Đang tải... (xem toàn văn)
THỂ TÍCH KHỐI CHÓP I Phương pháp giải Hình chóp tứ giác S ABCD, ngũ giác S ABCDE, Hình chóp đều Hình chóp có đáy đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau Trung đoạn của hình chóp đều là đoạn nối đỉnh với[.]
THỂ TÍCH KHỐI CHĨP I Phương pháp giải - Hình chóp tứ giác S.ABCD, ngũ giác S.ABCDE, - Hình chóp đều: Hình chóp có đáy đa giác cạnh bên Trung đoạn hình chóp đoạn nối đỉnh với trung điểm cạnh đáy - Thể tích khối chóp: Thể tích khối chóp phân ba tích số diện tích mặt đáy chiếu cao khối chóp V= B.h - Hình chóp cụt mặt phẳng song song với đáy cắt chia hình chóp Hình chóp cụt có đáy song chiều cao khoảng cách đáy song song - Thể tích khối chóp cụt: V = ( ) B + BB + B h Chú ý: 1) Hình chóp hình chiếu đỉnh chóp tâm đáy 2) Khi xác định giao điểm, giao tuyến, thiết diện ta thường dùng cách cắt nhau, kéo dài cắt nhau, đường gióng, giao tuyến gốc quan hệ song song, vng góc đề cho 3) Khi tính tốn đại lượng, cần đặt ẩn tìm phương trình đề giải ẩn 4) Đề tính diện tích, thể tích có ta tính gián tiếp cách chia nhỏ phần lấy phần lớn trừ phần dư, II Ví dụ minh họa Bài tốn 1: Cho khối chóp tam giác S.ABC có chiều cao h góc ASB 2 Hãy tìm thể tích khối chóp Giải Giả sử O tâm tam giác ABC Khi SO ⊥ ( ABC ) SO = h Gọi K trung điểm AB Đặt AK = x Khi SK = x cot ,OK = xtan 30 = Ta có h2 = SK − OK = x2 = x x2 3cot − 1) nên ( 3h2 AB sin60 ,S = = x2 ABC 3cot − Vậy VS ABC = x2 h3 S ABC h = h= 3 3cot − Bài toán 2: Cho hình chóp O.ABC có cạnh bên OA = a, OB = b, OC = c chúng vng góc với đơi một: a) Tính thể tích hình chóp O.ABC b) Tính chiều cao OH diện tích tam giác ABC Giải a) Ta có AO ⊥ OB AO ⊥ OC OA ⊥ ( OBC ) nên hình chóp O.ABC coi hình chóp A.OBC với đáy OBC đường cao AO Do đó: V = abc SOBC OA = b) Hạ OH ⊥ ( ABC ) H trực tâm đáy Ta có: 1 1 1 b c + a c + a 2b = + = + + = OH a OA2 a b c a 2b c Do đó: OH = abc a 2b + b c + a c 3V a 2b2 + b2 c + a c Và V = S ABC OH S ABC = = OH Bài toán 3: Cho hình chóp tam giác S.ABC, có độ dài cạnh đáy a Gọi M N trung điểm cạnh SB SC Tính thể tích hình chóp S.AMN, biết mặt phẳng (AMN) vng góc với mặt phẳng (SBC) Giải Gọi K trung điểm BC I = SK MN Từ giả thiết suy MN = a BC = ,MN 2 BC , suy I trung điểm SK MN Ta có SAB = SAC nên hai trung tuyến tương ứng AM = AN , AMN cân A, suy AI ⊥ MN Mà ( SBC ) ⊥ ( AMN ) AI ⊥ ( SBC ) AI ⊥ SK Do SAK cân A, suy SA = AK = Ta có SK = SB − BK = a 3a a a − = nên: 4 2 3a a a 10 SK AI = SA − SI = SA − = − = S AMN = 2 a 10 MN AI = 16 1 a 10 a Hình chóp S.AMN tích: V = S AMN SI = 3 16 a3 Vậy: V = 48 Bài toán 4: Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC cạnh a Gọi B điểm đối xứng với B qua trung điểm M AC Dựng điểm S cho SB = 3a vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi H hình chiếu M lên SB Tính thể tích khối chóp H.ABC góc hai mặt phẳng (SAB) (SBC) Giải Tam giác ABC cạnh a nên BM = AB a 18 = 2 Suy BB = 2BM = a 18 Tam giác SBB vuông B : SB = SB2 + BB2 = 9a + 18a = 3a Hai tam giác đồng dạng BHM ,BBS ( g.g ) nên a 18 a 18 BH BM BB BM =a = BH = = BB BS BS 3a Suy ra: d ( H ,( ABC ) ) d ( S ,( ABC ) ) = BH a = = BS 3a 3 d ( H ,( ABC ) ) = a Vậy VH ABC 1 6a a3 = S ABC d ( H ,( ABC ) ) = a = 3 Ta có AC ⊥ BM AC ⊥ SB nên AC ⊥ ( SBB) AC ⊥ SB Mà SB ⊥ MH , SB ⊥ ( AHC ) Do góc hai mặt phẳng (SAB) (SBC) góc hai đường thẳng HA HC Hai tam giác đồng dạng BHM ,BBS ( g.g ) suy ra: BM MH BM SB = MH = = BS SB BS a 18 3a a = 3a Trong tam giác AHC có đường trung tuyến HM nửa cạnh đối diện nên tam giác vng H Vậy góc hai mặt phẳng (SAB) (SBC) 90 Bài toán 5: Cho hình chóp S.ABC có SA đường cao đáy tam giác ABC vuông B, BC = a Hai mặt phẳng (SCA), (SCB) hợp góc 60 BSC = 45 a) Tính cosin góc = ASC b) Tính thể tích tứ diện Giải a) Ta có BC ⊥ AB,SA SB ⊥ BC nên tam giác SBC vuông cân B, SC = a Gọi I trung điểm SC ta có BI ⊥ SC BI = a Trong mặt phẳng (ABC) gọi H hình chiếu vng góc B AC, ta có: BH ⊥ AC BH ⊥ ( SAC ) BH ⊥ SC Mặt khác, ta có BI ⊥ SC Nên ta suy SC ⊥ ( BHI ) HIB = 60,HI = BI a = Xét tam giác vng HIC, ta có: 2a 2a 5a a HC = HI + IC = + = HC = 16 2 2 Ta có sin ICH = IH a 2 = = HC a 5 SA = SC sin ICH = a Vậy cos = a = 5 SA = SB a3 1 b) V = S ABC SA = a a.a Do V = 30 3 5 Bài toán 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng cân B, cạnh BC = 2a Gọi M trung điểm AC Hình chiếu H S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối tia MB cho MB = 2MH Biết góc SA mặt phẳng (ABC) 60 Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ trung điểm E SC tới mp(SAH) Giải Vì tam giác ABC vng cân B BC = 2a nên: AC = 2a Ta có BM trung tuyến ứng với cạnh huyền nên: BM = AC = a 2 Do MH = a BM = 2 Tam giác AMH vng M ta có: AH = AM + MH = 2a + a a 10 = 2 Vì SH ⊥ ( ABC ) nên ( SA,( ABC ) ) = SAH = 60 Tam giác SAH vuông H: SH = AH tan60 = Từ suy ra: VSABC = a 30 1 a 30 a 30 S ABC SH = 2a.2a = 32 Ta có: d ( E,( SAH ) ) = 1 d ( C,( SAH ) ) = 2.d ( M ,( SAH ) ) = MK 2 Trong K hình chiếu M lên AH Tam giác AMH vuông M: 1 = + MK = 2 MK MA MH a 2 = 2a = 10 MA2 + MH a2 2a + MA.MH a Bài tốn 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a , đường chéo AC = 2a, hai mặt phẳng (SAC) (SBD) vng góc với đáy SC = a Tính thể tích khối chóp S.ABCD chứng minh hai mặt phẳng (SAB) (SBC) vng góc với Giải Gọi O giao điểm AC BD Từ giả thiết ta có SO ⊥ ( ABCD ) Tam giác SOC vuông: SO = SC − OC = 3a − a = a Tam giác AOB vuông: OB = AB2 − OA2 = 3a − a = a 1 4a Ta có VSABCD = OB AC SO = 2a.a 2.a = 3 Gọi H trung điểm SB, tam giác SBC cân C nên CH ⊥ SB Tương tự AH ⊥ SB Suy góc hai mặt phẳng (SAB) (SBC) góc hai đường thẳng HA HC Từ SB ⊥ ( AHC ) OH ⊥ SB Tam giác SOB vuông O: 1 1 = + = + OH = a 2 OA OS OB 2a 2a Do OH = AC nên tam giác ABC vuông H Vậy hai mặt phẳng (SAB) (SBC) vng góc với Bài tốn 8: Tính thể tích hình chóp S.ABCD biết SA = b góc mặt bên đáy Giải Hạ SH ⊥ ( ABCD ) H tâm hình vng ABCD Gọi M trung điểm BC SM ,HM ⊥ BC SHM = Gọi a cạnh đáy Trong tam giác vuông SMB có: SM = SB − MB = 4b − a ( BC = a ) Trong tam giác vng SMH có: SM = HM a = cos cos Do đó: a = cos ( 4b − a ) a = 4b cos 2b cos + cos nên a = + cos + cos Trong tam giác SHM có: SH = HM tan = b cos + cos b sin + cos tan = + cos + cos b3 sin cos + cos Suy V = SH a = 2 3 (1 + cos ) Bài tốn 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng C D, AD = 3a, BC = CD = 4a Cạnh bên SA = a vng góc với mp(ABCD) Gọi E điểm nằm cạnh AD cho AE = a, F trung điểm CD Tính thể tích khối chóp S.DEBE cơsin góc hai đường thắng SE BF Giải Ta có: S DEBF = S DEB + S DFB = 1 DE.BC + DF BC 2 = 1 2a.4a + 2a.4a = 8a 2 Từ suy ra: VSDEBF = S DEBF SA 8a 3 = a 3.8a = 3 Ta có: cos ( SE,BF ) = cos ( SE,BF ) = SE.BF SE.BF và: SE.BF = ( SA + AE )( BC + CF ) = AE.BC = a.4a = 4a SE.BF = SA2 + AE BC + CF = 3a + a 16a + 4a = 4a Vậy cos ( SE,BF ) = 4a = 4a 5 Bài toán 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA = a SA vng góc với mặt phẳng đáy Tính theo a thể tích khối tứ diện SACD tính cơsin góc hai đường thẳng SB, AC Giải Thể tích khối tứ diện SACD là: 1 a3 VSACD = DA.DC.SA = Gọi M trung điểm SD Ta có OM SB nên g ( SB; AC ) = g ( OM ,OC ) Tam giác vng SAB có: SB = SA2 + AB2 = 3a2 + a2 = 2a Nên OM = a Tương tự, SD = 2a MD = a CM = a Xét tam giác OMC, ta có cos COM = OM + OC − MC 2 =− cos ( SB, AC ) = 2OM OC 4 Bài tốn 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D; AB = AD = 2a, CD =a; góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 60 Gọi I trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vng góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Giải Vì (SBI), (SCI) vng với đáy nên SI ⊥ ( ABCD ) Hạ IK ⊥ BC kẻ SK ⊥ BC SKI = 60 Ta có S ABCD = ( AB + DC ) AD = 3a 2 S ABI + SCDI = 3a 3a S IBC = 2 Ta có BC = ( AB − CD ) + AD = 5a BC = a S IBC = 3a 3a 15 BC.IK IK = SI = 3.IK = 5 Vậy V = 3a 15 S ABCD SI = Bài tốn 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy nửa lục giác ABCD nội tiếp đường trịn đường kính AD = 2a có cạnh SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA = a a) Tính khoảng cách từ A B đến mặt phẳng (SCD) b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD c) Tính khoảng cách đường thẳng AD mặt phẳng song song (SBC) Giải a) Vì ABCD nửa lục giác nội tiếp đường trịn đường kính AD = 3a nên ta có: AD BC AB = BC = CD = a , đồng thời AC ⊥ CD, AB ⊥ BD, AC = BD = a Do CD ⊥ ( SAC ) Hạ AH ⊥ SC mà AH ⊥ CD nên AH ⊥ ( SCD ) d ( A,( SCD ) ) = AH Tam giác SAC vuông A: 1 1 = 2+ = 2 AH SA AC a ( + ) (a ) 2 = 2a AH = 2a2 AH = a Gọi I trung điểm AD ta có BI CD nên BI song song với mặt phẳng (SCD) Từ suy d ( B; ( SCD ) ) = d ( I ; ( SCD ) ) = b) Thể tích khối chóp S.ABCD: 1 a d ( A; ( SCD ) ) = a = 2 1 a + 2a a V = S ABCD SA = a = a 3 2 c) Ta có AD BC nên AD ( SBC ) Hạ AE ⊥ BC SE ⊥ BC BC ⊥ ( SAE ) ( SAE ) ⊥ ( SBC ) Hạ AF ⊥ SE AF ⊥ ( SBC ) Ta có: d ( AD; ( SBC ) ) = d ( A; ( SBC ) ) = d ( A;SE ) = AF Xét tam giác vuông AEB,SAE : AE = a sin60 = 1 a = 2+ = AF = 2 AF SA AE 6a a ... 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA = a SA vng góc với mặt phẳng đáy Tính theo a thể tích khối tứ diện SACD tính cơsin góc hai đường thẳng SB, AC Giải Thể tích khối tứ diện... AD Biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vng góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Giải Vì (SBI), (SCI) vuông với đáy nên SI ⊥ ( ABCD ) Hạ IK ⊥ BC kẻ SK ⊥ BC SKI = 60 Ta