Thể tích khối lăng trụ và cách giải bài tập I LÝ THUYẾT 1 Định nghĩa Cho hai mặt phẳng song song ( ) , ( ) Trên ( ) lấy đa giác lồi 1 2 nA A A , qua các đỉnh của đa giác này dựng các đường thẳng s[.]
Thể tích khối lăng trụ cách giải tập I LÝ THUYẾT Định nghĩa: Cho hai mặt phẳng song song ( ) , () Trên ( ) lấy đa giác lồi A1A2 An , qua đỉnh đa giác dựng đường thẳng song song với cắt () A1 , A 2 , , A n Hình gồm hai đa giác A1A2 An , A1A 2 A n hình bình hành A1A A 2A1 ,A A 3A 3A 2 , A n A1A1A n gọi hình lăng trụ kí hiệu A1A A n A1A 2 A n Các lăng trụ đặc biệt a) Lăng trụ đứng: Là lăng trụ có cạnh bên vng góc với đáy Các mặt bên hình chữ nhật Cạnh bên đường cao lăng trụ b) Lăng trụ đều: Là lăng trụ đứng có đáy đa giác Các mặt bên lăng trụ hình chữ nhật c) Hình hộp: Là hình lăng trụ có đáy hình bình hành +) mặt hình hộp hình bình hành +) Hai mặt đối diện song song +) Bốn đường chéo hình hộp đồng quy trung điểm đường d) Hình hộp chữ nhật: hình hộp có mặt hình chữ nhật e) Hình lập phương: Là hình hộp có mặt hình vng (bằng nhau) 3) Cơng thức thể tích: a) Thể tích khối lăng trụ VLT = S.h với: S: Diện tích đáy h: Chiều cao b) Thể tích khối hộp chữ nhật V = a.b.c với a, b, c ba kích thước c) Thể tích khối lập phương V = a3 Trong a độ dài cạnh II PHƯƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH LĂNG TRỤ Bước 1: Xác định tính chiều cao khối đa diện +) Trong nhiều trường hợp, chiều cao khối đa diện cho từ đầu (chiều cao cho trực tiếp), có trường hợp việc xác định phải dựa vào định lí quan hệ vng góc (chiều cao cho gián tiếp), hay dùng là: định lí đường vng góc, định lí điều kiện để đường thẳng vng góc với mặt phẳng, … +) Tính độ dài chiều cao: Sử dụng định lí Pitago, nhờ hệ thức lượng tam giác vuông, tỉ số lượng giác tam giác vuông, định lý cosin, … +) Có thể tính chiều cao cách chuyển tốn tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Nếu OA / / ( ) d ( O, ( ) ) = d ( A, ( ) ) Nếu OA ( ) = I d ( O,( ) ) d ( A, ( ) ) = IO (định lý Ta-lét) IA Bước 2: Tìm diện tích đáy cơng thức Bước 3: Sử dụng cơng thức tính thể tích III VÍ DỤ MINH HỌA Dạng 1: Thể tích lăng trụ đứng tam giác: Lăng trụ đứng tam giác có đáy tam giác (1) Chiều cao h cạnh bên AA’ (hoặc BB’, CC’) (2) Mặt đáy tam giác ABC (hoặc tam giác A’B’C’) Khi thể tích lăng trụ ABC A’B’C’ V = SABC AA ' Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng ABC A’B’C’ có đáy tam giác vuông cân A, AB = AC = a, AA’ = 2a Thể tích khối lăng trụ ABC A’B’C’ 2a A B 2a C a3 D a Lời giải Chọn D Ta có chiều cao lăng trụ AA’ = 2a 1 a2 Diện tích đáy là: SABC = AB.AC = a.a = 2 a2 Thể tích khối lăng trụ là: VABC.A 'B'C' = SABC AA' = 2a = a Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A’B’C’ có đáy tam giác vng cân A, cạnh AB = a , góc A’C (ABC) 45 Tính thể tích khối lăng trụ A 3 a B a C 3a a3 D Lời giải Chọn A Tam giác vuông cân A, cạnh AB = a AC = a 1 Diện tích đáy ABC là: SABC = AB.AC = a 3.a = a 2 Góc AC’ (ABC) 45 A'CA = 45 Chiều cao AA = a 3.tan 45 = a Vậy thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là: 3 3 VABC.A 'B'C ' = SABC AA ' = a a = a 2 Dạng 2: Thể tích lăng trụ đứng tứ giác Lăng trụ đứng tứ giác có: (1) Đáy tứ giác, hình chữ nhật, hình vng, hình thoi, hình bình hành, hình thang, … (2) Các mặt bên hình chữ nhật (3) Chiều cao cạnh bên lăng trụ Minh họa: Xét lăng trụ đứng tứ giác ABCD A’B’C’D’ có: +) Đường cao AA’ (hoặc BB’, CC’, DD’) +) Đáy tứ giác ABCD A’B’C’D’ Khi VABCD.A'B'C'D' = SABCD AA' Ví dụ 3: Tính thể tích hình lập phương có độ dài đường chéo 12 A B 24 C 12 D 16 Hướng dẫn giải Chọn A Đặt AB = a Vì đáy hình vng BD = a Vì BBD vng B nên BD2 = BB2 + BD2 12 = a + 2a a = Vậy thể tích khối lập phương ABCD A’B’C’D’ là: VABCD.A ' B'C ' D ' = a = 23 = Dạng 3: Thể tích lăng trụ xiên Lăng trụ xiên lăng trụ có cạnh bên khơng vng góc với đáy Ta phải xác định đường cao lăng trụ dựa vào yếu tố mà đề cho Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A’B’C’ có BB’ = a, góc đường thẳng BB’ mặt phẳng (ABC) 60 , tam giác ABC vng C góc BAC 60 Hình chiếu vng góc điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối lăng trụ ABC A’B’C’ theo a Lời giải Gọi G trọng tâm tam giác ABC Khi BG ⊥ (ABC) Tam giác B’BG vng G nên góc B’BG góc nhọn BG hình chiếu vng góc đường thẳng BB’ (ABC) nên góc BB’ (ABC) góc BB’ BG góc B’BG, 60 Tam giác B’BG vuông G nên BG = BB.sin BBG = a.sin 60 = BG = BB.cos BBG = a.cos60 = a Gọi M trung điểm AC, ta có 3a BM = BG = Đặt AB = 2x Vì tam giác ABC vng C ta có : +) AC = AB.cos BAC = 2x.cos60o = x CM = +) BC = AB.sin BAC = 2x.sin 600 = 2x x =x Tam giác BCM vuông C nên ( ) 2 9a 3a 13 x 13x BM = CB + CM = x + = x= 26 16 2 2 1 9a Diện tích tam giác ABC SABC = CA.CB = x.x = 2 104 Vậy thể tích khối lăng trụ cho V = BG.SABC = IV BÀI TẬP ÁP DỤNG a 27a 208 Câu Cho khối lăng trụ có đáy hình vng cạnh a chiều cao 4a Thể tích khối lăng trụ cho A 4a 16 B a C a D 16a Câu Cho khối lăng trụ có diện tích đáy 3a khoảng cách hai đáy a Tính thể tích V khối lăng trụ cho A V = a B V = a C V = 3a D V = 9a Câu 3: Thể tích khối lập phương có cạnh 2a A 8a B 2a C a D 6a Câu 4: Thể tích khối lăng trụ tam giác có tất cạnh a A 2a 3 B 2a C 3a D 3a Câu 5: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác ABC vng, AB = BC = a, cạnh bên A'A = a Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ A 2a B 3a 3 2a C 3 2a D Câu Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có BB’ = a, đáy ABC tam giác vuông cân B AC = a Tính thể tích V khối lăng trụ cho a3 A V = a3 B V = a3 C V = D V = a Câu Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh 2a AA’ = 3a (minh họa hình vẽ bên) Thể tích khối lăng trụ cho A 3a B 3a C 3a D 3a Câu 8: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có cạnh đáy a, A’C hợp với mặt đáy góc 60o Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ tính theo a bằng: 3a A a3 B C 2a 3 3a D Câu Thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có cạnh AB = 3, AD = 4, AA’ = A V = 30 B V = 60 C V = 10 D V= 20 Câu 10 Ông A dự định sử dụng hết 6,5m kính để làm bể cá kính có dạng hình hộp chữ nhật khơng nắp, chiều dài gấp đơi chiều rộng (các mối ghép có kích thước khơng đáng kể) Bể cá có dung tích lớn (kết làm tròn đến hàng phần trăm)? A 2,26m3 B 1,61m C 1,33m D 1,50 m3 Câu 11: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc điểm A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết A’O = a Tính theo a thể tích khối lăng trụ cho a3 12 A V = a3 B V = C V = a3 a3 D V = Câu 12: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cân A, AB = AC = a, BAC = 120o , hình chiếu vng góc A’ (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC, cạnh bên AA’ = a Thể tích khối lăng trụ là: 3a 3 A B 3a a3 C a3 D ĐÁP ÁN Câu Đáp án A C A D A C D A B 10 D 11 A 12 B ... nhau) 3) Cơng thức thể tích: a) Thể tích khối lăng trụ VLT = S.h với: S: Diện tích đáy h: Chiều cao b) Thể tích khối hộp chữ nhật V = a.b.c với a, b, c ba kích thước c) Thể tích khối lập phương... tích tam giác ABC SABC = CA.CB = x.x = 2 104 Vậy thể tích khối lăng trụ cho V = BG.SABC = IV BÀI TẬP ÁP DỤNG a 27a 208 Câu Cho khối lăng trụ có đáy hình vng cạnh a chiều cao 4a Thể tích khối. .. khối lăng trụ cho A 4a 16 B a C a D 16a Câu Cho khối lăng trụ có diện tích đáy 3a khoảng cách hai đáy a Tính thể tích V khối lăng trụ cho A V = a B V = a C V = 3a D V = 9a Câu 3: Thể tích