1/1 Tiết 28: TÍNH CHẤT HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU Bài Cho đường tròn O , điểm A nằm bên ngồi đường trịn , kẻ tiếp tuyến AM , AN với đường tròn( M , N tiếp điểm) a Chứng minh OA MN b Vẽ đường kính NOC Chứng minh MC //AO Bài Từ điểm A nằm ngồi đường trịn (O) kẻ hai tiếp tuyến AM , AN với đường tròn M , N tiếp điểm) cho MAN 400 Tính số đo góc MON Bài Cho O ,5cm ,điểm M nằm bên ngồi đường trịn Kẻ tiếp tuyến MA, MB với đường tròn(A, B tiếp điểm) Biết AMB 600 a/ Chứng minh AMB b/ Tính chu vi AMB Bài Từ điểm A nằm ngồi đường trịn O , kẻ tiếp tuyến AB , AC với đường tròn ( B, C tiếp điểm) Qua điểm M thuộc cung nhỏ BC , kẻ tiếp tuyến thứ ba với đường trịn O , cắt AB , AC theo thứ tự D E Chứng minh chu vi tam giác ADE 2 AB Bài Cho đường tròn O , dây cung AB Qua O kẻ đường vng góc với AB H cắt tiếp tuyến A O điểm C Chứng minh CB tiếp tuyến đường tròn Bài Cho xAy khác góc bẹt Tâm đường trịn tiếp xúc với hai cạnh xAy nằm đường trịn Nhóm chun đề Khối 6,7,8,9 https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ 1/1 ȱ A Bài F G Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường trịn tâ O ( hình bên Chứng tỏ : 2AD AB AC BC O B E C Bài Cho tam giác ABC , đường trịn bàng tiếp góc A tiếp xúc với BC , AC , AB theo thứ tự D; F ; E a So sánh hai đoạn AE AF b So sánh BD với BE CD với CF c Chứng tỏ AE AF chu vi tam giác ABC Bài D 900 ) có B 2C có cạnh tiếp xúc với Cho hình thang vng ABCD ( A đường trịn tâm O a Chứng minh chu vi hình thang hai lần tổng hai đáy b Chứng minh AOD vng cân Bài 10 Cho đường trịn tâm O , bán kính 5cm , lấy điểm A cho OA 8cm , vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ,( B, C tiếp điểm ), tiếp tuyến ( d) cung nhỏ BC cắt AB D AC E a Tính chu vi ADE b Tính số đo DOE Bài 11 Cho tam giác ABC vng A , phía ngồi tam giác vẽ nửa đường trịn O , đường kính AB nử đường trịn O ' , đường kính AC , đường thẳng ( d) qua A cắt O M , cắt O ' N Tìm quỹ tích trung điểm I MN ( d) quay quanh A không cắt ABC Hết Nhóm chuyên đề Khối 6,7,8,9 https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ 1/1 HƯỚNG DẪN GIẢI Bài Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngồi đường trịn , kẻ tiếp tuyến AM , AN với đường tròn( M , N tiếp điểm) a Chứng minh OA MN b Vẽ đường kính NOC Chứng minh MC //AO Lời giải a Xét (O) ta có : AM AN tiếp tuyến (gt) ȱ AOlà tia phân giácMAN AM AN M C A Xét MAN có : AM AN O H AMN cân A AO đồng Mà AO tia phân giác MAN thời đường trung tuyến, đường cao AMN Vậy OA MN N b.Gọi H giao điểm MN AO Xét NMC có HM HN ( AH đường trung tuyến AMN ) CO NO R HO đường trung bình NMC HO //MC MC //AO Bài Từ điểm A nằm ngồi đường trịn (O) kẻ hai tiếp tuyến AM , AN với đường tròn , cho MAN 400 Tính số đo góc MON Lời giải Xét (O) có AM , AN hai tiếp tuyến đường tròn , M , N hai tiếp điểm ȱ M AMO ANO 900 Xét tứ giác MANO ta có A 40° A N O 3600 ( tổng góc tứ M giác ) 3600 900 400 900 O 1400 O Nhóm chuyên đề Khối 6,7,8,9 https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ O N 1/1 Vậy MON 1400 Bài Cho O ,5cm ,điểm M nằm bên ngồi đường trịn Kẻ tiếp tuyến MA, MB với đường tròn(A, B tiếp điểm) Biết AMB 600 a Chứng minh AMB b/ Tính chu vi AMB ȱ Lời giải A a Xét (O) MA , MB hai tiếp tuyến đường tròn , A , B hai tiếp điểm nên AM MB ( tính chất hai tiếp tuyến cắt ) MAB cân A 60° H O Mặt khác : AMB 600 Vậy MAB tam giác B b Vì MA , MB hai tiếp tuyến đường tròn , A , B hai tiếp điểm nên MAO MBO 900 MH tia phân giác AMB AMO 300 Áp dụng tỉ số lượng giác cho tam giác AOM vng A có: tan AMO OA tan 300 AM 5 3( cm) AM AM Vì MAB tam giác nên AM AB MB 5 3(cm) chu vi AMB 3.3 15 3(cm) Bài Từ điểm A nằm ngồi đường trịn O , kẻ tiếp tuyến AB , AC với đường tròn ( B, C tiếp điểm) Qua điểm M thuộc cung nhỏ BC , kẻ tiếp tuyến thứ ba với đường tròn O , cắt AB , AC theo thứ tự D E Chứng minh chu vi tam giác ADE 2 AB Lời giải Xét (O) có ȱ B AB AC ; DB DM ; EC EM ( Tính D chất hai tiếp tuyến cắt ) Ta có : chu vi ADE AD DM ME AE A AD DB EC AE AB AC 2 AB Nhóm chuyên đề Khối 6,7,8,9 https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ M O E C M 1/1 Vậy: Chu vi ADE 2 AB Bài Cho đường tròn O , dây cung AB Qua O kẻ đường vng góc với AB H cắt tiếp tuyến A O điểm C Chứng minh CB tiếp tuyến đường tròn Lời giải Xét (O) ta có : OA OB R OAB cân O O đường cao OH đường phân giác AOB O Xét OAC OBC có: ȱ O (cmt ) ; OA OB R ; OC : cạnh chung O B C OCA OCB(c g c ) H mà OAC OAC OBC 900 ( AC tiếp tuyến đường tròn ) OBC 900 hay CB OB B Vậy CB tiếp O A tuyến O Bài Cho xAy khác góc bẹt Tâm đường tròn tiếp xúc với hai cạnh xAy nằm đường tròn ȱ x Lời giải H Gọi I tâm đường tròn tiếp xúc với hai cạnh Ax, Ay H K Ta có IH Ax; IK Ay IH IK R A z I Ta thấy I cách hai cạnh Ax Ay xAy nên I thuộc phân giác Az K xAy y Vậy tâm đường tròn tiếp xúc cới hai cạnh xAy khác góc bẹt nằm đường phân giác góc Bài Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâ O ȱ A ( hình bên ) Chứng tỏ : 2AD AB AC BC F G O B Nhóm chuyên đề Khối 6,7,8,9 https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ E C 1/1 Lời giải Xét (O) ta có : AD AF ; BD BE; CE CF ( Tính chất hai tiếp tuyến cắt ) (*) Mà : AD AB BD AF AC CF (1) (2) Cộng (1) (2) theo vế : AD AF AB AC ( BD CF ) (3) Mặt khác : BD CF BE CE BC ( suy từ *) Từ (3) suy : 2AD AB AC BC ( đpcm ) Bài Cho tam giác ABC , đường trịn bàng tiếp góc A tiếp xúc với BC , AC , AB theo thứ tự D; F ; E a So sánh hai đoạn AE AF b So sánh BD với BE CD với CF c Chứng tỏ AE AF chu vi tam giác ABC Lời giải ȱ A a Xét (O) có AE AF hai tiếp tuyến đường trịn AE AF b Xét (O) có: C D BD BE; CD CF ( Tính chất hai tiếp tuyến cắt ) F B c Ta có AE AB BE AB BD ( DB BE ) (1) AF AC CF AC CD ( CD CF ) (2) Cộng (1) (2) theo vế Nhóm chuyên đề Khối 6,7,8,9 https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ E O 1/1 AE AF AB BD AC CD AB AC BD CD AB AC BC Mà : AB AC BC CV ABC Vậy AE AF CV ABC Bài D 900 ) có B 2C có cạnh tiếp xúc với Cho hình thang vng ABCD ( A đường trịn tâm O a Chứng minh chu vi hình thang hai lần tổng hai đáy b Chứng minh AOD vuông cân Lời giải Gọi M , N , P , Q tiếp điểm O với cạnh AB, BC , CD , DA Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: ȱ AM AQ; BM BN CN CP; DP DQ(*) A ;B B A 2 C ;D D (**) C 2 12 B N Q O CV ABCD AB BC CD DA (1) Mà : BC DA BN CN DQ AQ M A 1 2 D C P Từ (*) BC DA BM CP DP AM BM AM CP DP AB CD Từ (1) CV ABCD AB CD AB CD 2( AB CD) Vậy : CV ABCD 2( AB CD) D 90 (gt) b Ta có : A D 45 Từ (** ) A 1 D 45 Xét AOD có A AOD 90 Vậy AOD vng cân 1 Bài 10 Cho đường tròn tâm O , bán kính 5cm , lấy điểm A cho OA 8cm , vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ,( B, C tiếp điểm ), tiếp tuyến ( d) cung nhỏ BC cắt AB D AC E a Tính chu vi ADE b Tính số đo DOE Nhóm chuyên đề Khối 6,7,8,9 https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ 1/1 Lời giải ȱ C a CVADE AD DE AE E (1) Gọi I tiếp tuyến (d ) với đường trịn O Ta có : ID BD; EI EC (Tính chất hai tiếp tuey6n1 cắt nhau) O I A D B DE DB EC Từ (1) ta suy CVADE AD DB EC AE AB AC (2) Vì AC tiếp tuyến đường tròn O , C tiếp điểm OC CA C xét OAC vuông C : OA OC CA AC OA OC AC 8 52 64 25 39 AB AC 6,25cm Từ(2) suy CVADE AD DB EC AE AB AC 6,25 6,25 12,5( cm) b xét đường trịn O ta có: 1 IOD DOB IOB ( tính chất hai tiếp tuyến cắt ) IOE EOC IOC 1 IOD IOE IOB IOC BOC hay DOE 2 Ta có : cos AOB OB 0,6250 ( Tỉ số lượng giác góc nhọn cho tam giác vuông OA OAB ) AOB 51 BOC 2.AOB 102 1 BOC 51 Vậy DOE Từ (1) DOE 51 Bài 11 Cho tam giác ABC vuông A , phía ngồi tam giác vẽ nửa đường trịn O , đường kính AB nử đường trịn O ' , đường kính AC , đường thẳng ( d) qua A cắt O Nhóm chuyên đề Khối 6,7,8,9 https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ 1/1 M , cắt O ' N Tìm quỹ tích trung điểm I MN ( d) quay quanh A không cắt ABC Lời giải Ta có : AMB vng M AB đường kính O BM (d) (1) ȱ (d) (1)M A I N ANC vuông N AC O đường kính O ' CN (d) O' J (2) B Theo đề ( d) không song song BC (3) M' C Từ (1),(2).(3) suy : BCNM hình thang vuông Gọi M ' trung điểm cạnh huyền BC M ' I đường trung bình hình thang BCNM M ' I //BM //CN M ' I ( d) I AIM ' vng I Ta có : BC cố định nên M ' cố định AM ' (4) BC ( không đổi) Gọi J trung điểm AM ' , từ (4) JI JA JM ' AM ' BC không đổi AM ' cố định nên J cố định I thuộc đường trịn tâm J cố định , bán kính BC khơng đổi * Giới hạn : - Khi ( d) AB I O - Khi ( d) AC I O ' * Kết luận : Vậy quỹ tích I nửa đường tròn tâm J chứa A , bán kính Nhóm chun đề Khối 6,7,8,9 https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ BC 1/1 giới hạn hai điểm O O ' Hết Nhóm chuyên đề Khối 6,7,8,9 https://www.facebook.com/groups/232252187522000/