Dang bai tap the tich khoi lang tru xxnbz

THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ I Phương pháp giải Hình lăng trụ Có 2 đáy song song bằng nhau và các cạnh bên song song bằng nhau Ta thường phân loại theo đa giác đáy lăng trụ tam giác, tứ giác Lăng trụ đứng k[.]

THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ I Phương pháp giải Hình lăng trụ: Có đáy song song cạnh bên song song Ta thường phân loại theo đa giác đáy: lăng trụ tam giác, tứ giác… - Lăng trụ đứng cạnh bên vng góc với đáy - Lăng trụ lăng trụ đứng có đáy đa giác Thể tích khối đa diện - Thể tích khối đa diện: khối đa diện tích số dương, thỏa mãn ba tính chất sau đây: (1) Hai khối đa diện tích (2) Nếu khối đa diện phân chia thành nhiều khối đa diện nhỏ thể tích tổng thể tích khối đa diện nhỏ (3) Khối lập phương có cạnh tích Chú ý: Để đơn giản, thể tích khối đa diện giới hạn hình đa diện H gọi thể tích hình đa diện H Thể tích khối lăng trụ: Thể tích khối lăng trụ tích số diện tích mặt đáy chiều cao khối lăng trụ V = B.h II Ví dụ minh họa Bài tốn Tính thể tích khối lăng trụ n-giác có tất cạnh a Giải Gọi A1 A2 An đáy khối lăng trụ O tâm đa giác A1 A2 An Hạ ON ⊥ A1 A2 a Ta có: ON = A1 N cot NOA1 = cot  n Do diện tích đáy khối lăng trụ là: 1  S = n.SOA1 A2 = n A1 A2 ON = na cot n Vì lăng trụ cho lăng trụ nên chiều cao cạnh bên: h = a  Vậy thể tích khối lăng trụ V = S h = na3 cot n Bài toán Cho khối lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy tam giác ABC vuông A, AC = b, ACB = 60 Đường thẳng BC tạo với mp ( AACC ) góc 30 a) Tính độ dài đoạn thẳng AC b) Tính thể tích khối lăng trụ cho Giải a) Ta có BA ⊥ AC , BA ⊥ AA nên BA ⊥ ( ACCA) Vậy AC hình chiếu BC mp ( ACCA) Do góc BCA 30 nên: AC = AB cot 30 = AC tan 60 cot 30 = b 3 = 3b b) Ta có: CC 2 = AC 2 − AC = 9b2 − b2 = 8b2 Do CC = 2b Vậy thể tích khối lăng trụ là: V = S h = 1 AB AC.CC  = b 3.b.2b = b3 2 Bài tốn Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có mặt đáy tam giác ABC vng B AB = a, BC = 2a, AA = 3a Một mặt phẳng (P) qua A vuông góc với CA cắt đoạn thẳng CC BB M N a) Tính thể tích khối ABC.ABC b) Chứng minh AN ⊥ AB tính diện tích tam giác AMN Giải a) Khối lăng trụ đứng ABC.ABC VABC ABC  = S ABC AA = a.2a.3a = 3a b) Ta có: CB ⊥ AB, CB ⊥ AA (do AA ⊥ ( ABC ) ) suy CB ⊥ ( AAB ) Mặt khác AN ⊥ CA , suy AN ⊥ AB Ta có: VAAMN = S AMN AI Vì NB / / AA, MC / / ( AAB )  VAAMN = VM AAN = VM AAB = VC AAB = a3 ( 3a ) 2 a + ( 2a ) + ( 3a ) Và AI AC = AA  AI = Vậy: S AMN = = 9a 14 3.VAAMN a 14 = AI Bài toán Cho lăng trụ tam giác ABC.ABC có tất cạnh đáy a, góc tạo thành cạnh bên mặt đáy 60 hình chiếu H đỉnh A lên mp ( ABC) trùng với trung điểm cạnh BC a) Tính khoảng cách hai mặt đáy góc hai đường thẳng BC AC b) Tính góc mp ( ABBA) mặt đáy tính thể tích khối lăng trụ Giải a) Ta có AH khoảng cách hai mặt phẳng đáy Vì AH hình chiếu vng góc cạnh bên AA mặt phẳng đáy nên AAH = 60 Trong tam giác AAH có: AH = AH tan 60 = a 3a 3= 2 Góc BC AC ACB Trong tam giác vng AHC có: tan AC B = AH 3a a = : =3 HC  2 b) Từ H hạ HK ⊥ AB Ta có HK hình chiếu AK mặt phẳng ( ABC) Suy AK ⊥ AB Vậy góc mặt phẳng ( ABBA) mặt phẳng ( ABC) AKH Gọi I trung điểm AB, ta có C I ⊥ AB, suy CI / / HK Vì H trung điểm BC nên HK đường trung bình tam giác BC I , suy HK = CI a = Trong tam giác vng AKH có: tan AKH = AH 3a a = : =2 HK Thể tích khối lăng trụ là: 3a a 3 3a    V = S ABC  AH = B C A H AH = a = 2 2 Bài toán Cho khối lăng trụ tam giác ABC.ABC có đáy tam giác cạnh a, điểm A cách ba điểm A, B, C, cạnh bên AA tạo với mặt phẳng đáy góc 600 a) Tính thể tích khối lăng trụ b) Tính diện tích xung quanh hình lăng trụ Giải a) Gọi O tâm tam giác ABC Vì AA = AB = AC nên AO ⊥ mp ( ABC ) Do AAO = 600 Ta có : AO = AO tan 600 = AO = a 3=a Vậy thể tích cần tìm : V = S ABC AO = a2 a3 a = 4 b) Vì BC ⊥ AO nên BC ⊥ AA hay BC ⊥ BB nên BBCC hình chữ nhật Gọi H trung điểm AB Ta có : S xq = 2S AABB + S BBC C = AH AB + BB.BC = a2 3 ( ) 13 + Bài toán : Cho khối lăng trụ tam giác ABC A1B1C1 có đáy ABC tam giác vuông cân với cạnh huyền AB Mặt phẳng ( AA1B ) vng góc với mặt phẳng ( ABC ) , AA1 = , góc A1 AB nhọn mặt phẳng ( A1 AC ) tạo góc 600 với mặt phẳng ( ABC ) Hãy tìm thể tích khối lăng trụ Giải Hạ A1K ⊥ AB ( K  AB ) K thuộc đoạn AB A1 AB nhọn Hạ KM ⊥ AC  AM ⊥ AC Ta có A1K ⊥ ( ABC ) ( AA1B ) ⊥ ( ABC )  A1MK = 60 Đặt A1K = x, ta có : AK = A1 A2 − A1K = − x2 , MK = AK sin KAM = − x sin 45 = − x 2 (3 − x2 ) x x Mặt khác, MK = A1K cot 60 =  = x= 3 Vậy VABC A B C = S ABC A1K = AC.CB A1K = 1 10 Bài tốn : Cho hình lăng trụ ABC.ABC có đáy tam giác vng cân, AB = AC = a, AA = a Hình chiếu B lên mp ( ABC) trung điểm BC Gọi M trung điểm AC Tính thể tích khối lăng trụ ABC.ABC tính cosin góc hai đường thẳng BC , MB Giải Gọi H trung điểm BC BH ⊥ ( ABC) Tam giác vng BBH ta có : HB = BB2 − BH = a − a2 a = 2 Do : a a3 VABC ABC  = S ABC BH = a.a = Gọi N trung điểm AC BN / / BM Nên góc ( BC, MB) = ( BC, BN ) Gọi I trung điểm BC CI / / BH Suy CI ⊥ ( ABC ) Tam giác vuông CIN ta có : C N = C I + IN = a2 a2 a + =  a2  a a2 a2 a  = , BC = + = a, C N =  2 2  2 Tam giác BNC có : BN = a +  Áp dụng định lý cosin tam giác BNC : 5a 3a 2 + a − BN + BC  − NC  =3 cos NBC  = = 2.BN BC  10 a .a 2 2 Vậy cos ( BC , MB ) = cos ( BC , BN ) = 10 ... góc mặt phẳng ( ABBA) mặt phẳng ( ABC) AKH Gọi I trung điểm AB, ta có C I ⊥ AB, suy CI / / HK Vì H trung điểm BC nên HK đường trung bình tam giác BC I , suy HK = CI a = Trong tam... a Hình chiếu B lên mp ( ABC) trung điểm BC Gọi M trung điểm AC Tính thể tích khối lăng trụ ABC.ABC tính cosin góc hai đường thẳng BC , MB Giải Gọi H trung điểm BC BH ⊥ ( ABC)... a − a2 a = 2 Do : a a3 VABC ABC  = S ABC BH = a.a = Gọi N trung điểm AC BN / / BM Nên góc ( BC, MB) = ( BC, BN ) Gọi I trung điểm BC CI / / BH Suy CI ⊥ ( ABC ) Tam giác vng CIN ta