THỂ TÍCH KHỐI HỘP I Phương pháp giải Hình hộp là hình lăng trụ tứ giác có đáy là hình bình hành Hình hộp có 6 mặt là hình bình hành, 4 đường chéo đồng qui tại tâm hình hộp Thể tích của khối hộp bằng t[.]
Trang 1THỂ TÍCH KHỐI HỘP I Phương pháp giải
Hình hộp: là hình lăng trụ tứ giác có đáy là hình bình hành
Hình hộp có 6 mặt là hình bình hành, 4 đường chéo đồng qui tại tâm hình hộp
Thể tích của khối hộp bằng tích số của diện tích mặt đáy và chiều cao của khối hộp đó
Hình hộp chữ nhật: là hình hộp đứng và có đáy là hình chữ nhật
Gọi a, b, c là 3 kích thước thì có đường chéo: 222
d = a +b +c , diện tích tồn phấn:
()
2
S = ab bc ca++ và thể tích khối hộp chữ nhật V =abc.
Hình lập phương: là hình hộp chữ nhật có 3 kích thước bằng nhau
Gọi a là cạnh hình lập phương thì có đường chéo d =a 3,
Diện tích tồn phần 2
6
S = a và thể tích khối lập phương 3
.
V =a
II Ví dụ minh họa
Bài tốn 1: Tính thể tích của khối hộp ABCD A B C D. , biết rằng AA B D là khối tứ diện đều
cạnh a
Giải
Vì AA B D là tứ diện đều nên đường cao AH của nó có hình chiếu H là tâm của tam giác đều
.A B D Suy ra: 3226,33aaA H= AH = AA−A H=Ta có đáy A B C D là hình thoi có góc B A D bằng 60nên: 23.sin 602A B C DaS = A B A D =
Vậy thể tích khối hộp đã cho là:
23362 232aaaV =S h==
Bài toán 2: Cho khối hộp ABCD A B C D. 1 1 1 1 có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a,
()
11090
Trang 2Giải
Hạ A H1⊥AC H( AC)
Tam giác A BD1 cân (do A B1 = A D1 ) Suy ra BD⊥ A O1 .Mặt khác BD⊥AC( 1 ) 1BDA AOBDA H⊥⊥Do đó A H1⊥(ABCD).Đặt A AD1 =Hạ A K1 ⊥ ADHK ⊥AK.Ta có: 11
cos cos.cos
2
AH AKAK
AA AHAA
=== nên cos cos .
cos2= Do đó: 2 2212cos
sin1coscos
2coscos22aA Ha a ==−=−1 1 1 12221
sin sin coscos
2cos2ABCDA B C DaVAB AD A Ha ==−322
2sincoscos.
22
a
=−
Bài toán 3: Cho khối hộp ABCD A B C D. có đáy là hình chữ nhật với AB=3,AD=7 và các cạnh bên bằng 1 Hai mặt bên (ABB A ) và (ADD A ) lần lượt tạo với đáy những góc 45 và
Trang 3Mà HK=xcot 45 =x nên 23 4337xx= − =x Vậy . 7 3. 3 37ABCD A B C DV =AD AB x==
Bài toán 4: Cho khối lăng trụ tứ giác đều ABCD A B C D. 1 1 1 1 có khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và A D1 bằng 2 và độ dài đường chéo của mặt bên bằng 5
a) Hạ AK⊥A D K1 ( A D1 ). Chứng minh rằng : AK =2.
b) Tính thể tích khối lăng trụ ABCD A B C D. 1 1 1 1
Giải a) a AB)/ /A B11AB/ /(A B D11 )()( ,11 )( ,1 )d A A B D =d AB A DTa có A B11⊥(AA D D11 )A B11⊥AK.Mặt khác : A D1⊥AKAK⊥(A B D11 ).Vậy AK=d A A B D( ,( 11 ))=d AB A D( ,1 )=2.
b) Xét tam giác vng A AD1 , ta có : 2
1.AK =A K KDĐặt () 21455401A K= =xx −x x − x+ = =x hoặc x =4.Với 2222111,2 5,5x= AD= AK +KD = AA = A D −AD =Khi đó 1 1 1 1.20 5ABCD A B C DV =
Với x =4 , tương tự ta có : VABCD A B C D.1 1 1 1 =10 5
Bài tốn 5: Cho hình hộp ABCD A B C D. có tất cả các cạnh đều bằng d và ba góc của đỉnh A
đều bằng 60
a) Tính độ dài các đường chéo và thể tích V của hình hộp b) Tính khoảng cách giữa hai mặt song song của hình hộp
c) Có thể cắt hình hộp bằng một mặt phẳng sao cho thiết diện nhận được là một hình vng ?
Trang 4a) Đặt AA =a AB,=b AD,=c thì 2 2da b=b c=c a=Ta có: 2 ()2AC = + +a b c222 22 2 2 6.abca bb cc ad=++ +++=Suy ra: AC =d 6 và Ta có: 2 ()2BD = − +a b c222 22 2 2 2.abca bb cc ad=++ −−+=Suy ra: BD =d 2.
Tương tự: DB=CA=d 2 nên ta có AA BD là hình tứ diện đều cạnh d, nên:
()32,12AA BDdV = do đó 6 3 212AA BDdV = V =
b) Gọi h là khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (A B C D ) thì 336 122= ABCD = d = dVShh
Tương tự thì các khoảng cách giữa hai mặt song song nào cũng bằng 6.2
d
c) Hình bình hành BCD A có các cạnh bằng d, và hai đường chéo bằng d 2 nên nó là hình vng
Vậy hình hộp có thiết diện BCD A là hình vng Tưng tự thiết diện CDA B cũng là hình vng
Bài tốn 6: Cho hình lăng trụ ABCD A B C D. có đáy là hình vng cạnh bằng a 3,A cách đều A B C D ,,, Biết rằng khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác AB D đến mp AA D( )bằng
2
a
Tính thể tích khối lăng trụ cho và khoảng cách từ tâm O của hình vng A B C D
đến mặt phẳng (ADC B ).
Trang 5Vì G là trọng tâm của tam giác AB D nên G nằm trên đoạn thẳng AO và 2 .3AG= AO Ta có: d O AA D( ;( ))()()33,24ad G AA D==
Gọi M là trung điểm của A D
Hạ OH⊥AM thì OH ⊥(AA D')Do đó: (()) 3;'4== aOHd O AA D
Tam giác AOM vuông tại O:
22222211116143932aOAOH =OA +OM a =OA + a =Vậy 222.39.3 22ABCD A B C DABCDaaV =SOA= a =
Gọi N là trung điểm của B C Hạ OK⊥AN.
Ta có: OK⊥(ADC B )nên OK=d O ADC B( ,( ))Tam giác AON vuông tại O:
22222211144163.9394aOKOK =OA +ON = a + a = a =
Vậy khoảng cách từ tâm O của hình vng A B C D đến mặt phẳng (ADC B ) là 3 .4
aOK =
Bài tốn 7: Cho hình hộp ABCD A B C D. có đáy là hình chữ nhật AB=a 3,AA= AC=2a 3.
Hình chiếu của B lên mp A B C D( ) là trung điểm O của B D Tính thể tích khối hộp
.
ABCD A B C D và cosin của góc giữa hai đường thẳng AC và BB
Giải
Ta có O là tâm của hình chữ nhật
Trang 6Tam giác vuông ABC: 22BC= AC −AB 2212a 3a 3a=−=
Tam giác vng BOB ta có: 22222212334ACBO= BB−BO = BB−= a − a = aNên 3 3.3 393ABCD A B C DABCDV =SBO=AB BC BO=aa a= a
Ta có: cos(AC BB,)=cos(A C AA ,)=cosAA O
Vì BO⊥(ABCD)BO⊥AB
Tam giác ABO vuông cân tại B: 2222
3923
AO= AB +BO = a + a = a
Áp dụng định lý cosin trong tam giác AA O ta có:
222222123121cos2. 2.2 3. 3 4A AA OAOaaaAA OA A A Oaa+−+− ===Vậy () 1cos,.4AC BB =
Bài tốn 8: Cho hình hộp đứng ABCD A B C D. có đáy là hình bình hành,
2 ,,60 ,
AB= a BC=a BAD= góc giữa đường thẳng B C và mặt phẳng (ACC A ) bằng 30 Tính thể tích khối hộp ABCD A B C D. và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM DD, với M là trung điểm của CC
Giải
Hạ BH⊥A C thì có BH ⊥(ACC A ).
Từ đó suy ra góc giữa B C và mặt phẳng (ACC A ) bằng
B CH
Áp dụng định lý cơsin trong tam giác ABC ta có:
Trang 7Tam giác vuông : 2 21
sin 307
B Ha
B CH B C ==
Tam giác vuông
22284235:497aaBB C BB= B C−BC =−a =Nên: 3.335 105.sin 60 2 277ABCD A B C DaaV =AB AD AA= a a =
Ta có AM song song với (ACC A ).