TRƯỜNG THCS DIỄN HẠNH ĐỀ THI VỊNG I -TỐN NĂM HỌC 2022-2023 Mơn Tốn Vịng (Thời gian 120 phút) Câu :(4,0đ) a) Tìm số tự nhiên gồm bốn chữ số abcd biết số phương; chia hết cho d số nguyên tố b) Cho số tự nhiên a, b, c Chứng minh a + b + c chia hết cho a + b3 + c3 chia hết cho A x x 12 x 11x 30 Câu 2:(6,0đ) Cho biểu thức: a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị x để A = c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A x2 Cho a, b, c ba số đôi khác thỏa mãn: a + b + c 2x = a + b2 + c2 a2 b2 c2 P= + + a + 2bc b + 2ac c + 2ab Tính giá trị biểu thức : 3 Câu 3(1,0đ) Tìm cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn: x y 3xy Câu (7,0đ) Cho tam giác ABC nhọn có góc B 45 vẽ đường cao AH Gọi M trung điểm cạnh AB, E điểm đối xứng với H qua M a) Chứng minh AHBP hình vng b) Vẽ đường cao BK tam giác ABC Chứng minh HP = 2MK c) Gọi D giao điểm AH BK Qua D C vẽ đường thẳng song song với BC AH Sao cho chúng cắt Q Chứng minh P, K, Q thẳng hàng d) Chứng minh đường thẳng CD, AB PQ đồng quy Câu 5(2,0đ) Cần cân cân đĩa để cân khối lượng có giá trị số nguyên từ đến số 13 Hết ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI THỬ VÒNG I NĂM HỌC 2022-2023 Mơn Tốn (Thời gian 120 phút) Đáp án Câu Điể m Câu :(4,0đ) a) Tìm số tự nhiên gồm bốn chữ số abcd biết số phương; chia hết cho d số nguyên tố b) Cho số tự nhiên a, b, c Chứng minh a + b + c chia hết cho a + b3 + c3 chia hết cho a) Lập luận d = 5, 0,5đ 2 abcd 100 suy abcd x5 Vì abcd chia hết cho => x5 chia hết cho => x5 cho x 6;9;12 x 1;4;7 Suy 0,5đ chia hết 0,5đ + Nếu x = abcd 15 225 vơ lý + Nếu x = abcd 45 2025 thoả mãn + Nếu x = abcd 75 5625 thoả mãn Vậy số tự nhiên có bốn chữ số cần tìm 2025 5625 b ) 0,5đ a3 b3 c3 (a b c) (a 1)a(a 1) (b 1)b(b 1) (c 1)c(c 1) 1,0đ Mà (a 1)a(a 1); (b 1)b(b 1); (c 1)c(c 1) tích số 0,5đ nguyên liên tiếp nên chia hết cho a3 b3 c3 (a b c)6 mà a b c6 nên a3 b3 c3 6 A x x 12 x 11x 30 x2 Câu 2:(6,0đ) Cho biểu thức: a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị x để A = c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A 0,5đ 2x 2 2 Cho a, b, c ba số đôi khác thỏa mãn: a + b + c = a + b + c a2 b2 c2 P= + + a + 2bc b + 2ac c + 2ab Tính giá trị biểu thức : a) ĐKXĐ: x R x x 12 x 11x 30 A x2 x 19 x x3 12 x A x2 2x 0,25 đ 0,25 đ 0,25 x A đ 0,5đ x x 1 x2 A 3 x x b ) 0,25 đ 0,25 đ 0,5đ A 6 3x x 6 x 1 3x 0 x x 0 x 5 x 0,5đ 5 x 1; A = Đối chiếu điều kiện ta có c) 2 1 1 2 A 3x x 3 x x 3 x 3 3 3 2 Vậy GTNN A x = 1/3 2 0,25 đ a + b + c = a + b + c ab + ac + bc = a + 2bc a + 2bc - ab - ac - bc a - ab - ac + bc a - b a - c 2 Tương tự: b + 2ac b - a b - c ,c + 2ac c - a c - b a2 b2 c2 P= + + a + 2bc b + 2ac c + 2ab 1,0đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ a2 b2 c2 P= + + a - b a - c b - a b - c c - a c - b a b - c + b2 c - a + c2 a - b P= a - b b - c a - c 0,25 đ a b - a 2c + b 2c - ab + c a - b P= a - b b - c a - c P= ab a - b - c a - b + c a - b a - b b - c a - c ab a - b - c a - b a + b + c a - b P= a - b b - c a - c a - b ab - ca - cb + c P= a - b b - c a - c 0,25 đ 0,25 đ 0,25 P= đ a - b b - c a - c = a - b b - c a - c 0,25 đ 3 Bài 3(1đ) Tìm cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn: x y 3xy 1 3 x3 y 3xy x y 3x y 3xy 3xy 1 0,25 đ x y 3xy x y 1 2 x y 1 x y x y 1 3xy x y 1 2 x y 1 x y xy x y 2 2 2 0,25 đ Vì 2( x y xy x y) x y x 1 y 1 0 x R x y xy x y 0 Do ta xét hai trường hợp sau : TH1 : TH2 : x y 1 2 x y xy x y 2 y x xZ 3 x 1 x y 2 2 x y xy x y 1 0,25 đ y 1 x 3x 3x 0 y 1 x x 0 hoac x = x 0 y 1 x 1 y 0 x; y 1;0 ; 0;1 Vậy: 0,25 đ Bài 4(7 đ) Cho tam giác ABC nhọn có góc B 45 vẽ đường cao AH Gọi M trung điểm cạnh AB, E điểm đối xứng với H qua M a) Chứng minh AHBP hình vuông b) Vẽ đường cao BK tam giác ABC Chứng minh HP = 2MK c) Gọi D giao điểm AH BK Qua D C vẽ đường thẳng song song với BC AH Sao cho chúng cắt Q Chứng minh P, K, Q thẳng hàng d) Chứng minh đường thẳng CD AB PQ đồng quy Hình vẽ : 0,5 đ A P E M K Q D N B F H C a) Vì M trung điểm AB PH nên tứ giác ABCD hình bình 0,5đ hành mà AHB = 90 nên AHBP hình chữ nhật, ABH 45 nên tam giác ABH vuông cân H HA HB b ) Hình chữ nhật APBH có HA = HB nên hình vng Sử dụng tính chất đường trung tuyến tam giác vuông ABK suy 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ AB = 2MK dùng kết câu a) suy HP = AB HP = 2MK c) Từ HP = 2MK suy tam giác HKP vuông K Suy HKP 90 d ) 0,5đ 0,5đ 0 Chứng minh tương tự ta có HKQ 90 PKQ 90 90 180 0,5đ Suy P, K, Q thẳng hàng Gọi E giao điểm PQ AB, F trung điểm BC 0,5đ 0,5đ Ta có ME//HQ (vì vng góc với PH) mà M trung điểm PH nên ME đường trung bình tam giác HPQ Suy E trung điểm PQ suy EF đường trung bình hình thang BPCQ: EF 0,5đ 1 PB CQ BH HC BC EBC 2 vuông E BEC 900 0,5đ Mặt khác ta có: CD AB D trực tâm tam giác ABC Như CD AB,CE AB E,D,C thẳng hàng CD, AB 0,5đ PQ đồng quy Câu 5(2đ) Cần cân cân đĩa để cân khối lượng có giá trị số nguyên =từ1 đến số 13 2=2 Với cân gồm: cân 6kg, 0,25 cân 4kg, cân = + 2kg cân đ 1kg, ta cân khối lượng 4=4 có giá trị số nguyên từ đến số 13 Cụ thể sau: 5=4+1 6=6 7=6+1 8=6+2 9=6+2+1 10 = + 11 = + + 12 = + + 13 = + + + 0,25 đ Giả sử dùng tối đa cân mà làm điều đề yêu cầu Phải có cân a1 nặng 1kg để cân khối lượng 1kg TH1: Quả cân có khối lượng lớn a2 nặng 4kg Lúc cân khối lượng 2kg, cần có thêm cân a3 0,25 đ + Nếu cân a3 nặng 2kg khơng thể cân khối lượng 2kg + Nếu cân a3 nặng 1kg 2kg khơng thể cân khối lượng 4kg Vậy TH1 sai TH2: Quả cân có khối lượng lớn a2 nhẹ 5kg Lúc kể có thêm cân a3 cân 13kg 0,5đ Vậy TH2 sai Vậy số cân để thực yêu câu cầu toán 0,5đ 0,25