1/ Lưu tên file theo mẫu: HK2_ĐS9_Tuan …_Tiet …_Tên bài_Phieu so – GV: HỌC KÌ II – TUẦN – TIẾT 57 – HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG x ;x Bài 1: Cho phương trình: x 3x 0 có nghiệm phân biệt Khơng giải phương trình trên, lập phương trình bậc có ẩn y thoả mãn : y1 x2 1 y2 x1 x1 x2 Theo hệ thức VI- ÉT ta có: S y1 y2 x2 P y1 y2 ( x2 1 1 1 x x x1 ( x1 x2 ) ( x1 x2 ) 3 x1 x2 x1 x2 2 x1 x2 1 1 )( x1 ) x1 x2 2 x1 x2 x1 x2 2 Vậy phương trình cần lập có dạng: y Sy P 0 y2 hay 9 y 0 y y 0 2 Bài 2: Tìm số a b biết a + b = a2 + b2 = 41 a b = ab = 36 a2 + b2 = 61 v ab = 30 Hướng dẫn: 1) Theo đề biết tổng hai số a b , để áp dụng hệ thức VIÉT cần tìm tích a v b Từ 2 a b 9 a b 81 a 2ab b 81 ab 81 a b 20 x 4 x x 20 0 x2 5 Suy : a, b nghiệm phương trình có dạng : Vậy: Nếu a = b = a = b = 2) Đã biết tích: ab = 36 cần tìm tổng : a + b Cách 1: Đ ặt c = b ta có : a + c = a.c = 36 Nhóm Chun Đề Tốn 6, 7, 8, 9: https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ 1/ Lưu tên file theo mẫu: HK2_ĐS9_Tuan …_Tiet …_Tên bài_Phieu so – GV: x x x 36 0 x2 9 Suy a,c nghiệm phương trình : Do a = c = nên b = a = c = a b Cách 2: Từ nên b = 2 a b 4ab a b a b 4ab 169 a b 13 a b 132 a b 13 *) Với a b 13 ab = 36, nên a, b nghiệm phương trình : x x 13 x 36 0 x2 Vậy a = b = *) Với a b 13 ab = 36, nên a, b nghiệm phương trình : x 4 x 13 x 36 0 x2 9 Vậy a = b = 3) Đã biết ab = 30, cần tìm a + b: T ừ: a2 + b2 = 61 a b a b 11 a b 2ab 61 2.30 121 11 a b 11 2 *) Nếu a b 11 ab = 30 a, b hai nghiệm phương trình: x x 11x 30 0 x2 Vậy a = b = ; a = b = *) Nếu a b 11 ab = 30 a, b hai nghiệm phương trình : x 5 x 11x 30 0 x2 6 Vậy a = b = ; a = b = Bài 3: Cho phương trình : x x 15 0 Không giải phương trình, tính Nhóm Chun Đề Tốn 6, 7, 8, 9: https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ 1/ Lưu tên file theo mẫu: HK2_ĐS9_Tuan …_Tiet …_Tên bài_Phieu so – GV: 2 a A= x1 x2 b) B = x13 + x23 HD: Ta có ' 4 1.15 1 nên phương trình có hai nghiệm x1; x2 Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: x1 x2 =8 x1 x2 = 15 2 2 a) A= x1 x2 ( x1 x1 x2 x2 ) x1 x2 ( x1 x2 ) x1 x2 = 82 – 2.15= 34 x13 x23 x1 x2 x12 x1 x2 x22 x1 x2 x1 x2 3x1 x2 =8.(82 – 15) = 152 b) B = Bài 4: Cho phương trình x x 0 có nghiệm x1 ; x2 , khơng giải phương trình x12 10 x1 x2 x22 Q x1 x23 x13 x2 tính giá trị biểu thức: HD: ' (2 3) 4 nên phương trình có hai nghiệm x1; x2 Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: x1 x2 = x1 x2 = Q x12 10 x1 x2 x22 6( x1 x2 ) x1 x2 6.(4 3) 2.8 17 3 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 5.8 (4 3) 2.8 80 x m x 2m 1 0 Bài 5: Cho phương trình : Hãy lập hệ thức liên hệ x1 ; x2 cho x1 ; x2 độc lập m Hướng dẫn: 2 m 2m 1 m 4m m B1: Dễ thấy cho ln có nghiệm phân biệt x1 x2 B2: Theo hệ thức VI- ÉT ta có x1 x2 m x x m B3: m x1 x2 2(1) x1 x2 m (2) Từ (1) (2) ta có: Nhóm Chun Đề Tốn 6, 7, 8, 9: https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ Do phương trình 1/ Lưu tên file theo mẫu: HK2_ĐS9_Tuan …_Tiet …_Tên bài_Phieu so – GV: x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 0 Bài 6: Cho phương trình : x 4m 1 x m 0 Tìm hệ thức liên hệ x1 x2 cho chúng không phụ thuộc vào m 2 Hướng dẫn: Dễ thấy (4m 1) 4.2(m 4) 16m 33 phương trình cho ln có nghiệm phân biệt x1 x2 Theo hệ thức VI- ÉT ta có x1 x2 (4m 1) x1.x2 2( m 4) 4m ( x1 x2 ) 1(1) 4m 2 x1 x2 16(2) Từ (1) (2) ta có: ( x1 x2 ) 2 x1 x2 16 x1 x2 ( x1 x2 ) 17 0 Bài 7: Cho phương trình : x 2m 1 x m 0 x x x x 0 Tìm m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : Bài giải: Điều kiện để phương trình có nghiệm x1 & x2 : ' (2m 1) 4(m 2) 0 4m 4m 4m 0 4m 0 m x1 x2 2m x x x x 0 Theo hệ thức VI-ÉT ta có: x1 x2 m từ giả thiết Suy 3(m 2) 5(2m 1) 0 3m 10m 0 m 2(TM ) 3m 10m 0 m ( KTM ) Nhóm Chun Đề Tốn 6, 7, 8, 9: https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ 1/ Lưu tên file theo mẫu: HK2_ĐS9_Tuan …_Tiet …_Tên bài_Phieu so – GV: Vậy với m = phương trình có nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : x1 x2 x1 x2 0 x m 1 x 5m 0 Bài 8: Cho phương trình : Tìm m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức: x1 3x2 1 HD: : m 22m 25 0 11 96 m 11 96 x1 x2 1 m (1) x1 x2 5m - Theo VI-ÉT: x1 1 3( x1 x2 ) x1 x2 3( x1 x2 ) 4( x1 x2 ) 1 x2 4( x1 x2 ) - Từ : x1 3x2 1 Suy ra: x1 x2 7( x1 x2 ) 12( x1 x2 ) (2) m 0 12m(m 1) 0 m 1 (thoả mãn ĐKXĐ) - Thế (1) vào (2) ta có phương trình : Bài 9: Cho phương trình : x 2m 1 x m 0 Gọi x1 x2 nghiệm phương 2 trình Tìm m để : A x1 x2 x1 x2 có giá trị nhỏ HD: Theo VI-ÉT: x1 x2 (2m 1) x1 x2 m Theo đ ề b ài : A x12 x22 x1 x2 x1 x2 x1 x2 2m 1 8m 4m 12m (2m 3) Suy ra: A 2m 0 hay m 2 x x Bài 10: Cho phương trình: x mx m 0 Gọi nghiệm phương trình Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức sau: Nhóm Chuyên Đề Toán 6, 7, 8, 9: https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ 1/ Lưu tên file theo mẫu: HK2_ĐS9_Tuan …_Tiet …_Tên bài_Phieu so – GV: B x1 x2 x x22 x1 x2 1 x1 x2 m x x m HD: Ta có: Theo hệ thức VI-ÉT : B x1 x2 x1 x2 2(m 1) 2m 2 x x2 x1 x2 1 ( x1 x2 ) m2 m 2 Cách 1: Thêm bớt để đưa dạng phần (*) hướng dẫn Ta biến đổi B sau: B m m 2m 1 m2 2 Vì m 1 0 m 1 1 m 1 m2 2 m2 0 B 1 Vậy max B=1 m = Với cách thêm bớt khác ta lại có: 1 2 m 2m m m 4m m m 2 2 2 B 2 m 2 m 2 m 2 m 2 0 Vì Vậy B m 2 2 m 2 0 B m 2 Cách 2: Đưa giải phương trình bậc với ẩn m B tham số, ta tìm điều kiện cho tham số B để phương trình cho ln có nghiệm với m B 2m Bm 2m B 0 m2 (Với m ẩn, B tham số) (**) Ta có: 1 B(2 B 1) 1 B B Để phương trình (**) ln có nghiệm với m Nhóm Chuyên Đề Toán 6, 7, 8, 9: https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ 1/ Lưu tên file theo mẫu: HK2_ĐS9_Tuan …_Tiet …_Tên bài_Phieu so – GV: B B 0 B B 0 B 1 B 1 0 hay B 0 B 0 B 0 B 0 B B 1 B B 1 2 B 1 Vậy: max B=1 m = B m 2 Bài tập vận dụng: 2 Bài 1: Cho phương trình bậc hai: x x m 0 có nghiệm x1 ; x2 Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm y1 ; y2 cho : (Đáp số a) y1 x1 y2 x2 b) y1 2 x1 y2 2 x2 2 a) y y m 0 2 b) y y (4m 3) 0 ) Bài 2: Tìm số a b biết: a2 + b2 = 85 v ab = 20 Bài 3: Cho phương trình : x 3x 0 Khơng giải phương trình, tính: 1 x1 x2 2 x x (3) x1 x2 x2 x1 (1) (1) x1 x x2 x1 5 6 1 x1 x2 Bài 4: Cho phương trình: m 1 x 2mx m 0 (1) có nghiệm liên hệ x1 ; x2 cho chúng không phụ thuộc vào m Nhóm Chun Đề Tốn 6, 7, 8, 9: https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ x1 ; x2 Lập hệ thức 1/ Lưu tên file theo mẫu: HK2_ĐS9_Tuan …_Tiet …_Tên bài_Phieu so – GV: m 1 x 2mx m 0 Bài 5: Gọi nghiệm phương trình: Chứng minh A 3 x1 x2 x1 x2 biểu thức không phụ thuộc giá trị m x1 ; x2 Bài 6: Cho phương trình : x 3m x 3m 1 0 Tìm m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức: x1 x2 6 Bài 7: Cho phương trình : có giá trị nhỏ x 4m 1 x m 0 Tìm m để biểu thức A x1 x2 2 Bài 8: Cho phương trình x 2( m 1) x m 0 Tìm m cho nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn 2 điều kiện x1 x2 10 2 Bài 9: Cho phương trình : x 2( m 4) x m 0 xác định m để phương trình có nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn a) A x1 x2 3x1 x2 đạt giá trị lớn 2 b) B x1 x2 x1 x2 đạt giá trị nhỏ Nhóm Chun Đề Tốn 6, 7, 8, 9: https://www.facebook.com/groups/232252187522000/