PHÒNG GIÁO DỤC YÊN THÀNH ĐỀ THI HSG CỤM TRƯỜNG LẦN NĂM HỌC: 2022 - 2023_MƠN THI: TỐN (Thời gian 120 phút không kể thời gian giao đề) Câu (4,0 điểm) x3 x x 1 Cho biểu thức: Q 1 : 2 x 1 x x x 1 x x x Tìm điều kiện xác định Rút gọn biểu thức Q x2 4x Tìm số hữu tỉ x để biểu thức P = có giá trị số nguyên dương x 2 Câu (6,0 điểm) a) Chứng minh n n chia hết cho 30 với n Ỵ N b) Tìm tất cặp số nguyên (x; y) thoả mãn phương trình: x2 – 25 = y (y + 6) c) Giải phương trình ( x2 + x)2 +4(x2 + x) = 12 Câu (3,0 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A 3x x x2 2x 1 b) Cho a, b 0;a b 1 Chứng minh rằng: 1 6 ab a b Câu (7,0 điểm ) Cho hình vng ABCD, có độ dài cạnh a M điểm tuỳ ý đường chéo BD Kẻ ME AB, MF AD a) Chứng minh DE CF b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy c) Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn 2 Cho 17 điểm nằm mặt phẳng, khơng có điểm thẳng hàng Nối điểm lại đoạn thẳng tô màu xanh, đỏ vàng Chứng minh tồn tam giác có cạnh màu HẾT ĐÁP ÁN Câu Ý a 4đ 2.5đ Đáp án ĐKXĐ: x ≠ 0; x ≠ -1; x ≠ 2 x3 x x 1 Q 1 : 2 x 1 x x x 1 x x x x x x x 1 x x 1 x x 2 x 1 x x 1 0,5 2x2 4x x2 x 1 x 1 x x 1 x x 0,5 x x 2 x2 x 1 x 1 x x 1 x x 0,5 2 x x 1 x 1 x2 x (x 2) Ta có P = 2 2 x 2 x 2 Mà P nguyên dương nên P = 1; P= +) Với P = x TM +) Với P = => x = - T/m 1 b 1.5 đ Điểm 0,5 0,5 0,75 0,75 6đ a 2đ n5 - n = n(n4 - 1) = n(n - 1)(n + 1)(n2 + 1) 0,25 = (n - 1).n.(n + 1)(n2 + 1) chia hết cho (n - 1).n.(n+1) tích ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho (*) 0,5 Mặt khác n5 - n = n(n2 - 1)(n2 + 1) = n(n2 - 1).(n2 - + 5) = n(n2 - 1).(n2 - ) + 5n(n2 - 1) 0,5 = (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5n(n2 - 1) Vì (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) tích số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 5n(n2 - 1) chia hết cho 0,5 Suy (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5n(n - 1) chia hết cho (**) b 2đ Từ (*) (**) suy điều phải chứng minh x 25 y y 0,25 x y 3 16 0,5 0,25 x y 3 x y 3 16 Ta có bảng sau: x-y +y -1 -7 5 11 -11 -1 -5 -5 13 19 -19 -2 -13 -4 Vậy cặp số nguyên phải tìm là: c 2đ 3đ a 1,5 đ (4;-3), (-4;-3), (5;0), (-5;-6), (5;-6), (-5;0) Đặt x2 + x = t phương trình cho trở thành: t2 +4t -12 = (t – 2)(t + 6) = =>Tìm t = -6 t = + t = -6 x2 + x = -6 ( x + 1/2 )2 + 23/4 = ( phương trình vơ nghiệm) + t = x2 + x = (x -1)(x +2) = =>x = x = -2 Vậy tập nghiệm phương trình S = 1; 2 A = 0,5 0,75 0,5 0,25 0,5 0,5 0,25 3x x x 2x = 3( x x 1) 2( x 1) 3 x ( x 1) ( x 1) Đặt y = x => A = y2 - 2y + = (y - 1)2 + => A = y = x 1 => x = 0,5 0,5 b 1,5 đ Vậy A = x = 1 1 1 Ta có: = ab a b 2ab a b 2ab 2ab a b 1 4 ( ) 2ab a b 2ab 2ab a b 2ab (a b) 2ab Mà a + b = => 2 ab 1 1 2 6 => ab 2ab ab a b 1 Dấu “=” có a = b = A E 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 B K 7đ 1a 2,0 đ Q H F P D M N C + Xét tứ giác AEMF có A E F 900 nên tứ giác AEMF hình chữ nhật => AE = FM + Tam giác DFM vuông cân F => FM = DF => AE = DF => dễ dàng chứng minh ADE = DCF (c-g-c) suy DE = CF ( hai cạnh tương ứng) 1b 2,0đ 0,5 0,5 0,75 0,25 + Vì tứ giác AEMF ( cmt) => AF = EM + Tam giác EBM vuông cân E => EB = EM => AF = EB 0,5 => ABF = BCE ( c-g-c) => ABF = BCE => ABF + CBF = BCE + CBF = 900 nên BF vng góc CE K ( với K giao điểm CE BF 0,5 ) + Từ ADE = DCF (cmt) , chứng minh tương tự ta có DE vng góc với CF + Gọi H giao điểm BF DE, suy H trực tâm 1c 2đ tam giác CEF => CH vuông góc với EF 0,5 +Gọi N giao điểm BC MF Ta chứng minh CN = DF = FM MN = EB = EM => FEM = CMN (c-g-c)=> EFM = MCN Gọi giao điểm CM EF Q => NMC = QMF từ ta dễ dàng chứng minh CM vng góc với EF Q Suy đường thẳng DE, BF, CM đồng quy H 0,5 Ta chứng minh hình chữ nhật AEMF có chu vi 2a 0,5 khơng đổi 0,5 => ME + MF = a không đổi SAEMF = ME.MF lớn ME = MF Mà ME = MF tứ giác AEMF hình vng 0,5 Hay M trung điểm BD Khi ta dễ dàng chứng minh tứ giác AEMF có diện tích 0,5 lớn 1đ a +Ta có 16 đoạn nối điểm A + Vì 16 = 5.3 +1 nên có cạnh tô màu, giả sử AB, AC, AD, AE, AF, AH màu đỏ +Xét đoạn thẳng với mút điểm B, C, D, E, F, H +Nếu tồn cạnh, chẳng hạn BC màu đỏ ta thu tam giác ABC có cạnh màu đỏ +Nếu tất có màu xanh, màu vàng tồn tam giác màu Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa 0,25 0,25 0,25 0,25