UBND HUYỆN YÊN PHONG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN CẤP THCS NĂM HỌC 2022-2023 Mơn thi: Tốn Thời gian làm : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu (4,0 điểm): Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x x b) x 2023x 2022 x 2023 3x2 3x x 1 x P x x x 1 x Cho biểu thức với x R; x 1; x a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm tất giá trị nguyên x để giá trị biểu thức P số nguyên Câu (4,0 điểm): Xác định số a b cho đa thức x ax b chia cho đa thức x có dư , chia cho đa thức x có dư x Tìm x thỏa mãn 2 x x 43 Câu (4,0 điểm): y 2 x2 1 y Tìm tất số nguyên x, y cho n Tìm tất số nguyên dương n cho số 11 viết dạng tích k số tự nhiên liên tiếp với k 2 Câu (6,0 điểm): Cho tam giác ABC có AB AC Vẽ phía ngồi tam giác ABC hình vng ABDE , ACGH Chứng minh BH EC Vẽ hình bình hành AEFH Chứng minh AF vng góc với BC Gọi O giao điểm đường trung trực tam giác ABC , M N trung điểm EH BC , biết OH OE Chứng minh tứ giác AMON hình bình hành tính góc BOC Câu (2,0 điểm): Cho số thực a, b, c thỏa mãn ab bc ca 1 Tính giá trị biểu thức a b c M a b c a b c abc Cho a, b, c số thực đôi khác thỏa mãn a, b, c 2 Tìm giá trị nhỏ 1 S 2 a b b c c a biểu thức Đề gồm 01 trang -HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN CẤP THCS MƠN TỐN Câu Câ u1 Sơ lược lời giải Thang điểm Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2 a) x x 2 x x x 2 x x 3 x 3 x 3 x 3 0,5 0,5 b) x 2023x 2022 x 2023 x x 2023x 2023 x 2023 x x 1 2023 x x 1 x x 1 x x 1 2023 x x 1 x x 1 x x 2023 P 3x2 3x x 1 x x2 x x x Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P Với x R; x 1; x có P 0,5 0,5 với x R; x 1; x 3x 3x x 1 x 1 x x x x 1 x x 1 x x 1 0,25 3x 3x x x x 3x x x 1 x x 1 0,25 x x x x 1 x x x x 1 x x 1 x 0,25 x 1 P x với x R; x 1; x Vậy b)Tìm tất giá trị nguyên x để giá trị biểu thức P số nguyên x 1 x 2 P 1 x x x Có 2 P 1 x x x 2; 1;1;2 x 1;0;2;3 x 1;0;2;3 Kết hợp ĐK x 1;0;2;3 Vậy thỏa mãn Câu Xác định số a b cho đa thức x ax b chia cho đa thức x có dư , chia cho đa thức x có dư 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Do x ax b chia cho đa thức x có dư nên tồn đa thức P(x) cho x ax b (x 1) P(x) 7x Cho x=-1 có a b 7 a b 8 (1) 0,5 Do x ax b chia cho đa thức x có dư nên tồn đa thức Q(x) cho x ax b (x 3) Q(x) x 0,5 Cho x=3 có 27 3a b 3a b 32 (2) Trừ theo vế (2) cho (1) có 4a 40 a 10 Từ tính b=-2 Vậy a=-10; b=-2 thỏa mãn 0,5 0,5 x 4x x 2 Tìm x thỏa mãn x x x x 43 Có 2 2 43 0,25 0,25 2 Đặt a x x Phương trình cho trở thành a 2a 43 a 6 a 1 36 a Với a 5 có a 5 a x x 5 x x 3 9 x 0,5 x 5 x 0,5 0,25 x x x Với a 5 có vơ nghiệm x 1;5 Vậy 0,25 2 Câu Tìm tất số nguyên x, y cho ( y 2) x y Giả sử tồn số nguyên x, y thỏa mãn ( y 2) x y ( y 2) x y ( y 2) x y y 3 y x y 3 0,5 Với x, y số nguyên dương y 2; x y số nguyên Nên ta có trường hợp sau: y 3 y 1 x 0 TH1: x y 1 y 1 y x 0 TH2: x y 3 y y TH3: x y x suy vô nghiệm 0,25 0,25 0,25 y y TH4: x y x suy vơ nghiệm Vậy có cặp số ngun (x;y) tm (0;1), (0;-1) n 2) Tìm tất số nguyên dương n cho số 11 viết dạng tích k số tự nhiên liên tiếp với k 2 0,25 0,5 n Nếu 11 viết thành tích k số tự nhiên liên tiếp với k 3 Do tích k số tự nhiên kiên tiếp với k 3 ln chia hết cho n Do 11 chia hết cho 93 9n 3 với số ngun dương n Do 113 (Vơ lý) n Do 11 viết dạng tích hai số tự nhiên liên tiếp Giả sử có số nguyên dương n cho 9n 11 a a 1 ( a số nguyên dương) n 2.3 45 2a 1 0,5 0,5 2a 2.3n 2a 2.3n 45 n n Thấy 2a 2.3 ;2a 2.3 số nguyên dương 2a 2.3n 2a 2.3n Do ta có trường hợp sau n a 11 2a 2.3 1 n n a 2.3 45 2.3 22 suy loại n nguyên dương TH 2a 2.3n 3 a 4 n a 2.3 15 n 1 TH 2a 2.3n 5 a 3 n n 0 suy loại n nguyên dương TH 2a 2.3 9 Vậy n=1 thỏa mãn Câu Cho tam giác ABC có AB AC Vẽ phía ngồi tam giác ABC hình vng ABDE , ACGH Chứng minh BH EC Vẽ hình bình hành AEFH Chứng minh AF vng góc với BC Gọi O giao điểm đường trung trực tam giác ABC , biết OH OE Tính góc BOC Vẽ hình + Ghi GT-KL 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 A 0,5 Do tứ giác ABDE hình vng nên AB=AE; BAE 90 Do tứ giác ACGH hình vng nên AC=AH; CAH 90 Có EAC EAB BAC 90 BAC Tương tự có BAH 90 BAC Do EAC BAH 0,5 0,5 0,5 Xét tam giác AEC tam giác ABH có AE=AB; EAC BAH ; AC=AH AEC ABH c g c Suy EC=BH Gọi K giao điểm AF BC Do tứ giác AEFH hình bình hành nên FH=EA AHF EAH 180 Mà EA=AB suy FH=AB Lại có EAH BAC 90 Do FHA BAC Xét tam giác ABC tam giác HFA có AB=HF; FHA BAC ; AC=AH Nên tam giác ABC = tam giác HFA Suy FAH ACB 0 Do K, A, F thẳng hàng nên FAH CAK 90 (do CAH 90 ) Suy KAC ACK 90 Suy Tam giác ACK vuông K hay FA vng góc với BC Có AM BC , ON BC suy AM//ON Tương tự câu b ÁP dụng cho tam giác AEN có N trung điểm BC suy 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 NA vng góc với EH Mặt khác OM vng góc với EH (Do tam giác OEH cân O, M trung điểm EH) suy AN//OM Do tư giác AMON hình bình hành 1 ON AM AF BC 2 Suy Do tam giác OBC vuông O Suy BOC 90 Câu Cho số thực a, b, c thỏa mãn ab bc ca 1 Tính giá trị biểu thức a b c M a b c a b c abc 0,5 0,5 a a ab bc ca a b a c Do ab bc ca 1 nên có b a b b c c a c b c Tương tự ; 0,25 a b c abc a ab bc ca b c abc a b c b c a 1 b c a b b c a c 0,25 Do a M b c a b b c c a a b a c a b b c a c b c a b c b c a c a b 2 ab bc ca 0 a b b c c a a b b c c a 0,25 Vậy M=0 0,25 Khơng tính tổng qt giải sử a b c 1 a c a 2 a c a Có Tương tự b c S Do a b b2 1 2 a b 2 Áp dụng bất đẳng thức x y 2 xy với x,y có 1 a b b a2 2 2 a b b a b b a a b b 4 9 S 2 2 a a a a 2 Do 0,25 0,25 0,25 0,25 Dấu xảy c=0;b=1;a=2 Vậy S= (a,b,c) hoán vị ba số (0;1;2) Ghi chú: - Hội đồng chấm thi thống chia thang điểm nhỏ cho phần, câu, nhỏ đến 0,25 điểm - Học sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa