Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP CHỌN HSG – NĂM 2022-2023 PHÒNG GD & DÀO TẠO YÊN THÀNH GIAO LƯU CỤM CHUYÊN MÔN SỐ HỌC SINH GIỎI LỚP Năm 2022 - 2023 MƠN: TỐN HỌC Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1(4,0 điểm) 2 a)Phân tích đa thức a (b c) b (c a) c (a b) thành nhân tử 2 2 b)Cho a;b;c ba số đôi khác thỏa mãn: (a+b+c ) =a +b + c 2 a b c + + 2 Tính giá trị biểu thức: P= a +2 bc b +2 ac c +2 ab Câu 2(5,0 điểm) a) Chứng minh tổng hai số nguyên chia hết cho tổng lập phương chúng chia hết cho b, Giải phương trình: x 5 3 x x 3 c, Cho số nguyên tố p > số nguyên dương a, b cho: p + a2 = b2 Chứng minh a chia hết cho 12 Câu 3(3,0 điểm) a) Đa thức f(x) chia cho x 1 dư 4, chia cho x 1 dư x Tìm phần dư chia f(x) cho ( x 1)( x 1) b,Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c 1 Chứng minh rằng: a bc b ca c ab 2 b c c a a b Câu 4(7,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A AB AC có AD tia phân giác BAC Gọi M N hình chiếu D AB AC , E giao điểm BN DM , F giao điểm CM DN a) Chứng minh tứ giác AMDN hình vng EF / / BC b) Gọi H giao điểm BN CM Chứng minh ANB đồng dạng với NFA H trực tâm AEF c) Gọi giao điểm AH DM K, giao điểm AH BC O, giao điểm BI AO DM 9 BK AD I Chứng minh : KI KO KM CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang Trang Trang Trang Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP CHỌN HSG – NĂM 2022-2023 2 Câu 5(1,0 điểm) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: x xy x y y 10 0 ………………… HẾT………………… CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang Trang Trang Trang Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 KỲ THI GIAO LƯU CỤM Câu Y TUYỂN TẬP CHỌN HSG – NĂM 2022-2023 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP Năm 2023 MƠN: TỐN HỌC NỘI DUNG ĐIỂ M Câu 1(4,0 điểm) 2 a)Phân tích đa thức a (b c) b (c a) c (a b) thành nhân tử 2 2 b)Cho a;b;c ba số đôi khác thỏa mãn: (a+b+c ) =a +b + c 2 a b c + + 2 Tính giá trị biểu thức: P= a +2 bc b +2 ac c +2 ab 2 2 2 a a) a (b c) b (c a) c (a b) = a (b c) b (a c) c (a b) 2đ = a (b c) b (a b) (b c ) c (a b) 2 2 = (a b )(b c) (c b )(a b) = ( a b)( a b(b c) (b c)(b c )( a b) ( a b)(b c) ( a b b c) b 4đ 2đ = (a b)(b c)(a c) = 2 b) (a+b+c)2= a +b + c ⇔ ab+ ac+ bc=0 2 a a a = = a2 +2 bc a2 −ab−ac +bc (a−b)( a−c ) 2 b2 b2 c c = 2 Tương tự: b 2ac (b a)(b c) ; c +2 ac (c−a )c−b ) a2 b2 c2 a 2bc b 2ac c 2ab a2 b2 c2 (a b)( a c) (a b)(b c) ( a c)(b c) (a b)( a c)(b c) 1 (a b)( a c)(b c) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 P 0,5 0,5 Câu 2(5,0 điểm) a) Chứng minh tổng hai số nguyên chia hết cho tổng lập phương chúng chia hết cho b, Giải phương trình: x 5 3 x x 3 c, Cho số nguyên tố p > số nguyên dương a, b cho: p + a2 = b2 Chứng minh a chia hết cho 12 Câu a 1,0 Gọi số phải tìm a b , ta có a b chia hết cho CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang Trang Trang Trang Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP CHỌN HSG – NĂM 2022-2023 a b3 a b a ab b a b a b 3ab Ta có: a b 3ab a b 2điể m Vì chia hết a b a b b 2điể m 5Điể m c điểm Do vậy, Đặt x a; chia hết cho 3ab chia hết cho x b a b x 3 a b a b Phương trình cho trở thành: a b a ab b a b a 2ab b a b a 1,0 ab b a 2ab b 0 3ab a b 0 0.25 0.25 0.25 0.5 a x b 0 x 2 a b x 3 0.5 5 S ; 2;3 2 Vậy nghiệm phương trình là: 0.25 Ta có: p2 + a2 = b2 p2 = (b + a)(b - a) Mà ước p2 1; p p2 Do b + a > b – a với a, b nguyên dương p nguyên tố lớn Nên không xảy trường hợp b + a = b – a = p b a p 2a p (p 1)(p 1) Do b a 1 (1) Mà p nguyên tố p > 3, suy p lẻ nên p + p – hai số chẵn (2) Từ (1) (2) suy (p + 1)(p -1) chia hết cho Suy 2a chia hết cho 8, nên a chia hết cho (3) Lại có p nguyên tố p > Nên p không chia hết cho p2 số phương lẻ Do p2 chia dư Suy p2 – chia hết cho 3, nên 2a chia hết cho Suy a chia hết cho ( (2, 3) = 1) (4) Tư (3) (4) suy a chia hết cho 12 (do (3, 4) = 1) (đpcm) 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu 3(3,0 điểm) a) Đa thức f(x) chia cho x 1 dư 4, chia cho x 1 dư x Tìm phần dư chia f(x) cho ( x 1)( x 1) b,Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c 1 Chứng minh rằng: CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang Trang Trang Trang Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 a TUYỂN TẬP CHỌN HSG – NĂM 2022-2023 a bc b ca c ab 2 b c c a a b Theo định lí bơ-zu ta có: f(x) chia x dư => f(-1) = Do bậc đa thức chia ( x 1)( x 1) nên đa thức dư có dạng ax bx c Gọi thương q(x).Theo định nghĩa phép chia cịn dư, ta có 0,25 f(x) = (x + 1)(x + 1).q(x) + ax + bx + c = (x + 1)(x + 1).q(x) + ax + a - a + bx + c = (x + 1)(x + 1).q(x) + a(x + 1) + bx + c - a = [(x + 1).q(x) + a].(x + 1) + bx + c - a (1.5 điểm) b (1.5 điểm) b 2 c a 3 Mà f(x) chia cho x dư x (1) Mặt khác f(-1)=4 a -b+ c = (2) Do ta có : b 2 b 2 b 2 c a 3 c c a 3 a b c 4 a c 6 a x 2x Vậy đa thức dư cần tìm có dạng: 0.5 a b a c b a b c c a c b bc ca Do đó: Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có: a b a c b a b c 2 Vậy 0.5 0,25 a bc a a b c bc a b c a Tương tự: b ca b a b c ; c ab c a c b VT 0,5 a b bc ca a b a c c a c b 2 a c bc a b b a b c c a c b 2 b c a c a b 2.VT 4 a b c 4 VT 2 a b c Dấu “=” xảy a b 0.5 0.25 0.25 Câu 4(7,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A AB AC có AD tia phân giác BAC CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang Trang Trang Trang Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP CHỌN HSG – NĂM 2022-2023 Gọi M N hình chiếu D AB AC , E giao điểm BN DM , F giao điểm CM DN a) Chứng minh tứ giác AMDN hình vng EF / / BC b) Gọi H giao điểm BN CM Chứng minh ANB đồng dạng với NFA H trực tâm AEF c) Gọi giao điểm AH DM K, giao điểm AH BC O, giao điểm BK BI AO DM 9 KI KO KM I AD Chứng minh : A N M H E B K LF OD C a (2.5 điểm) Chứng minh tứ giác AMDN hình vng EF / / BC * Chứng minh tứ giác AMDN hình vng +) Chứng minh AMD 90 ; AND 90 ; MAN 90 Suy tứ giác AMDN hình chữ nhật +) Hình chữ nhật AMDN có AD phân giác MAN nên tứ giác AMDN hình vng * Chứng minh EF // BC FM DB DB MB (1) (2) FC DC DC MA +) Chứng minh : MB MB AM DN (3) MA DN Chứng minh MB EM (4) DN ED Chứng minh EM FM EF / / BC , , , ED FC Từ suy CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 0.5điểm 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 Trang Trang Trang Trang Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP CHỌN HSG – NĂM 2022-2023 b) 2.0 điểm Gọi H giao điểm BN CM Chứng minh ANB đồng dạng với NFA H trực tâm AEF * Chứng minh ANB NFA AN DN (5) 0.25 Chứng minh AN DN suy AB AB DN CN CN FN (6) (7) 0.25 AB CA CA AM Chứng minh FN FN (8) 0.25 AM AN AM AN Chứng minh Suy AN FN ANB NFA c.g c 0.25 AB AN Từ (5) (6) (7) (8) suy * Chứng minh H trực tâm tam giác AEF 0.25 Vì ANB NFA nên NBA FAN 0 Mà BAF FAN 90 NBA BAF 90 0.25 Suy EH AF 0.25 Tương tự: FH AE 0.25 suy H trực tâm AEF c) 2.0 điểm Gọi giao điểm AH DM K, giao điểm AH BC O, BI AO DM 9 KI KO KM I BK giao điểm AD Chứng minh : 0.25 Đặt S AKD a, S BKD b, S AKB c Khi đó: S ABD S ABD S ABD a b c a b c a b c S AKD S BDK S AKB a b c b a a c b c 3 a b c a c b b a 2 Theo định lý AM-GM ta có: a b a c b c 2 ; 2 c b Tương tự : c a BI AO DM 9 Suy KI KO KM Dấu " " xảy ABD tam giác đều, suy trái với giả thiết CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 0.5 0.5 0.5 0,25 Trang Trang Trang Trang Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP CHỌN HSG – NĂM 2022-2023 2 5(1,0 điểm) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: x xy x y y 10 0 Ta có: 0,5 2 x xy x y y 10 0 x xy 28 x 28 y y 40 0 x y y 9 * y 0,5 Với y 0 thay vào * ta được: x 9 tìm x 2; 5 0,25 Câu5 (1 điểm) Ta thấy x y 0 nên nguyên nên y 0;1 y 9 y y 01; 1 2 Với y 1 thay vào * ta có: x 5 , khơng tìm x ngun 2 x 5 khơng tìm * y Với thay vào ta có x nguyên Vậy x; y 2;0 ; 5;0 0,25 0,25 0,25 ( Lưu ý cách giải cho điểm tối đa) Hết CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang Trang Trang Trang