Dạng toán 26 thể tích khối lăng trụ đứng

DẠNG TỐN 26: TÍNH THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ ĐỨNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ:  Thể tích khối lăng trụ: V B.h với B : diện tích đáy, h : chiều cao  Các hệ thức lượng tam giác vuông : 2 ▪ BC  AB  AC AM  BC ▪ AB AC  AH BC , Tìm tỷ số lượng giác góc nhọn : sin ABC  AC AB AC AB   ; cos ABC  ; tan ABC  ; cot ABC  BC BC AB AC … ▪ BH.BC = AB2, CH.CB=CA2 1 = + 2 AB AC ▪ AH  Đường chéo hình vng cạnh a a a  Đường cao tam giác cạnh a  Diện tích tam giác thường: 1 S ABC  a.ha  b.hb  c.hc 2 ▪ ( ha, hb, hc đường cao hạ từ đỉnh A,B,C) 1 S ABC  bc sin A  ac sin B  ab sin C 2 ▪ ▪ S ABC  p ( p  a )( p  b)( p  c ) ▪ S ABC  a b c   p   , abc R (R: bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC ) C ▪ S ABC  p.r (r: bán kính đường tròn nội tiếp ABC )  Trường hợp đặc biệt : A S  AB AC ▪ Diện tích tam giác vng : A 1a a2 S  AH BC  a 2 ▪ Diện tích tam giác cạnh a : 1 a  S  AB AC.sin BAC  a.a  2 B B C H B b C a B C A  Diện tích hình chữ nhật : S a.b D a A D Trang  Diện tích hình vng : S a S  AC.BD  Diện tích hình thoi : ( AC BD hai đường chéo)  Diện tích hình thang: S (đáy lớn  đáy bé).cao A B  Diện tích hình bình hành: S  AH CD ( AH D a b c   2 R sin A sin B sin C  Định lí sin: H C a b  c  2bc.cos A b a  c  2ac.cos B  Định lí cơsin: c a  b  2ab.cos C b2  c a  2 a  c b2 mb   2 a  b c2 mc    Công thức trung tuyến: ma  A b c ma C B a BÀI TẬP MẪU Cho khối lăng trụ đứng ABCD AB C D có đáy hình thoi cạnh a , BD a AA 4a (minh họa hình bên) Thể tích khối lăng trụ cho bằng: A 3a B 3a 3a 3 C 3a 3 D Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tính thể tích khối lăng trụ đứng HƯỚNG GIẢI: B1: Nhắc lại cơng thức tính thể tích khối lăng trụ: V B.h với B : diện tích đáy, h : chiều cao B2: Gọi I  AC  BD Từ đó: Tính BI AC Trang S ABCD 2SABC 2 BI AC B3: Tính diện tích hình bình hành ABCD :  B4: Tính thể tích khối lăng trụ: VABCD ABC D S ABCD AA Từ đó, ta giải toán cụ thể sau: Lời giải Chọn A Gọi I  AC  BD Ta có: AC  BD, BI  BD a  2 Xét tam giác vuông BAI vuông I : a 3 3a a a AI BA  BI a    a    AI   AC a  4   2 2 1a a2 S ABCD 2SABC 2 BI AC 2 .a  2 2 Diện tích hình bình hành ABCD : Thể tích khối lăng trụ cần tìm là: VABCD ABC D S ABCD AA  a2 4a 2 3a Bài tập tương tự phát triển: Câu 26.1:Cho hình lăng trụ đứng ABCD.EFGH có đáy hình thoi cạnh a , tam giác ABD tam giác AE 2a Tính thể tích V khối lăng trụ cho A V a3 B V a3 C V a3 3 D V a Lời giải Chọn D Trang Ta có a2 a2  S ABCD 2 S ABD 2 Khi đó: V  AE.S ABCD 2a a2 a 3 Câu 26.2: Tính thể tích V khối lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' , biết A ' C a A V 2a B V a3 3 D V 2a C V 3a Lời giải Chọn A A' B' C' D' B A D C A ' C  AB  AB  Đường chéo hình lập phương: Cạnh hình lập phương là:  AB a  V  a  A 'C a  a 3 2a Câu 26.3: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.EFGH có đáy hình bình hành biết AB a, AD 4a , góc  BAD 600 , cạnh AE a Tính thể tích V khối lăng trụ cho A V 2a B V a C V a D V 2a Lời giải Chọn A 1  S ABD  AB AD.sin BAD  a.4a.sin 60 a 2 Ta có: Suy ra: S ABCD 2S ABD 2a Khi đó: V  AE.S ABCD a.2a 2a Trang  Câu 26.4: Cho hình lăng trụ đứng ABCD ABC D biết mặt đáy hình thoi cạnh 2a ABC 60 Cạnh bên hình lăng trụ 3a (minh hoạ hình bên) Thể tích V khối lăng trụ là: A' D' C' B' D A B A V 12a C B V 6a D V 4a C V 12a Lời giải Chọn A  Ta có: ABCD hình thoi ABC 60  ABC tam giác S ABCD 2 SABC 4a VABC ABC   AA.S ABCD 3a.4a 12a 3 Câu 26.5:Cho khối lăng trụ đứng ABC ABC  có AB a 10 , đáy ABC tam giác vuông cân A BC a (minh hoạ hình bên) Thể tích V khối lăng trụ cho C' A' B' A C B A V 3a B V a3 C V 3a D V a Lời giải Chọn A Ta có: ABC vng cân A  AB  AC  BC a Trang 2 Xét ABB vuông B , có: BB  AB  AB 3a 3a V BB.S ABC 3a a  2 Câu 26.6:Cho lăng trụ đứng tam giác có độ dài cạnh đáy 37cm ; 13cm ; 30cm biết tổng diện tích mặt bên 480cm Tính thể tích V lăng trụ B V 360cm A V 2160cm C 720cm D V 1080cm Lời giải Chọn D C' A' B' 30 A C 37 13 B Nửa chu vi đáy: p 37  13  30 40 Diện tích đáy là: S  40.(40  37).(40  13).(40  30) 180cm Gọi x độ dài chiều cao lăng trụ Vì mặt bên hình lăng trụ đứng hình chữ nhật nên ta có: S xq 13.x  37.x  30.x 480  x 6 Vậy thể tích lăng trụ là: V 6.180 1080cm Câu 26.7:Cho hình hộp đứng ABCD ABC D có đáy hình vuông, cạnh bên AA 3a đường chéo AC  5a (minh hoạ hình bên) Tính thể tích V khối hộp A' D' C' B' D A B A V 4a B V 24a C C V 12a D V 8a Lời giải Trang Chọn B 2 Xét ACC  vng C, có: AC  AC   CC  4a Hình vng ABCD có AC 4a  S ABCD  AC 8a 2 V  AA.S ABCD 24a Câu 26.8:Cho lăng trụ đứng ABC ABC  có đáy ABC tam giác vuông cân A, BC 2a, AB 3a Thể tích khối lăng trụ ABC ABC  A 2a a3 C 3 B a D 6a Lời giải Chọn B Tam giác ABC vuông cân A  AB  AC  BC a 2 2 2 Tam giác AAB vuông A  AA  AB  AB  9a  2a a a  VABC AB C   AA.S ABC a AB AC  a 2.a a 2 Câu 26.9:Các đường chéo mặt hình hộp chữ nhật ABCD ABC D Tính thể tích V khối hộp chữ nhật A' 26, 34 D' C' B' D A B A V 5 10, B V 225 C C V 15 D V 75 Lời giải Trang Chọn C Gọi x, y , z với x, y, z  độ dài cạnh hình hộp chữ nhật  x2  y 10   z 26  x  y  z 34  Theo đề, ta có hệ phương trình:  x 1   y 9   z 25   x 1   y 3  z 5  V  x y.z 15 Câu 26.10: Cho khối lăng trụ đứng ABCD A¢B ¢C ¢D ¢ có đáy ABCD hình vng cạnh a Biết góc  ABCD  30 Thể tích khối lăng trụ cho AB với mặt phẳng a3 A 2a B 2a 3 C D 2a Lời giải Chọn B D' A' B' C' A D 60° B ( S ABCD = a ) = 2a A¢A ^ ( ABCD ) Þ C  ABCD  ABA 30 góc AB với mặt phẳng a  AA  AB.tan ABA a 2.tan 30  Tam giác A¢AB vng A Thể tích khối lăng trụ Câu 26.11: V = AA¢.S ABCD = a 2a 2a = 3 Cho khối lăng trụ đứng ABCD A ' B ' C ' D ' có đáy hình thang vuông A D , biết AD 2a, AB BC a góc mặt phẳng  A ' CD  với mặt đáy 600 (minh họa hình bên) Thể tích khối lăng trụ D' A' C' B' A B 3a A B D C 6a 6a C 3a D Trang Lời giải Chọn C D' A' C' B' A D B Diện tích đáy là: S S ABCD C AD  BC  AB  2a  a  a 3a     2 , AC  CD, A ' C  CD   ( A ' CD ), ( ABCD )  ( A ' C , AC ) AA '  AC.tan 60 a a Thể tích khối lăng trụ: V S h  3a 6a a  2 Cho khối lăng trụ đứng ABCD ABC D  có đáy hình bình hành với AB a, BC a  góc BAC 60 , AA 2a (minh họa hình bên) Thể tích khối lăng trụ cho bằng: Câu 26.12: A' D' C' B' D A B 3 a A B 3a C 3 a C Lời giải 3 a D Chọn B AC x  x   Gọi Xét tam giác ABC có:  BC  AB  AC  AB AC.cos BAC  7a a  x  ax  x 3a  x  ax  6a 0    x  2a  l  Suy S ABCD 2.S ABC 3a 2 AB AC.sin A a.3a.sin 60  2 Trang Do Câu 26.13: VABCD ABCD  AA.S ABCD 2a 3a 3 3a Cho khối lăng trụ đứng ABCD ABC D có đáy hình chữ nhật với AB a , AA  3a  ABD  3 1313a Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng Thể tích khối lăng trụ cho bằng: A' D' C' B' D A B C 3 a C Lời giải a3 B A 3a 3 D 3a Chọn A A' D' C' B' H A D I B Kẻ C AI  BD  BD   AAI  Trong  AAI   AH   ABD  kẻ AH  AI  d A,  ABD   AH    a 13 13 1  2 AB AD Xét ABD có: AI 1   2 AA AI Xét AAI có: AH 1 1 1 1        2 2 2 AA AB AD AD AH AA AB Suy ra: AH Trang 10  1   2 AD  13  a a   13      Suy  1   AD 3a a 9a S ABCD  AB.AD a.3a 3a2  Do đó: V  AA SABCD a 3.3a 3 3a o · Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác vng A, AC a, ACB 60 Câu 26.14: ( BCC ' B ') tạo với mặt phẳng ( ACC ' A ') góc 30o Đường chéo BC ' mặt bên Tính thể tích khối lăng trụ theo a A a B a a3 C a3 D Lờigiải Chọn B ( BCC ' B ') tạo với mặt phẳng ( ACC ' A ') góc 30o Đường chéo BC ' mặt bên Nên · ' A = 300 BC ', ( ACC ' A ') ) = (·BC ', AC ') = BC (· AC = 2a; AB = BC - AC = a cos 60 C ' B = AB : sin 300 = 2a Þ BB ' = 2a B 'C ' = V = BB '.S ABC = 2a a 3.a = a Câu 26.15:  ABC ' Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có AB a , góc hai mặt phẳng  ABC  60 Tính thể tích khối lăng trụ cho 3 a A 3 a B 3 a C Lời giải 3 a D Chọn C Trang 11 H Gọi H trung điểm AB Ta có: CH  a · ' = 600 ( ABC ') , ( ABC ) ) = (·HC ', HC ) = CHC (· tan 600  Xét tam giác CHC ' vng C ta có: Vậy Câu 26.16: V CC '.S ABC  3a a 3a 3  Cho hình lăng trụ tam giác ABC ABC  có AB a , đường thẳng AB tạo với mặt phẳng A CC ' a 3a  CC ' CH tan 600  3 CH 2  BCC B V a3 góc 30 Tính thể tích V khối lăng trụ cho B V a3 12 C V 3a3 D V a3 Lời giải Chọn A C' A' B' A C M B Trang 12 Gọi M trung điểm BC , tam giác ABC nên AM  BC , mà AM  BB nên AM   BCC B  BCC B BM Suy hình chiếu vng góc AB  BCC B góc ABM ABM 30 Vậy góc đường thẳng AB mặt phẳng AM  a  AB a  AA  AB2  AB2 a V a3 Câu 26.17: Một hình hộp đứng có đáy hình thoi cạnh a , góc nhọn 60 đường chéo lớn đáy đường chéo nhỏ hình hộp Thể tích khối hộp A a B 3a C Lời giải 3a3 D 6a Chọn D a A B C a 60 D B C A D 2 Ta có AC BD a ; BB  BD  BD a Vậy thể tích khối hộp đứng a3 V B.h  a.a 3.a  2 Cho nhơm hình chữ nhật ABCD có AD 60cm , AB 40cm Ta gập nhôm theo hai cạnh MN PQ vào phía AB DC trùng hình vẽ bên Câu 26.18: để dược hình lăng trụ khuyết hai đáy Khi tạo khối lăng trụ với thể tích lớn B M Q C Q M B, C A  cm3  A 4000 x N 60cm P x  cm3  B 2000 D N P A, D  cm3  C 400  cm3  D 4000 Lời giải Chọn A Trang 13 Đáy lăng trụ tam giác cân có cạnh bên x , cạnh đáy 60  2x  60  x  AH  x     60 x  900   Đường cao tam giác , với H trung điểm NP Diện tích đáy 1 S S ANP  AH NP  60 x  900  30  x   30  60 x  900   900  30 x   900  30 x   900   S   100 cm 30       V 40.100 4000 cm3 100 3cm Diện tích đáy lớn nên thể tích lớn Câu 26.19: Cho lăng trụ đứng ABC ABC  có đáy tam giác cạnh a AB vng góc với BC  Thể tích lăng trụ cho a3 A 12 a3 B a3 C Lời giải a3 D 24 Chọn C C' A' B' H A C I B Gọi I trung điểm BC Vì ABC A ' B ' C ' lăng trụ tam giác nên AI   BB ' C ' C   AI  BC ' BC '   AIB '   BC '  B ' I Lại có giả thiết AB '  BC ' nên suy Gọi H B ' I  BC ' Ta có  BHI đồng dạng C ' HB '  HI BI    B ' H 2 HI  B ' I 3HI B ' H B 'C ' Trang 14 Xét tam giác vng B ' BI có BI a2 a   12 BI HI B ' I 3HI  HI   a   a 2 a BB '  B ' I  BI           Suy Vậy Câu 26.20: V S  ABC BB' a 2 a a3  Cho hình lăng trụ tam giác ABC ABC  Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng  ABC  a , góc hai mặt phẳng  ABC   BCC B khảo hình đây) Thể tích khối lăng trụ ABC ABC  9a3 15 A 20 3a3 15 B 20 9a3 15 C 10 Lời giải  với cos   (tham 3a3 15 D 10 Chọn A C' A' H B' N A C G M B Gọi M trung điểm AB , G trọng tâm tam giác ABC Trang 15 CC   AB   AB   CC M    CC M    ABC  CC M    ABC  C M Ta có: CM  AB Mà  nên gọi H hình chiếu vng góc C C M H hình chiếu C mặt ABC   d  C ;  ABC   CH a phẳng  Dựng đường thẳng qua G song song với CH , cắt C M điểm K GN   ABC   AG   BCC B  ABC  BCC B Ta có  nên góc hai mặt phẳng   góc AGN  a GN 1 GN  CH  AG     2 2 3 ; cos  a  AB  AG a ; CC  CH CM 9a  CC   3a 3a S ABC  a  ; 4    Vậy thể tích khối lăng trụ V CC S ABC 9a 15  20 Trang 16