PHỊNG GD&ĐT N THÀNH CỤM CHUN MƠN SỐ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CỤM Năm học 2022-2023 Mơn Tốn Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1: (5,0 điểm) a) Tìm a,b để đa thức F(x) = ax3 + bx2 + 10x –4 chia hết cho đa thức g(x) = x2+x - b) Tìm số tự nhiên n để p = n3 – 3n2 + n – số nguyên tố 4x 15 x x (Với x 1; x ) : x x x 1 x x c) Cho biểu thức: A Rút gọn biểu thức A tìm giá trị lớn A Câu 2: (4,0 điểm) a) Giải phương trình : 1 1 x x 20 x 11x 30 x 13x 42 18 b) Tìm x, y nguyên thõa mãn: x2 – y2 + y = Câu 3: (4,0 điểm) a) Cho số a,b,c khác thõa mãn a b c Tính giá trị biểu thức: 1 1 2023 2023 a b c 1 B a 99 b99 c99 99 99 99 b c a b) Với n số tự nhiên lẻ không chia hết cho Chứng minh: 2n5 + n4 –10n3 + 8n -1 chia hết cho 80 Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AB < AC, đường cao AD, BE, CF cắt H a) Chứng minh: AEF ABC b) Gọi M điểm đối xứng H qua D Giao điểm EF với AM N Chứng minh: HN.AD=AN.DM c) Gọi I K hình chiếu M AB AC Chứng minh ba điểm I, D, K thẳng hàng Câu (1,0 điểm) Cho a,b,c số thõa mãn |a| < 1; |b| < 1; |c| < ab + bc + ca = a2 b2 c2 6 Chứng minh b2 c2 a Hết Họ tên thí sinh Số báo danh Cán coi thi khơng giải thích thêm HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN LỚP (Gồm 04 trang) Câu 1(5đ) Nội dung Điểm Câu 1: (5,0 điểm) a) Tìm a,b để đa thức F(x) = ax3 + bx2 + 10x – chia hết cho đa thức g(x) = x2 + x -2 b) Tìm số tự nhiên n để p = n3 – 3n2 + n – số nguyên tố 4x 15 x x c) Cho biểu thức: A (Với x 1; x ) : x x x 1 x x Rút gọn biểu thức A tìm giá trị lớn A a) Gọi đa thức thương chia F(x) cho g(x) Q(x), ta có: ax3 + bx2 + 10x – = (x2 + x – 2) Q(x) với giá trị x ax3 + bx2 + 10x – = (x – 1)(x + 2) Q(x) với giá trị x - Xét x = ta có: a+ b + 10 – = a+b = - (1) - Xét x = -2 ta có: -8a + 4b – 20 – = -8a + 4b = 24 (2) Từ (1) (2) tìm a = -4; b = -2 b) Ta có p = (n2+1)(n-3) Mà n2+1 1 nên để p ngun tố ta có TH sau: TH1: n2 + = n – nguyên tố n2+1 = n = 0, n – = -3 không nguyên tố TH2: n – = n2 + nguyên tố n – = n = , n2+1 = 17 nguyên tố Vậy n = c) Rút gọn A = 0,5 0,5 0,5 1,0 0,5 0,5 1,0 4x x2 1 Tìm max A: 2x A = 4 Dấu ‘=” xảy x = (T/m) x 1 Vậy maxA = x = 2(4đ) 1,0 Câu 2: (4,0 điểm) a) Giải phương trình : 1 1 x x 20 x 11x 30 x 13x 42 18 b) Tìm x, y nguyên thõa mãn: x2 – y2 + y = 1 1 x x 20 x 11x 30 x 13x 42 18 1 1 (1) ( x 4)( x 5) ( x 5)( x 6) ( x 6)( x 7) 18 ĐK : x -4 ;x -5 ;x -6 ;x -7 1 (1) x x 18 (x+13)(x-2) = a) 0,5 0,5 0,5 x = -13 (t/m) ; x = (t/m) Vậy S = {-13 ; 2} 0,5 b) (2,0) 2 x y y 0 x y y 0 x y 1 x y 1 x y 1 1 Giải TH ta đợc nghiƯm lµ (0; 0); (1; 0) 3(6đ) 1.0 1.0 Câu 3: (4,0 điểm) a) Cho số a,b,c khác thõa mãn a b c Tính giá trị biểu thức: 1 1 2023 2023 a b c 1 B a 99 b99 c 99 99 99 99 b c a b) Với n số tự nhiên lẻ không chia hết cho Chứng minh: 2n5 + n4 –10n3 + 8n -1 chia hết cho 80 a) (2,0đ) Ta có a b c 1 a b c 2023 2023 2023 a b c 1 1 1 2023 2023 a b c a b c 1 1 a b c a b c a b a b c c ac bc c ab 0 (a b) 0 ( a b)(b c)(a c) 0 ab c (a b c) abc (a b c) Nếu a+b = A = Nếu b – c = A = Nếu a – c = A = Vậy A = b) Ta có 2n5 + n4 –10n3 + 8n -1 = (n4 – 1) + (2n5 – 10n3 + 8n) = (n4-1) + 2n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) Ta thấy Với n lẻ 2n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) chia hết cho 16 2n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) chia hết cho 80 (1) Với n khơng chia hết cho n4 – = n5-1 – chia hết cho (Fecma) Với n lẻ nên n4 – = (n2 + 1)(n-1)(n+1) chia hết cho 16 n4 – chia hết cho 80 (2) Từ (1) (2) đpcm 4(6đ) 0,75 0,75 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AB < AC, đường cao AD, BE, CF cắt H a) Chứng minh: AEF ABC b) Gọi M điểm đối xứng H qua D Giao điểm EF với AM N Chứng minh: HN.AD=AN.DM c) Gọi I K hình chiếu M AB AC Chứng minh ba điểm I, D, K thẳng hàng A E N F H K B C D I M a) Xét AEB AFC có : chung EAB AEB AFC( 900 ) Do Xét AEB 0,5 AFC( g.g) AE AB AF AC 0,5 AEF ABC có : BAC chung 0,5 AE AF AE AB (vì ) AB AC AF AC 0,5 ABC (c.g.c) AEF Do AEF ABC b) Chứng minh tương tự câu a ta : CED CBA Do : AEF CED 0,5 Vì BEF nên EB tia phân AEF BED CED 90 BEF BED giác góc DEF HN EN Tam giác NED có EH tia phân giác DEN nên: (1) HD Vì EA EH nên EA tia phân giác đỉnh E ED DEN AN EN (2) AD ED Từ ( 1) (2) suy : qua D) 0,5 0,5 HN AN , mà HD=DM ( Do M điểm đối xứng H HD AD Nên 0,5 HN AN HN.AD AN.DM DM AD HN AN AN HN AH AN AH DM AD AD DM AM AD AM AF AH (định lí Ta lét) AMI có HF//MI( AB ) AI AM AN AH AF AN FN / /ID (định lí Ta lét đảo) (3) Mà nên AD AM AI AD c) AMK có HE//MK (cùng AC ) AIK có 0,5 AE AH (định lí Ta lét), AK AM AF AH AE IK / /FE ( Định lí Ta lét đảo) (4) AI AM AK Từ (3) (4) suy I, K, D thẳng hàng Câu 5(1,0 ) 0,5 0,5 0,5 Câu (1,0 điểm) Cho a,b,c số thực thõa mãn |a| < 1; |b| < 1; |c| < ab + bc + ca = Chứng minh a2 b2 c2 6 b2 c2 a Chứng minh BĐT: Với a,b,c x,y,z số dương ta có: a b c (a b c )2 (*) x y z xyz a b c Dấu ‘=’ xảy x y z 0,25 Vì |a| < 1; |b| < 1; |c| < nên – b ; – c ; – a số dương Áp dụng 2 2 BĐT(*) ta có: a b c a2 b2 c2 b2 c2 a b2 c2 a2 0,25 Lại có a b 0 a b 2ab; (b c)2 0 b c 2bc; (c a ) 0 c a 2ca a b c ab bc ca Dấu ‘=’ xảy a = b = c a b c ab bc ca a b c 3 ab bc ca 2 Vì |a| < 1; |b| < 1; |c| < nên a b c 0;3 ab bc ca 1 1 (do ab+bc+ca = 2) 2 a b c (ab bc ca ) 2 a2 b2 c2 a b c a b2 c 2(ab bc ca ) 2 1 b 1 c 1 a a b c Mà a b c ab bc ca 2 (do ab+bc+ca = 2) a2 b2 c2 2 6 Nên b2 c2 a 0,25 b c a 2 1 b c a a b c Dấu ‘=’ xảy a b c ab bc ca 2 a2 b2 c2 6 Dấu ‘=’ xảy a b c Vậy 2 1 b 1 c 1 a Ghi chú: - Học sinh giải cách khác cho điểm tối đa - Câu học sinh không vẽ vẽ hình sai khơng chấm 0,25