥ DE vng góc với BC AD HE B HE C  DC  EC  2 Hình 13 Từ 1 ,  2  AB BC HE EC Bài 5: ( Hình 6) C a) ΔABCABC có BD đường phân giác nên AD AB DC BC  AD.BC DC AB 1 D E b) ΔABCABC có DE ∥ AB vng góc với AC CE CD B  EB  DA  2 A Hình Từ 1  DC AD BC AB kết hợp với  2  CE BE BC AB A Bài 6: ( Hình 7) a) ΔABCABC có DE ∥ BC  AE CE  BD  AD 1 D E B ΔABCABM có MD đường trung tuyến nên AD AM BD  BM  2 M C Từ 1 ,  2  AE CE  BM  AM 3 Hình AE  AM BM MC  EA  AM b) Ta có CE BM mà EC MC EA AM ΔABCAMC có EC  MC nên ME phân giác AMC Bài 7: ( Hình 8) A MH MB B C ΔABCBMC có BH đường phân giác nên HC BC KN CN H K ΔABCBCN có CK đường phân giác nên KB BC MH KN M N Hình Mà BM CN nên HC KB Bài 8: ( Hình 9) A N a) ΔABCABC có AM đường phân giác góc ngồi B M MB Nên AB MC AC  MB AC AB.MC 1 C b) Từ 1  MB MC  AC  AB 2 Hình ΔABCACM có BN ∥ AM  MB MC  AC  AN 3 14 Từ  2 ,  3  AB AC  AN AC 15