01 03 02 01 gt12 ciii b2 tich phan de full bai

C H Ư Ơ N I = = = I NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN III BÀI TÍCH PHÂN LÝ THUYẾT Định nghĩa: Cho hàm số f liên tục khoảng K a, b hai số thuộc K Nếu F F  b  F  a  nguyên hàm f K hiệu số gọi tích phân hàm số b f từ a đến b kí hiệu f  x  dx a f  x  dx Ta gọi: a cận dưới, b cận trên, f hàm số dấu tích phân, biểu thức x dấu tích phân, biến số lấy tích phân Nhận xét : b f  x  dx  a; b  tích phân f đoạn F  x  ba F  b  F  a  b) Hiệu số kí hiệu Khi : a) Nếu a  b ta gọi a b f  x dx F  x  b a F  b   F  a  a c) Tích phân không phụ thuộc biến số (điều mang lại lợi ích cho ta để tính số tích b b b f  x dx f  t dt f  u du  F  b   F  a  phân đặc biệt), tức a Tính chất: Cho k số a a a b a) f ( x)dx 0 b) f ( x)dx  a b c) k f ( x)dx k a a a b b b f ( x)dx b b a c a a a b f ( x)dx  f ( x)dx  f ( x)dx a b d )  f ( x)  g ( x)  dx  f ( x )dx  g ( x )dx a e) Tính chất chèn cận: f ( x)dx c II HỆ THỐNG BÀI TẬ P TỰ LUẬN = = = 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN DẠNG I 1: Tính tích phân sau: Câu (chèn cận c ) a ) I 3x dx b) I  Câu 2: Câu 3: Câu 4: Gọi F  x Gọi F  x c ) I  2 x dx f  x  e f  x  nguyên hàm hàm số  tính tích phân Chứng minh I  x 1 F  x  x Tính F  2ln2   F  ln  x thỏa điều kiện F  1 2 Tính F  e   nguyên hàm hàm số f  x   x  Từ dx ax  b ln ad  bc cx  d nguyên hàm hàm số 1 dx x  1  x  1  f  x  d ) I sin xdx nguyên hàm hàm số Chứng minh Câu 5: dx x F  x  ln x  x   ln I   ax  b   cx  d  Từ tính tích phân DẠNG 2: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN Câu 6: Tính tích phân sau: 2 Câu 7: Tính Tính c) I  sin x  2cos x dx I e x ln xdx  et   ln t  dt  Câu 8:  1  b) I  3x   dx x 1 a) I  x  e x  dx  t u u I sin ln tdt  sin  lnu  sin  du 2 2   DẠNG 3: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CHÈN CẬN ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN Tích phân hàm chứa dấu trị tuyệt đối b I  f ( x ) dx a a) Yêu cầu: Tính tích phân b) Phương pháp: f  x  a; b  + Bước 1: Xét dấu khoảng - Giải phương trình f  x  0  x  xi   a; b  f  x  a; b  Lập bảng xét dấu khoảng x + Bước 2: Chèn cận i đồng thời bỏ dấu (căn vào BXD) ta tích phân - xi b b I  f  x  dx  f  x  dx   f  x  dx a a xi b f x Chú ý: Nếu   không đổi dấu đoạn Câu 9: Tính tích phân: a ) I x  dx b) I x  x dx I   cos xdx a 2  Câu 10: Tính  a; b  a 2 c ) x  x  dx 4 b I  f  x  dx  f  x  dx d ) 2 x  x  dx 2  Câu 11: Tính I   sin x dx Tích phân hàm min, max b b I min  f  x  ;g  x   dx I max  f  x  ;g  x   dx a a a) Yêu cầu: Tính tích phân ; b b) Phương pháp: Tính a f ( x)  g  x  + Bước 1: Xét dấu - b I min  f  x  ;g  x   dx Giải phương trình khoảng I max  f  x  ;g  x   dx (  a; b  a tương tự) f ( x)  g  x  0  x xi   a; b   a; b   f  x  ; g  x   x + Bước 2: Chèn cận i chọn hàm sau: f  x  g  x   f  x  ; g  x   g  x  - Nếu khoảng K f  x  g  x   f  x  ;g  x    f  x  - Nếu khoảng K - f ( x)  g  x  Lập bảng xét dấu khoảng Từ đó, ta tích phân Câu 12: Tính   I min x; x dx I  max e x ; x dx   1 Câu 13: Tính Tích phân hàm số xác định khoảng  x x 0 y  f  x    x x 0 Biết hàm số f liên tục  Câu 14: Cho hàm số Tính I  f  x  1  x  1 y  f  x   2x    Câu 15: Cho hàm số x 1 x 1 Biết hàm số f liên tục  Tính I  f  x  dx 2    x  1 x 0 y  f  x   k   x  x 0   Câu 16: Cho hàm số Xác định k để Một số dạng khác Câu 17: Cho Câu 18: Gọi 5 f  x  dx 3, f  x  dx 4 F  x Tính nguyên hàm hàm số Biết f  x f  x  dx 12, f  x  dx 2 I f  x  dx F   7 Tính F  0 f  x  dx 1 1 Câu 19: Cho hàm số f  x  0;10 liên tục đoạn trị biểu thức thỏa mãn 10 f  x  dx 7 f  x  dx 3 ; Tính giá 10 P f  x  dx  f  x  dx DẠNG 4: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN VÀO CÁC BÀI TOÁN KHÁC x2 Câu 20: Cho hàm số g  x    t sin tdt x g  x  xác định với x  Tìm 3x Câu 21: Cho hàm số t2  g  x    dt t 1 2x Tìm g  x  x Câu 22: Cho hàm số f số thực a  thỏa mãn điều kiện: Tìm a f f  t dt  2 x  t2 a với x  DẠNG 5: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN b Yêu cầu : Tính tích phân Phương pháp: I f1  x  f  x  dx a b I f  u  x   u  x  dx a + Biến đổi dạng t u  x   dt u  x  dx + Đặt x a  t u  a  t1 ; x b  t u  b  t Đổi cận: + t2 + Khi đó: I f  t  dt t1 tính phân đơn giản t u  x  Một số dấu hiệu cách chọn Dấu hiệu Cách chọn t t mẫu số Hàm số chứa mẫu số f x, u ( x ) t căn: t  u ( x) Hàm số chứa   n f ( x) Hàm số có dạng  (xấu)lũy thừa Hàm số lượng giác có góc xấu Hàm số mũ, mà mũ xấu Hàm số log u mà u xấu a sin x  b cos x f ( x)  c sin x  d cos x  e Hàm số f ( x)   x  a  x  b Hàm Tổng quát đặt t  xa  x b t biểu thức (xấu) lũy thừa, t  f ( x) t góc xấu t mũ xấu t u x  x   cos 0    + Với x  a   x  b  , đặt t tan t  x a  x b + Với x  a   x  b  , đặt t    x  a    x  b R(cos x).sin xdx R(sin x).cos xdx dx cos x R (cot x) dx sin x R(tan x ) x Hàm có e , a Đặt t cos x (theo biến cos x ) (theo biến sin x ) Đặt t sin x Đặt t tan x (theo biến tan x ) Đặt t cot x (theo biến cot x ) x x x Đặt t e , t a Đặt t ln x Hàm số vừa có ln x vừa có x Câu 23: Tính tích phân sau 2 3x 1 a)  dx x x b)  2   c)   sin x  e x  cos x dx x  dx 4x  d)  dx ( x  3x  1) 2017  sin x  e) x x  4dx f )  x  1  x  1  e g )  dx h) sin x.cos xdx cos x 0 Câu 24: Tính tính phân sau (Đặt giảm bậc) 2x 6x2  a )  dx b)  dx x  3 2x  x   Tích phân có sẵn dạng x cos x i)  dx cos x  x sin x  f  u  x  x2 Câu 25: Chứng minh ax b I  f  ax  b dx  x1 f  x  dx a ax1 b , với a 0 Câu 26: Cho hàm số f  x liên tục  f  x dx 2 3 Tính I f  x  1 dx f  x liên tục  f   x dx 2 Tính Câu 28: Cho hàm số f  x f  x dx 2 liên tục  I  f  x  dx 7 f  3x  1dx 3 1 Câu 27: Cho hàm số dx  tan x 2017 Tính I  f   x  dx 6  I f  cos x  sin x cos xdx Câu 29: Cho Tính Tích phân với hàm số chẵn lẻ y  f  x   a; a  chi x    a; a  ta có: + Hàm số hàm số chẵn đoạn  x    a; a  f   x  f  x y  f  x   a; a  chi x    a; a  ta có: + Hàm số hàm số lẻ đoạn  x    a; a  f   x   f  x    a; a  tập đối xứng định nghĩa hàm số chẵn, hàm số lẻ + Ta thay đoạn f  x Câu 30: Cho hàm số chẵn, liên tục đoạn a   a; a  Chứng minh rằng: a f  x  dx 2f  x  dx a f  x Câu 31: Cho a hàm số chẵn, liên tục đoạn   a; a  Chứng minh rằng: a f  x I   x dx f  x  dx b 1 a , với a  , b  x I  x dx  1 Câu 32: Tính tích phân  Câu 33: Tính tích phân cos x I  x dx  e 1    y f x   hàm số chẵn  Câu 34: Biết hàm số    f  x    ;    f  x   sin x  cos x 2   Tính I f  x  dx a Câu 35: Cho f  x   a; a  Chứng minh rằng: a hàm số lẻ, liên tục đoạn f  x  dx 0 Câu 36: Tính tích phân x    1 x  I   cos x  sin sin x  ln   dx 1 x    1  2 I  sin  sin x  mx  dx Câu 37: Tính tích phân Một số kiểu đổi biến đặc biệt , với m    Câu 38: Cho f  x  0;1 Chứng minh rằng: hàm số liên tục  I f  sin x  dx f  cos x  dx 0    I   tan  cos x   dx cos  sin x    Câu 39: Tính tích phân  Câu 40: Tính sin 2017 x.cos x I  2016 dx 2016 sin x  cos x Câu 41: Cho hàm số  y  f  x liên tục đoạn   1;1 Chứng minh   I xf  sin x  dx  f  sin x  dx 20  Câu 42: Tính Câu 43: Cho x sin x I  dx  sin x f  x g  x f   7 f   1 1 g   9 g   1 3 , hàm số liên tục  ; ; ; I  Tính 1 f  x  g  x   f  x  g  x   f  x   g  x   dx Câu 44: Cho hàm số y  f  x thỏa mãn f  x  f  x  3x  x Biết f   2 Tính f  2 DẠNG 6: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN b I f  x  dx a Yêu cầu: Tính tích phân x   t   dx   t  dt Phương pháp: Đặt + Đổi cận: x a  t t1 ; x b  t t2 t2 I f    t     t  dt t1 + Khi đó: Một số cách đổi biển cần nhớ:    bx  c  a tan t , t    ;   2 + a   bx  c  : +    a   bx  c  : bx  c  a sin t , t    ;   2 a    bx  c   a : bx  c  , t    ;  \  0 sin t  2 + x2 ax x1 dx  bx  c 0, a 0  x2 + Nhớ:  x1 a ( x b   a x    2a  4a  b  ) tan t t2 2a 4a a    dt  t1 Câu 45: Tính tích phân sau: 1 a ) I  dx  x2 1 b ) I  dx x 3 1 c ) I  dx 4x  4x  x3 d) I  dx x 1 e) I   x dx f ) I   x  x  1dx g) I  x  x dx h) I   x x2  dx DẠNG 7: PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN Cơng thức phần: b b b u  x  v x  dx  u  x  v  x    v  x  u x  dx a a b Viết gọn: udv  uv  a b a a b  vdu a b Áp dụng: Tính tích phân Phương pháp: I f  x  dx a b + Bước 1: Biến đổi I f1  x  f  x  dx a u  f1  x     dv  f  x  dx + Bước 2: Đặt du  f1 x  dx  v f  x  dx (Chọn dv cho v dễ lấy nguyên hàm) b b I  uv  a  vdu a + Bước 3: Khi I P  x  sin  ax  b  dx P  x ● Dạng , đa thức du P x  dx u P  x      dv sin  ax  b  dx v  a cos  ax  b   Với dạng này, ta đặt I P  x  cos  ax  b  dx P  x ● Dạng , đa thức du P x  dx u P  x      dv cos  ax  b  dx v  a sin  ax  b   Với dạng này, ta đặt ax b I P  x  e dx P  x ● Dạng , đa thức du P x  dx u P  x      ax b ax b dv e dx v  e a  Với dạng này, ta đặt I P  x  ln g  x  dx P  x ● Dạng , đa thức u ln g  x   dv  P  x  dx Với dạng này, ta đặt   sin x  x I   e dx cos x   ● Dạng   sin x  u     cos x   x Với dạng này, ta đặt dv e dx Câu 46: Tính tích phân sau: e  ln b) I  xe x dx a ) I x ln xdx c) I x cos xdx Câu 47: Tính tích phân sau:  a ) I x e x dx 0 d ) I e x sin xdx  b) I x cos xdx  I 2 x sin xdx Câu 48: Tính tích phân y  f  x  a; b  Chứng minh rằng: Câu 49: Cho hàm số có đạo hàm liên tục đoạn b I  f  x   f  x   e x dx  f  b  e b  f  a  e a a   1;1 thỏa có đạo hàm liên tục đoạn f  x   ln f  x  I  dx x  f  x  1  f  x  6 x  x  1 Tính Câu 50: Cho hàm số y  f  x Câu 51: Tính tích phân x2 a ) I x e dx 2 b) I  sin x dx ee ln x.ln  ln x  c) I  dx x e  Câu 52: Tính tích phân x sin x I  dx cos x ln Câu 53: Tính tích phân xe x I  e x 1 dx 1 I x x  1dx   2  4 Câu 54: Chứng minh rằng:  Câu 55: Tính x2 I   x sin x  cos x  x   1dx   dx f  x Câu 56: Cho hàm số có nguyên hàm F  x đoạn F  x  dx 5  1; 2 , biết F   1  Tính I  x  1 f  x  dx  2017 Câu 57: Cho f  x  sin x I xf  x  dx sin x  cos 2017 x Tính 2017 DẠNG KỸ THUẬT TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN HÀM ẨN Câu 58: Cho hàm số f  x thỏa mãn f  3 ln I e Tính    0;  , có đạo hàm liên tục thỏa mãn f  x Câu 59: Cho hàm số f  x x f  x  e dx 8 f  x dx  f '  x  cos xdx 10  f   3 Tích phân f  x  sin xdx Câu 60: Cho hàm số f  x  1 dx 3  0;1 ,  có đạo hàm liên tục thỏa mãn y  f  x f  1 4 Tích phân x f '  x  dx Câu 61: Cho hàm số f  x nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục x I  f  x  f   x  e x  4x với x   0;  Tính tích phân  0; 2 Biết  3x  f '  x  f  x f   1 dx DẠNG TÍNH TÍCH PHÂN DỰA VÀO TÍNH CHẤT Câu 62: Cho hàm số f  x hàm số lẻ, liên tục f   x  dx 4 Tính tích phân I f  x  dx   4;  Biết f   x  dx 2 2